机械制造中的

1、3.1.3参数样条教案：CAD/CAM-2008第3章曲线曲面的表示本章学习三次样条曲线、Bezier曲线及B-样条曲线等的数学表示及其性质，讨论如何生成、控制这些曲线。最后简要讨论曲面的表示。曲线曲面及其表示分类：规则曲线/曲面：可用解析方程表示的自由曲线/曲面：由给定的离散点通过拟合或插值得到的。 表示：非参数方程表示显式隐式参数方程表示样条曲线三次样条函数的力学背景工程中，如飞机、船舶工业在几何外形的数学放样时，经常会遇到这样的问题：在平面上给定一组离散的有序点列，要画一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。设计员在进行这项工作时，通常使用一根称为“样条”的富有弹性的木条或有机玻璃条。在每一

2、型值点处用“压铁”压住，使样条依次经过这些型值点，然后沿着样条面出一根光滑 的曲线。如果把样条看成弹性细粱，压铁看成是作用在梁上的集中载 荷，那么用上述方法得到的曲线在力学上可以模拟为求弹性细梁在外 加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。在“小挠度”的情况下，变形曲 线的数学表示为分段三次多项式，它是二阶连续的三次光滑曲线。3.1.2 三次样条函数的数学定义设在区间a, b上给定一个分割:a=XoXiyXn=ba,b上的一个函数 S(x)如果满足下列条件： 在每一个子区间Xi-1 , x(0 W i W n)内，S(X)是三次多项式。 在整个区间a, b , S(x)二阶连续可导。则称S(x)为三次

3、样条函数，Xi (0 w i w n)为S(x)的节点(或型值点)。当给定一组有序数列 yi(O w i w n)，如果S(Xi)=yi,那么称S(x)为 插值三次样条函数。以此类推，可得到任意次数样条函数酌定义。显然，一次样条函数是以型值点为顶点的弦线组成的折线，其光滑 性差，一般很少使用。二次样条函数是由分段抛物线组成，可适用于 对光滑要求不高的应用。三次以上的样条，由于光顺性差和计算复杂 等原因，也很少使用。而三次样条函数计算简便、稳定，具有收敛性， 并且线性光顺，因此在工程中得到了广泛的应用。S(x)样条函数依赖于坐标系的选择，缺乏几何不变性，而且在大扰度情况下，三次样条光顺性变坏，可

4、计算性差。为了解决这些问题，可用参数多项式表示样条曲线而加以解决。一段参三次样条曲线方程 形式如下:(u-i w u ui)(式 3-1a )x(u) axu3 bxu2 cxu dxy(u) ayu3 byu2 CyU dyax ayP(u)x(u) y(u)32u u ubx1Cxdxby cy dy(式 3-1b )设32Uuuu 1 ,A1axay,A2bx by , ACxCy,AdxdyAAA2A3A4T式(3-1b)可简记为P(u) UA(式 3-1c )关于u的一阶导数P(u) dP(u) 3Aju2 2A2u A(式 3-2)du关于u的二阶导数P(u)2d2P(u)6Au

5、2A2(式 3-3 )du2参数表示法比非参数表示法有很多优点，如：(1) 由于参数曲线上的一个点是由参数的一个单值确定的，所以曲 线的参数形式与坐标轴无关，也即曲线的形状仅取决于一些点的相对 位置，而与这些点所用的坐标系无关。这些控制曲线形状的点称为控 制点。这一性质称为几何不变性。(2) 一般情况下，要变换一条与坐标轴有关的曲线，必须变换曲线 上每一点的坐标。而对于与坐标轴无关的曲线，仅需将确定曲线形状 的那些控制点进行变换即可，大大地简化了变换运算，方便了实现前 一章所讨论的各种几何变换。(3) 曲线上点、导数等的计算简单，无需解方程组。能处理斜率为 无穷大的情形。(4) 参数形式比非参

