2020届高三一轮测试(文)9直线、平面、简单几何体(通用版)

1、直线、平面、简单几何体（A、B）【说明】本试卷分为第I、U卷两部分，请将第I卷选择题的答案填入答题格内，第U卷可在各题后直接作答，共 150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）题号123456789101112答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 平面a外的一条直线a与平面a内的一条直线b不平行，则（ ）A. a II aB. a /aC. a与b 一定是异面直线D.a内可能有无数条直线与a平行2. 正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是(A.)2 na 3B.2naC. 2 n

2、aD. 3na3 .若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2,则高为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.已知直线ml平面a，直线n?平面B，则下列命题正确的是 A.若 aB，贝U ml n B .若 alB，贝U m/ nC.若 ml n，贝U aB D .若 n /a，贝 U a/B5 .将正方形ABCDft对角线BD折成一个120的二面角，点C到达点C ,这时 异面直线AD与 BC所成的角的余弦值是A.1B.2C.3Dy26. 设有三个命题，甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体； 丙：直四棱柱是直平行六面体. 以上命题中，真

3、命题的个数有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 如图，矩形O A B C是水平放置的一个平面图形的直观图， 其中O A =6 cm，O C= 2 cm，则原图形是( )A.正方形B矩形C菱形D. 一般的平行四边形8. 若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是6一 3 .2t A cB.233D.39. 正方体ABCD- ABCD的棱长为1,0是底面 ABCD的中心，则0到平面ABCD 的距离为B.A.2c迪D亚C. 2D. 410. 已知m n为不同的直线，a，B 为不同的平面，下列四个命题中，正确的是()A. 若 m/a，n /a，贝U m/ nB.

4、若 n? a， n? a，且 mB，n B，贝U aBC. 若 a丄B，m? a，贝U mBD. 若 a 丄B，mLB，m? a，贝U m/a11. 在正方体 ABCD- ABQD中，0是底面ABCD勺中心，MN分别是棱DD、DC的中点，则直线OM( )A. 和AC MN都垂直B. 垂直于AC但不垂直于 MNC. 垂直于MN但不垂直于ACD. 与AC MN都不垂直12. 如图，在斜三棱柱 ABC- A1B1G中，/ BAG90, BC丄AC J则C在底面ABC 上的射影H必在B. 直线BC上C. 直线AC上D. A ABC内部第U卷（非选择题共90分）题号第I卷第U卷总分二1718192021

5、22得分二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线 上）13. 若正三棱锥底面的边长为a,且每两个侧面所成的角均为90,则底面中 心到侧面的距离为.14. 如图，正方体ABC- ABCD的棱长为a,点E为AA的中点，在对角面BBDD上取一点 M 使AW ME最小，其最小值为 .15. a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题: 若 a / b， b / c，贝U a / c； 若a丄b， b c，贝U a / c； 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； 若a?平面a， b?平面B，则a， b 一定是异面直线； 若a, b与c成等角，贝U a/ b.

6、 上述命题中正确的（只填序号）16. 如图，已知六棱锥P ABCDE的底面是正六边形，PA平面ABC P心2AB,则下列结论中:PB丄AE 平面 ABCL平面PBC直线BC/平面PAE/ PDA= 45.其中正确的有（把所有正确的序号都填上）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）如右图所示，在四棱锥P ABCD中 底面ABCD1矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB PC的中 占八、（1）求证：CDL PD（2）求证：EF/平面PAD.18. （本小题满分12 分）在矩形ABCD中 AB= 1, BO a,现沿AC折成二

7、面角D AC B,使BD为异面直线AD BC的公垂线.（1）求证：平面ABDL平面ABC（2）当a为何值时，二面角 D-AC B为45.19. （本小题满分12分）如图所示，在三棱锥 P ABC中，PAL平面ABC A吐P、A、M C都在球0的球面上.（1）证明：平面PABL平面PCIM 证明：线段PC的中点为球O的球心.20. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD中 PDL平面ABCD PA与 平面 ABC所成的角为 60，在四边形 ABCD中 / D=Z DAB= 90, AB= 4, CD= 1,AD= 2.（1）建立适当的坐标系，并写出点 B, P的坐标;求异面直线PA与

