辅助线构造全等三角形PPT学习教案

1、会计学1 辅助线构造全等三角形辅助线构造全等三角形 复习：复习： 可以利用可以利用倍长中线法倍长中线法，即把中线，即把中线 延长一倍，来构造全等三角形。延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若如图，若AD为为ABC的中线的中线 ， 必有结论必有结论 ： A BCD E 1 2 延长延长AD到到E，使，使DE=AD， 连结连结BE（也可连结（也可连结CE）。）。 ABD ECD， 1=E ， B=2 ， EC=AB，CEAB 。 第1页/共17页 可以利用角平分线所在可以利用角平分线所在 直线作对称轴，翻折三角形直线作对称轴，翻折三角形 来构造全等三角形。来构造全等三角形。 问题问题 ： 如图，在

2、如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 方法一：方法一： A B C D E 必有结论：必有结论： 在在AB上截取上截取AE=AC ，连结，连结DE。 ADE ADC。 ED=CD ， 3 3* *2 21 1 AED=C ， ADE=ADC。 第2页/共17页 方法二：方法二： A B C D F 延 长延 长 A C 到到 F ， 使， 使 AF=AB，连结，连结DF。 必有结论：必有结论：ABD AFD。 BD=FD ， 如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构 造全等三角形？造全等三角形？ 问题：问题： 3 3* *2 21 1 如图，在如图，在ABC中，中，AD平

3、分平分BAC。 可以利用角平分线所在可以利用角平分线所在 直线作对称轴，翻折三角形直线作对称轴，翻折三角形 来构造全等三角形。来构造全等三角形。 B=F ， ADB=ADF。 第3页/共17页 问题：问题： A B C D M N 方法三：方法三：作作DMAB于于M， DNAC于于N。 必有结论：必有结论：AMD AND 。DM=DN ， 3 3* *2 21 1 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分线所在可以利用角平分线所在 直线作对称轴，翻折三角形直线作对称轴，翻折三角形 来构造全等三角形。来构造全等三角形。 AM=AN ， ADM=AND 。 （还可以用（还

4、可以用“角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两 边距离相等边距离相等”来证来证DM=DN） 第4页/共17页 证明证明 ： 例例1 1 已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的 角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180 D A B CE 在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，连结，连结DE。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义）（角平分线定义） 在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边

5、） ABD EBD（S.A.S） 12 4 3 3+ 4180 （平角定义），（平角定义）， A3（已证）（已证） A+ C180 （等量代换）（等量代换） 3 3 2 2 1 1 * * A3（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已证）（已证） DE=DC（等量代换）（等量代换） 4=C（等边对等角）（等边对等角） AD=DE（全等三角形的对应边相等（全等三角形的对应边相等 ） 第5页/共17页 证明证明 : : 例例1 1 已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的 角平分线，角平分

6、线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180 D A B C F 延长延长BA到到F，使，使BF=BC，连结，连结DF。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义）（角平分线定义） 在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边） BFD BCD（S.A.S） 12 4 3 FC（已证）（已证） 4=C（等量代换）（等量代换） 3 3 2 2 1 1 * * FC（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等 ） AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已证）（已证） DF=

7、AD（等量代换）（等量代换） 4=F（等边对等角）（等边对等角） 3+ 4180 （平角定义）（平角定义） A+ C180 （等量代换）（等量代换） DF=DC（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） 第6页/共17页 证明证明: : 例例1 1 已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的 角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180 D A B CM 作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延长线于的延长线于N。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义）（角平

8、分线定义） DNBA，DMBC（已知）（已知） N=DMB=90（垂直的定义）（垂直的定义） 在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已证）（已证） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边） NBD MBD（A.A.S） 12 4=C（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等 ） N 4 3 3 3 2 2 1 1 * * ND=MD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知）（已知） NAD和和MCD是是Rt 在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已证）（已证） AD=CD（已知）（已知） RtNAD RtMCD（H.L） 3

9、+ 4180（平角定义），（平角定义）， A3（已证）（已证） A+ C180（等量代换）（等量代换） 第7页/共17页 证明证明: : 例例1 1 已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的 角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180 D A B CM 作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延长线于的延长线于N。 12 N 4 3 3 3 2 2 1 1 * * BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知） DNBA，DMBC（已知）（已知） ND=MD（角平分线上的点到这（角平分线上的点到这