6、数形式提供更多控制曲线的自由度。非参数形式的平面三次曲线有 4个系数，而参数形式的则有8个系数。(5) 便于曲线的分段描述。(6) 参数方程可以表示任意维空间中的曲线，且能把二维曲线方程 容易拓广至三维、四维或更高维空间。插值型样条函数Cubic Spli ne In terpolation Fun ction工程中，一般用一定数量的离散点来描述曲线和曲面。这些点可以 是从某个形状上测量得到的，也可以是设计员给出的。要求构造一条 曲线顺序通过这些数据点，这称为对这些数据点进行插值(in terpolatio n)，所构造的曲线称为插值曲线。但在某些情况下，测量所得的或设计人员给出的数据点本身就

7、很租糙，要求构造一条曲线 严格通过给定的一组数据点就没有什么意义。在这种情况下，更合理 的方法是构造一条曲线使之“最为靠近”给定的数据点。这方法称为 对这些数据点进行逼近(approximatio n)，所构造的曲线称为逼近曲线。逼近和插值往往是交织在一起的。我们统一用拟合(fitt in g)来指这两种情况。曲线拟合是生成列表曲线的最基本的方法。本节先介绍 插值型参数三次曲线。3.2.1 Hermite 方程假设给定两个端点的位置矢量Po和Pi,以及端点处的切矢P0、R，要作一段经过端点而且在端点处具有给定切矢的三次参数曲线段。这 种插值型的参三次样条函数称为Hermite函数。利用端点条件

8、：P(0) PoP(1) PiP(0) PoP(1) Pi可求得(式3-1 )中的系数，整理后得Hermite参数方程2211P(o)32,3321P(1)亠P(u)u3 u2 u 1以(ow uw 1)(式 3-2 )oo1oP(o)1oooP(1)点分别为Po和Pl、Q和Q，端点处的切矢分别为Po和R、Qo和Q1。显然，要使P(u)和Qv)组成的曲线连续，需P(1) Q(o) PQo一阶导数连续，则P(1) Q(o) PQo为了使二阶导数连续，必须满足P(1) Q(o)即Po 4P1 Q13( Po Q1)(式 3-3)已知起点和终点切矢的参三次样条例已知下列各点的坐标值及第一点和最后一点

9、的切矢，按三次 样条曲线拟合一段精确经过下列各点的光滑曲线。Io1234Xio15o25o35o365yi6o9213862oX I1ooy io-1o3.2.2 相邻二段Hermite曲线光滑衔接条件假设二段 Hermite 曲线 P(u) (o u 1 )和 Qv) (o v2)个控制点则可定义(n-2)段二次B-样条曲线。由三个控制点P1和Pa确定的一段二次均匀B-样条曲线定义如下:P(u)F0Pi (0=u=1)P2(式 3-7 )一阶导数P(u)端点性质(Po2PP2)uPoP111H1(1) P1P2，H2(1) PP222故P(1) 比(1)出(2) 阶导数的连续性H1(1)P2

10、P1，H2(1)P2P1故P(1) H1(1) H2(1)P(0)P(1)1212PoP(0) P PoP2P(1)P2P1342 三次均匀 B-样条曲线(Cubic uniform B-spline)由四个控制点 R、P、R和P3可确定一段三次均匀B-样条曲线:四个控制点P。、P1、P2和R可定义二段二次B-样条曲线。其中F0、P1、P2和P、R、R各生成一段曲线P(u)H1(u)H2(u)(0(11)2)(式 3-8)其中H,u)P0P1P21331P03213630(式 3-9)P(u) u u u 1 -c1(u0,1)630301410P3关于U的各阶导数1P(u)P) 3P) 3巳

11、2P32 uP2RP2 u -2P0P2P(u)P 3R 3P2P3 uP02PP2端点性质:H2(u)P2P3考察Ru)的连续性。(1)连续性P(0)-(P064PPO1P(1) ；(P64P2P3)1P(0)(P2P0)11P(1) 2(P3 P)样条函数一般表达式nP(U)PkBk,d (U)k 0uminuUmax,2d n 1(式 3-10)其中基函数Bk,d(U)疋U的d-1次多项式，用Cox-deBoor recurs ionformulas 定义如下：r , 、1 (Uk UUk 1)Bk,1(u)0 otherwiseBk,d(u)kUk d UBk,d 1 (u)Bk 1,