8、BC所成角的余弦值；若PB的中点为 M 求证：平面 AMCL平面PBC.21. (本小题满分12分)已知四棱锥S- ABC啲底面ABCD是正方形，SAL底面 ABCD E是SC上的任意一点.求证：平面EBDL平面SAC(2) 设S心4, A吐2,求点A到平面SBD的距离；SA(3) 当AB勺值为多少时，二面角 B- SC- D的大小为120?22. (本小题满分12分)如图，M N P分别是正方体 ABCD- ABCD的棱AB BC DD上的点.(1) 若罟 NN求证：无论点P在DD上如何移动，总有BPL MN(2) 若DP: PD= 1 : 2,且PB丄平面B1MN求二面角 M-B1N-B的

9、余弦值；(3) 棱DD上是否总存在这样的点P,使得平面APC丄平面ACC?证明你的结论.1. D2. B设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R,依题意知3R=舌*?，即R=ga?,221 2 na r.S球=4 nR = 4 n=.故选B.8 2 B设高为h,则由可得h = 2,也可建立空间直角坐标系，利用寸 h2+ 8 35空间向量进行求解. A 易知A选项由mLa,a/B ?mB, n? B ? mL n,故A选项命题正确.5. D设正方形边长为1,由题意易知/ CBC即为AD与BC所成的角设AC与 BD相交于0,易知 CCO为正三角形，故 CCm#，在 CBC中，由余弦定理可得3所求余

10、弦值为4.故选D.6. B命题甲正确，命题乙不正确，命题丙不正确，故真命题个数为1，应选B7. C将直观图还原得?0ABC v O202 ；20D= 20 D = 4 ；2 cm,C D = 0 C = 2 cm， CD= 2 cm，0C= ,cD+ oD=；22+ （4 ；2）2 = 6 cm，0A= 0 A = 6 cm= 0C 故原图形为菱形.8. B 以正三棱锥0- ABC的顶点0为原点，0A OB 0C为x，y，z轴建系, 设侧棱长为1，则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，侧面OAB的法向量为0= (0,0,1)，1 1 1底面ABC的法向量为n = (3，3，

11、3)， cos0, n=133 9. D过0作A1B1的平行线，交BG于E,则0到平面ABCD的距离即为E到平面ABCD的距离.作EF丄BC于F,易证EF丄平面ABCD,1V2可求得EF=；BC=.选D.4410. D A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由空间想象易知命题正确.11. A 以DA DC DD所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设 正方体的棱长为 2a, J则 D(0,0,0)、D(0,0,2a)、M(0,0 , a)、A(2a

12、,0,0)、C(0,2a,0)、 0(a, a,0)、N(0， a,2a).0= ( a, a, a) , M= (0 , a, a), A ( 2a,2a,0).O A 0, M- C 0,OMLAC OMLMN.12. A t BAL AC, BC 丄 AC BAH BC B , ACL平面 ABCt AC?平面ABC二平面 ABCL平面 ABC,且交线是 AB.故平面ABC上一点G在底面ABC的射影H必在交线AB上.二. 、填空题13. 【解析】过底面中心0作侧棱的平行线交一侧面于H ,贝U 0* 322a62a 为所求.【答案】2a614. 【解析】取CG的中点F ,则ME MF, A

13、W ME AW MF AF( , 2a)2 + ；a 2 |a.3【答案】尹15. 【解析】由公理4知正确；当aL b , bLc时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不 正确；a? a, b? B,并不能说明a与b “不同在任何一个平面内”,故不正确；当a, b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确.【答案】16. 【解析】 由PAL平面ABC AE?平面ABC得PAIAE,又由正六边形的性质得 AELAB PAH A吐A,得AEL平面PAB又PB?平面PAB AE! PB正确；又平面 PABL平面A