10、个角的两边距离相等）个角的两边距离相等） 4=C （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） DNBA，DMBC（已知）（已知） NAD和和MCD是是Rt 在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已证）（已证） AD=CD（已知）（已知） RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定义）（平角定义） A3（已证）（已证） A+ C180（等量代换）（等量代换） 第8页/共17页 练习练习1 1 如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线， AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：，求证：C=2BC=2B A BCD E

11、1 2 2 2 1 1 证明证明 : : 在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，连结，连结DE。 AD是是BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义）（角平分线定义） 在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） AD=AD（公共边）（公共边） AED ACD（S.A.S） 3 B=4（等边对等角（等边对等角 ） 4 * * C3（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等) 又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知） EB=DC=ED（等量代换）（等量代换） 3= B+4= 2B （三角形的一个外角等于（三角形的一个外角

12、等于 和它不相邻的两个内角和和它不相邻的两个内角和 ） C=2B（等量代换（等量代换 ） ED=CD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） 第9页/共17页 练习练习1 1 如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线， AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：，求证：C=2BC=2B A B C D F 1 2 证明证明 : : 延长延长AC到到F，使，使CF=CD，连结，连结DF。 AD是是BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义）（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF

13、=AF（等量代换）（等量代换） ACB= 2F（三角形（三角形 的一个外角等于和它不相的一个外角等于和它不相 邻的两个内角和）邻的两个内角和） ACB=2B（等量代（等量代 换）换） 3 2 2 1 1 * * 在在ABD和和AFD中中 AB=AF（已证）（已证） 1=2（已证）（已证） AD=AD（公共边）（公共边） ABD AFD（S.A.S） FB（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） CF=CD（已知）（已知） B=3（等边对等角）（等边对等角） 第10页/共17页 练习练习2 2 如图，已知直线如图，已知直线MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN 、BEB

14、E平分平分QBAQBA，DCDC是过是过E E的任意线段，交的任意线段，交 MNMN于点于点D D，交，交PQPQ于点于点C C。求证：。求证：AD+AB=BCAD+AB=BC。 证明证明: :延长延长AEAE，交直线，交直线PQPQ于点于点F F 。 * * 3 3 0 0 * * * 2222 2121 A B C D E MN P Q 1 2 3 4 F 5 第11页/共17页 练习练习2 2 如图，已知直线如图，已知直线MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN 、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是过是过E E的任意线段，交的任意线段，交 MNMN于点于点D D，交，交

15、PQPQ于点于点C C。求证：。求证：AD+AB=BCAD+AB=BC。 证明证明: :延长延长BABA到点到点G G，使得，使得AG=ADAG=AD，连结，连结EGEG。 * * 3 3 0 0 * * * 2222 2121 A B C D E MN P Q 1 2 3 4 G 第12页/共17页 练习练习2 2 如图，已知直线如图，已知直线MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN 、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是过是过E E的任意线段，交的任意线段，交 MNMN于点于点D D，交，交PQPQ于点于点C C。求证：。求证：AD+AB=BCAD+AB=BC。 证明证明:

16、 :延长延长BABA到点到点G G，使得，使得AG=ADAG=AD，连结，连结EGEG。 * * 3 3 0 0 * * * 2222 2121 A B C D E MN P Q 1 2 3 4 G 第13页/共17页 练习练习3 3 已知：如图在已知：如图在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90， AEBCAEBC， BDBD是是ABCABC的角平分线，的角平分线， GFBC GFBC ，求证：，求证：AD=FCAD=FC。 A BC D EH 1 2 证明证明: :过过D D作作DHBCDHBC，垂足为，垂足为H H。 G F * * 3 3 0 0 * * * 第14页/共17页 小结：小结： （ 3 ） 作） 作 D M A B 于于 M ， DNAC于于N。 （1）在）在AB上截取上截取AE=AC， 连结连结DE。 （2）延长）延长AC到到F，使，使AF=AB ，连结，连结DF。 A B C D E F M N 必有结论：必有结论：ADE ADC。 必有结论必有结论：ABD AFD。 必有结论：必有结论：AMD AND。 可以利用角平分线所在直线作对称可以利用角平分线所在直线作对称 轴，翻折三角形来构造全等三角形。轴，翻折三角形来构造全等三角形。 如图，在如图，在ABC中