12、d1(u)(式 3-11 )Uk d 1UkUk dUk1(k=0,1,，n+d-1)基函数之和等于1，即uUkUk UUk 1Uk 1UkBk,2Uk2 Uuk 2Uk1Uk 1 uuk 20otherwiseUUkU UkUk 2UkUk 1 UkUkuUk 1UUkUk 2 uUk 3 UU Uk 1Bk,3Uk 2UkUk 2 Uk 1Uk 3 Uk 1 Uk 2Uk 1Uk1 uUk 2Uk3 UUk 3 UUk 3Uk1 Uk 3Uk 2Uk2 UUk 30otherwisenBk,d(u)1(式k 03-10 )B,d(u)是以Uo、U1、U2、Un+d为节点的分段函数，B-样条

13、函数也是分段函数。d 4的基函数如下：1Uk u Uk 1Bk,10 otherwiseu UkuUku Uk(1) 均匀 B-样条曲线(uniform B-spline curve)。节点矢量中节Uk U Uk 1点为沿参数轴等间隔分布，即片1 uj Con st ( 0 j n d )。UUkuUkUk2UUk 3UkUk 2UkUk 2Uk 1UUkUk3 UuUk 1Uk 3UkUk 3Uk1Uk2Uk 1Uk4 UuUk1UUk 1Uk 4Uk1 Uk3 Uk1 Uk2 Uk 1Uk 3 Uk Uk 2 Uk Uk 1 Uk例如，四个控制点的二次均匀-2,-1,0,123,4，基函数

14、Uk 1 U Uk 2Bo,3B-样条（n=3, d=3）的节点矢量uUkuk 3uuk 3uUk 3UkUk 3Uk1Uk 3Uk 2Uk4 UuUk1Uk3 UUk 4Uk1 uk 3uk1 uk 3uk 2Uk4 UUk4UuUk 2Bk,4Uk 4 Uk 1 Uk 4Uk 2 Uk 3 Uk 2B,3UkUkUk 4 U Uk 4 UUk 4 UUk 4 Uk 1 Uk 4 Uk 2 Uk 4Uk 3Uk 2 U Uk 3otherwise由此可见，定义 B-样条函数的参数包括:（1） n+1 个控制点 Po、R、P2Fn；曲线阶次d-1 ; 由（n +d+1）个u节点组成的节点矢量u

15、01u11u21 ,un dB-样条曲线按节点矢量中节点的分布情况不同，可划分为均匀B-样条曲线、准均匀 B-样条曲线、一般非均匀 B-样条曲线等几种类型。B2,3B3,3121212222u2122u121212122u22uu 221u2丄21212121232121222B-样条函数定义于0,2:1 .2 1 2 1 2_2 u 1Po22u2u1P 2uP2(0u1)P(U)1212122up122u6u3P22u 1p3(1u2)和式(3-8)相同。(2) 准均匀 B-样条曲线(quasi-unform B-spline curve) 。节点矢量中首尾节点重复d次，其余节点等间隔分布

16、。即u0 u1ud 1， un 1 un 2山 d，& 比 15 1 山例如，三个控制点的二次准均匀B-样条(n=2, d=3)的节点矢量取(1) 多项式的次数可以独立设定，和控制多边形的顶点数无关。(2) 具有局部修改性。B-样条是分段函数，每一段(d-1)次曲线由d个连续的控制点定义。也就是说，移动一个控制点，至多影响d段曲线。(3) 基函数依赖于节点矢量的选取。当d和控制顶点决定后，节点矢量取法不同，曲线形状也会不同，这样就增加了灵活性。Bezier曲线是一种特殊的 B-样条。x(u)y(u)1 u221 u2u(式 3-13)1u23.2.4 B-样条函数的特点条(d-1)次 的非均匀

17、有理 B-样条曲线(NURBS Non-U niformRatio nal B-Spli ne)定义如下:0,0,0,1,1,1，基函数在0,1 有定义2B,31 uB1,3 2u 1 uB2,3 u所以，样条曲线2 2P(u) 1 u F02u(1 u)P1 u2Fb( 0 u 1)这是一条二次 Bezier曲线！事实上，Bezier曲线是特殊的 B-样条:d=n+1的准均匀B-样条就是n次Bezier曲线。准均匀B-样条的端点性质类似于Bezier样条，而无它的缺点，所以应用十分广泛。(3) 一般非均匀B-样条曲线(genernal uniform B-spline)。节点非递减任意分布。

