16三角函数模型的简单应用

1、1.6三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用 例例1 如图如图,某地一天从某地一天从614时的温度变化曲线近时的温度变化曲线近 似满足函数似满足函数y=Asin(x+)+b (1)求这一天求这一天614时时的最大温差的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式写出这段曲线的函数解析式. 6 10 14 y T/ x t/h 10 20 30 O 探究一：根据图象建立三角函数关系探究一：根据图象建立三角函数关系 解解:(1)最大温差是最大温差是20 (2)从从614时的图象是函数时的图象是函数y=Asin(x+)+b的的 半个周期的图象半个周期的图象 6 10 14 y T/ x t/h

2、10 20 30 O 1 30 1010 2 A 1 30 1020 2 b 12 146 2 8 将将x=6,y=10代入上式代入上式,解得解得 3 4 3 10sin20,6,14 84 yxx 所求出的函数模型只能所求出的函数模型只能 近似刻画这天某个时段近似刻画这天某个时段 温度变化温度变化,因此应当特别因此应当特别 注意自变量的变化范围注意自变量的变化范围 所以所以 题型总结：题型总结： maxminmaxmin 1 1 A =f x-f xA =f x-f x 2 2 maxminmaxmin 1 1 b=f x+f xb=f x+f x 2 2 利利用用求求得得 2 2 T T

3、= =， 利利用用最最低低点点或或最最高高点点在在图图象象上上 该该点点的的坐坐标标满满足足函函数数解解析析式式可可求求得得 , , 也可以利用函数的零值点来求也可以利用函数的零值点来求 f求函数的方法：(x)= Asin( x+ )+b(x)= Asin( x+ )+b 例例2 画出函数画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期的图象并观察其周期. x y -1 1 O 2 2 2 2 y=|sinx| 解解 周期为周期为 验证验证:|sin(x+)|=|-sinx|=|sinx| 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得 对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用 方法。显然，函数y=|si

4、nx|与正弦函数有紧密的 联系，你能利用这种联系说说它的图象的作法 吗？ 正弦函数正弦函数y=sinx的图象保留的图象保留x轴上方部分，将轴上方部分，将x 轴下方部分翻折到轴下方部分翻折到x轴上方，得到轴上方，得到y=|sinx|的图象的图象 - 太阳光太阳光 例例3 如图如图,设地球表面某地正午太阳高度角为设地球表面某地正午太阳高度角为,为此为此 时太阳直射纬度时太阳直射纬度,为该地的纬度值为该地的纬度值,那么这三个量之间那么这三个量之间 的关系是的关系是=90-|-|.当地夏半年当地夏半年取正值取正值,冬半年冬半年负负 值值. 如果在北京地区如果在北京地区(纬度数约为北纬纬度数约为北纬40

5、)的一幢高的一幢高 为为h0的楼房北面盖一新楼的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡年不被前面的楼房遮挡,两两 楼的距离不应小于多少楼的距离不应小于多少? 课件演示 探究二：建立三角函数模型求临界值探究二：建立三角函数模型求临界值 分析：分析：太阳高度角太阳高度角 、楼高、楼高h0与此时楼房在地面的投影与此时楼房在地面的投影 长长h之间的有如下关系：之间的有如下关系：h0=htan 23 26 23 26 0 40M h CBA 根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物 体的影子最短，直射南

6、回归线时物体的影子最长体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长. 考虑考虑 太阳太阳 直射直射 南回南回 归线归线 解解: :取太阳直射南回归线的情况考虑取太阳直射南回归线的情况考虑, ,此时太阳直射纬此时太阳直射纬 度为度为-23-2326,26,依题意两楼的间距应不小于依题意两楼的间距应不小于MC.MC. 根据太阳高度角的定义根据太阳高度角的定义, ,有有 ,432662234090 C 0 00 000. 2 4326tantan h h C h MC 所以 即在盖楼时即在盖楼时, ,为使后楼不被前楼遮挡为使后楼不被前楼遮挡, ,要留出相当要留出相当 于楼高两倍的间距于楼高两倍的间距