14、BC，所以平面 ABCL平面PBC不成立, 错；由正六边形的性质得 BC/ AD,又AD?平面PAD二BC/平面PAD二直线BC /平面 PAE也不成立,错；在 Rt PAD中 , PA AD 2AB/ PDA= 45 ,正确.【答案】三、解答题17. 【证明】 (1) t PAL平面ABCD而CD?平面ABCD PA CD 又 CDL AD ADA P心 A, CDL平面 PAD 二 CDL PD.(2) 取CD的中点G,连接EG FG. E、F分别是AB PC的中点， EG/ AC, FG/ PC,平面EFG/平面PAD又 EF?平面EFG EF/平面 PAD.18. 【解析】证明：由题知

15、丄面ABD.BCL BD,又 BCLAB.a BCL面 ABD 面 ABC作 DEL AB于 E ,由(1)知 DE!面 ABC 作 EFL AC于 F ,连 DF,则 DFL AC, DF=2aa EF BC2g2+1 , AF=，a2+1 且ET丽解得 a19.【解析】证明：t AO BC,CM?平面 ABC - PAI CM.t ABA P心 A, AB?平面 PAB PA?2 ， a= 2 M为AB的中点, CML AM.t PA!平面 ABC平面PAB / DFE为二面角 D-AC B 的平面角.即/ DFE= 45 .EF= DE= CML平面 PAB. tCI?平面 PCM平面P

16、ABL平面PCM.证明：由(1)知CML平面PAB. t PM?平面 PAB CML PM.t PAL平面 ABC AC?平面ABC PAL AC.如图，取PC的中点N ,连结MN AN.在Rt PAC中，点N为斜边PC的中点, AN= PN= NC在Rt PCM中，点N为斜边PC的中点, MN= PN= NC. PN= NC= AN= MN.点N是球0的球心,即线段PC的中点为球0的球心.20. 【解析】如图所示,以D为原点,射线DA DC DP分别为x , y , z轴的正方向，建立空间直角坐标系 D xyz.tZ D=Z DAB= 90 , A吐 4 , CD= 1 , AD= 2 ,

17、A(2,0,0) , C(0,1,0) , B(2,4,0),由PDL平面ABCD得Z PAD为PA与平面ABCD所成的角, Z PAB 60.在 Rt PAD中 ,由 AD= 2,得 PD= 2 3 , P(0,0,2 ；3).(2) (2,0 , 2 擒,=(2, 3,0),COSV, =2X ( 2) + 0X ( 3) + ( 2 3) X 04屈13，所以PA与BC所成角的余弦值为-13 证明：M为PB的中点, 点M的坐标为(1,2 ,3), ( 1,2, . 3),二(1,1 ,3),二(2,4 , 2 3),= ( 1) X 2 + 2X4+3X ( 2 3) = 0 ,= 1X

18、 2+ 1 X 4+3X ( 2,3) = 0 ,丄,丄, PB丄平面AMC PB?平面 PBC平面AMCL平面PBC .21. 【解析】(1) t SAL平面ABCD BD?平面ABCD SAL BD. ABCD是正方形, ACL BD BDL平面 SAC. BD?平面 EBD 平面EBDL平面SAC.设 ACH BD= F,连 SF,则 SFL BD. A吐 2. BD= 22. SF= .SA+aF=,4 6 - h=- 2 - 2 - 4 ,+ ( 2)2= 3 21 Ssbd= ?BD SF=2-2 23 2= 6.设点A到平面SBD勺距离为h ,t SAL平面 ABCD.1 3 -

19、S SBD -h1=3 -S ABD - SA-h二 3,4点A到平面SBD勺距离为3.（3）设S心a,以A为原点，AB AD AS分别为x、 z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设 A吐1, C（1,1,0），S（0,0，a），B（1,0,0），D（0,1,0）, = （1,1， a），= （1,0， a），= （0,1， a），再设平面SBC平面SCD勺法向量分别为m = （xi，yi，zi），（X2，屮，Z2），则 yi = 0.从而取 xi = a，贝U zi= 1.可取 n （a,0,1）. X2= 0， 取 y2= a.则 Z2 = 1， 可取 （0，a,1）.1 cos=.a + 11 1要使二面角B- SC- D的大小为120,则 =，从而a= 1.a + 12SA a即当 尸；二1时，二面角B-SC- D的大小为120.AB 122. 【解析】（1）证明：连结AC