空间向量的坐标PPT学习教案

1、会计学1 空间向量的坐标空间向量的坐标 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念： , 0 a, 0 b a b 向向 量量a 与与 向向 量量b 的的 夹夹 角角 ),(ba ),(ab 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. . 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值. . )0( ),(ba ),(ab 或者记作或者记作 第1页/共25页 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影 u A A . 上上的的投投影影在在 即即为为平平面

2、面，交交点点 的的垂垂直直作作轴轴过过 uA A uA 第2页/共25页 空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影 u A A B B 已已知知向向量量的的起起点点A和和终终点点B在在轴轴 u上上的的投投影影分分别别 为为BA , , , 那那么么轴轴 u上上的的有有向向线线段段 BA 的的值值，称称 为为向向量量在在轴轴u上上的的投投影影. . 第3页/共25页 ABjuPr .BA 向量向量AB在在 轴轴u上的投影记为上的投影记为 关于向量的投影定理（关于向量的投影定理（1 1） 向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向上的投影等于向量的模乘以轴与向 量量 的夹角的余弦：的

3、夹角的余弦： ABjuPr cos| AB 证明证明 B B u A A B ABjuPrABj u Pr cos| AB u 第4页/共25页 定理定理1 1的说明：的说明： 投影为正；投影为正； 投影为负；投影为负； 投影为零；投影为零； (4)(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； u a b c 0)1(, 2 2 )2(, )3(, 2 第5页/共25页 关于向量的投影定理（关于向量的投影定理（2 2） 两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量 在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. . .PrPr)(Pr 2121 a ja

4、 jaaj A A B B C C （可推广到有限多个（可推广到有限多个 ） u 1 a 2 a 第6页/共25页 A A B B C C u 1 a 2 a 如图所示，由向量加如图所示，由向量加证明证明 法的三角形法则可知法的三角形法则可知 . 21 aaBCABAC .Pr , Pr , PrCAjACCBjBCBAjAB 由于由于CACBBA 所以所以jACjBCjABPr PrPr 即即).(Pr PrPr 2121 aajjaja 第7页/共25页 1 M 1 P 2 M 2 P 上上的的投投影影分分别别为为点点在在轴轴点点 为为一一条条数数轴轴为为一一向向量量，设设 2121 21

5、 ,PPuMM uMMa 上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设 2121 ,uuuPP uo ,Pr 21uu aMMj 记记 1221 OPOPPP , 12 uu . 12 uuau 第8页/共25页 如果如果e 是与是与u轴正向一致的单位向量，轴正向一致的单位向量， .)( 12 euu 设设a 是是以以),( 1111 zyxM为为起起点点、),( 2222 zyxM 为为终终点点的的向向量量， 过过 21, M M各各作作垂垂直直于于三三个个坐坐标标轴轴的的平平面面 , 这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段 21M M为为对对角角线线的的 长长方方体体. 由上节课

6、例由上节课例3 3，有，有 eaPP u 21 以以kji ,分别表示沿分别表示沿zyx,轴正向的单位向量轴正向的单位向量. 第9页/共25页 x y z 1 R 2 R 1 P 2 P 1 Q 2 Q O R Q P 1 M 2 M N 2 111 MMRMNM 111 NMQMPM . 11121 RMQMPMMM 从而得到从而得到 由于由于,)( 121 ixxiaPM x 由图可以看出由图可以看出 ,)( 121 jyyjaQM y .)( 121 kzzkaRM z 第10页/共25页 因此因此 kajaiaMM zyx 21 把上式称为向量把上式称为向量 按基本单位向量的分解式按基

7、本单位向量的分解式 . . 21M M 这里这里 . , , 12 12 12 zza yya xxa z y x .)()()( 121212 kzzjyyixx x y z 1 R 2 R 1 P 2 P 1 Q 2 Q O R Q P 1 M 2 M N , 2 第11页/共25页 kzzjyyixxMM )()()( 12121221 按基本单位向量的坐标分解式：按基本单位向量的坐标分解式： 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量： ,kajaia zyx 向量的坐标：向量的坐标：, zyx aaa 向量的坐标表达式：向量的坐标表达式：, zyx aaaa , 12121221