18、非均匀有理B-样条曲线(NURBS)虽然B-样条方法等自由型曲线有很多优点，却无法精确地表示除抛物线以外的其它二次曲线(二次曲线是指圆弧、椭圆弧、抛物线弧和 双曲线等圆锥曲线)。这就给几何外型的数学描述带来不便。所以有 必要引入一套包容性更大的曲线描述方法。分子和分母各为多项式的分式可以精确表示二次曲线。如表示单位圆在第一象限的圆弧。这种用分式表示的样条函数称为有理样条。nkPkBk,d(U)P(u)耳(式 3-14 )k Bk,d (u)k 0其中k (k=0,1,n )称为权或权因子(weights)，分别与控制顶点H相联系；B,d(u)是B-样条的基函数。定义NURBS勺参数包括：(1)

19、 n+1 个控制点 P。、R、P2Fn；(2) 曲线阶次d-1 ；(3) 由(n +d+1)个u节点组成的节点矢量u0lu1lu2l ,un d ；(4) n+1个控制点的权 wo、w、W2w例如，式(3-13 )表示的圆弧可表示成用以下参数定义的NURBS(1) 3 个控制点 R (1,0)、P(1,1)、P2(0,1)；(2) 曲线阶次为2,即d=3；(3) 节点矢量0,0,0,1,1,1；3个控制点的权1、-2和1。2n当 W =W=Wfe= =W=1时，由于Bk,d (u) 1，所以k 0nP(u)PkBk,d (u)k 0这说明：权为1时，NURBS是B-样条。如果用齐次坐标表示P(

20、u)、Pk,并用 w作为H的第三项(对于 2DP(u) =( x ( u) y ( u) : (Xh(u), yh(u), h(u)R =(x k y k):(Xwk ,y wk, w k )那么式(3-14 )分别表达为nnkXk Bk,d(u)Xwk Bk,d ( u)x(u)k 0nk 0 nkBk,d (u)kBk,d (u)k 0k 0nnkykBk,d(u)ywkBk,d(u)y(u)k 0k 0nnkBk,d (u)k Bk, d (u)k 0k 0令h(u)nkBk,d (u)k 0则nXh (u)Xwk Bk,d(u)k 0nyh(u)ywkBk,d(u)k 0这说明：齐次坐

21、标下的NURBS具有一般B-样条的数学形式。比较3.6.1 Hermite 、Bezier、B样条曲线的比较 在要求过型值点拟合曲线时，三次参数样条，待别是以累计弦长为参数的三次样条应用较广，插值效果较好，计算可靠。曲线)，即隐式F(x, y,z) 0参数式xx(u,v)矢里式pp(u,v)例如，平面：隐式AxBy CzD 0xxoaebiv参数式yyoa2Ub2vzzo a3ub3V矢里式PP0 aubv双三次曲面的参数方程一般描述为P(u,v)UAV T (0 u, v 1)其中,32 U uu u 1、，32 V vv v 1A 是 4*4系数矩阵。3.7.1 Coons曲面Coo ns

22、曲面是Hermite曲线的拓展，是插值型曲面。方程P(u, v) UMQM TVT其中 Bezier曲线直观性好，动态改变形状容易。 B样条曲线更逼近于控制多边形，局部修改形状容易。362 NURBS 优点 对标准的解析形状(如圆锥曲线、二次曲面、回转面等)和自由曲线、 曲面提供了统一的数学表示，无论是解析形状还是自由格式的形状 均有统一的表示参数，便于工程数据库的存取相应用。 可通过控制点和权因子来灵活地改变形状。 容易处理节点的增删、移动、曲线分割、几何插值等的几何操作。 具有透视投影变换和仿射变换的不变性。3D的NURBS勺透视投影可以通过以下操作得到：第一步对曲线的控制点作透视投影变换，第 二步根据变换后的控制点生成所要求的曲线。 非有理B样条、有理及非有理 Bezier曲线、曲面是NUBS的特例表 示缺点： 比一般的曲线、曲面定义需要更多的存储空间和处理时间。 权因子选择不当会造成形状畸变。样条曲面曲面的表示显式 z f(x,y)X00X01XXv00v01XXQx10X11v10V1122XXXXu00u01u