8、 zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 第12页/共25页 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 , zyx aaaa , zyx bbbb , zzyyxx babababa , zzyyxx babababa , zyx aaaa ;)()()(kbajbaiba zzyyxx ;)()()(kbajbaiba zzyyxx .)()()(kajaia zyx 第13页/共25页 解解 , 111 zzyyxxAM , 222 zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点， 例例 2 2 设设),( 111 z

9、yxA和和),( 222 zyxB为两已知点，而为两已知点，而 在在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段 AB 为两部分为两部分AM、 MB，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1( ，即，即 MB AM ， 求分点求分点的坐标的坐标. A B M x y z o 第14页/共25页 由题意知：由题意知：MBAM , 111 zzyyxx , 222 zzyyxx 1 xx )( 2 xx 1 yy )( 2 yy 1 zz )( 2 zz , 1 21 xx x , 1 21 yy y , 1 21 zz z , 2 21 xx x , 2 21 yy y . 2 21

10、 zz z . 的定比分点的定比分点为有向线段为有向线段点点ABM为中点时，为中点时，当当 M 第15页/共25页 非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 . . ,0 ,0 .0 x y z o 1 M 2 M ., 第16页/共25页 由投影定理可知由投影定理可知 cos|aax cos|aa y cos|aaz 方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. . 222 | zyx aaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式 2 1 2 1 2 121 RMQMPMMM p Q

11、 R x y z o 1 M 2 M 第17页/共25页 ，时时当当 0 222 zyx aaa ,cos 222 zyx x aaa a ,cos 222 zyx y aaa a .cos 222 zyx z aaa a 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式 x y z o 1 M 2 M 第18页/共25页 1coscoscos 222 方向余弦的特征方向余弦的特征 o a |a a .cos,cos,cos 特殊地，单位向量可表示为特殊地，单位向量可表示为 第19页/共25页 向量向量 例例3 3 设已知两点设已知两点 和和 . . 计算计算 )2, 2 , 2( 1 M )

12、0 , 3 , 1( 2 M 21M M 的摸的摸 ，方向余弦和方向角，方向余弦和方向角. . 解解 21M M 2, 1 , 120 , 23 , 21 21M M 222 )2(1)1( ; 2 ; 2 2 cos , 2 1 cos , 2 1 cos . 4 3 , 3 , 3 2 第20页/共25页 例例4 4 设已知两点设已知两点 和和 . . 求方向和求方向和 一致的单位向量一致的单位向量 . . )5 , 0 , 4(A)3 , 1 , 7(B AB 解解AB2, 1 , 353 , 01 , 47 因为因为 于是于是AB 设设 为和为和 的方向一致的单位向量，那么由于的方向一

13、致的单位向量，那么由于 o AB o = AB AB 即得即得 o . 14 2 , 14 1 , 14 3 14 222 )2(13 第21页/共25页 解解设向量设向量 21P P的方向角为的方向角为 、 、 , 3 , 4 , 1coscoscos 222 . 2 1 cos , 2 1 cos , 2 2 cos 例例5 5 设有向量设有向量P P1 1P P2 2 ，已知，已知| |P P1 1P P2 2|=2 |=2 ，它与，它与x x 轴和轴和 y y 轴的夹角分别为轴的夹角分别为 和和 ，如果的，如果的 P P1 1 的 的 坐标为坐标为(1,0,3)(1,0,3)，求，求P P2 2的坐标的坐标. . 3 4 第22页/共25页 . 3 2 , 3 1 cos x 21P P2 1 x 2 1 , 2 x 0 cos y 21P P2 0 y 2 2 , 2 y 3 cos z 21P P2 3 z , 2, 4 zz 2 P的的坐坐标标为为 ).2 , 2, 2(),4 , 2, 2( 2 1 , ),(