7、背景知识介绍背景知识介绍 太阳直射角为： 太阳高度角为： |90 太阳光太阳光 90 90 |90 |90 地心地心 北半球北半球 南半球南半球 M 0北半球： (地球表面某地地球表面某地M处处) 纬度值为： 那么这三个量之间的那么这三个量之间的 关系是关系是: 太阳光直射南半球 0 太阳光太阳光 90 |90 地心地心 例例4 4 海水受日月的引力海水受日月的引力, ,在一定的时候发生涨落的现象在一定的时候发生涨落的现象 叫潮叫潮. .一般地一般地, ,早潮叫潮早潮叫潮, ,晚潮叫汐晚潮叫汐. .在通常情况下在通常情况下, ,船在船在 涨潮时驶进航道涨潮时驶进航道, ,靠近码头靠近码头; ;

8、卸货后卸货后, ,在落潮时返回海洋在落潮时返回海洋. . 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: : 时刻时刻水深水深/ /米米时刻时刻水深水深/ /米米时刻时刻水深水深/ /米米 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0 探究三：探究三：根据相关数据进行三角函数拟合根据相关数据进行三角函数拟合 (1)(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的 函数关系函数关系, ,给出整点时的水深的近似数值给出

9、整点时的水深的近似数值( (精确到精确到0.001).0.001). (2)(2)一条货船的吃水深度一条货船的吃水深度( (船底与水面的距离船底与水面的距离) )为为4 4米米, ,安安 全条例规定至少要有全条例规定至少要有1.51.5米的安全间隙米的安全间隙 ( (船底与洋底的船底与洋底的 距离距离),),该船何时能进入港口该船何时能进入港口? ?在港口能呆多久在港口能呆多久? ? (3)(3)若某船的吃水深度为若某船的吃水深度为4 4米米. .安全间隙为安全间隙为1.51.5米米, ,该船在该船在 2:002:00开始卸货开始卸货, ,吃水深度以每小时吃水深度以每小时0.30.3米的速度减

10、少米的速度减少, ,那那 么该船在什么时间必须停止卸货么该船在什么时间必须停止卸货, ,将船驶向较深的水域将船驶向较深的水域? ? 课件演示 解解:(1):(1)以时间为横坐标以时间为横坐标, ,水深为纵坐标水深为纵坐标, ,在直角在直角 坐标系中画出散点图坐标系中画出散点图 3 6 9 12 15 18 21 24Ox y 6 4 2 根据图象根据图象,可以考虑用函数可以考虑用函数y=Asin( x+ )+h刻画水深与题意之间的对刻画水深与题意之间的对 应关系应关系. A=2.5,h=5,T=12, =0 . 6 12, 2 T 得由 所以所以,港口的水深与时间的关系可用港口的水深与时间的关

11、系可用 近似描述近似描述. 5 6 sin5 . 2xy 时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

12、 5 6 sin5 . 2xy 由由得到港口在整点时水深的近似值得到港口在整点时水深的近似值: : (2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y5.5时就可以进 港 . 5 . 55 6 sin5 . 2x 2 . 0 6 sinx 由计算器可得 SHIFTsin-1 MODEMODE 2 0.2 = 0.201357920.2014 A BCD y=5.5 y Ox 51015 2 4 6 8 2.5sin5 6 yx 因此 有两个交点的图象与直线函数内在区间 B,A, 5 . 55 6 sin5 . 2,0,12yxy 2014. 0 6 -,2014. 0 6 或x 61

13、52. 5,3848. 0 BA xx 6152.176152. 512 ,3848.123848. 012 : D C x x 由函数的周期性易得 因此因此, ,货船可以在货船可以在0 0时时3030分左右进港分左右进港, ,早晨早晨5 5时时3030分左右出港分左右出港; ;或或 在中午在中午1212时时3030分左右进港分左右进港, ,下午下午1717时时3030分左右出港分左右出港. .每次可以每次可以 在港口停留在港口停留5 5小时左右小时左右. . O 2 4 6 8 10 x y 8 6 4 2 2.5sin5 6 yx 5.50.32yx P (3)设在时刻设在时刻x货船的安全

14、水深为货船的安全水深为y,那么那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同在同 一坐标系内作出这两个函数一坐标系内作出这两个函数,可以看到在可以看到在67时之间两个函时之间两个函 数图象有一个交点数图象有一个交点. 通过计算.在6时的水深约 为5米,此时货船的安全小 深约为4.3米.6.5时的水深 约为4.2米,此时货船的安全 小深约为4.1米;7时的小深 约为3.8米,而货船的安全小 深约为4米.因此为了安全, 货船最好在6.5时之前停止 卸货,将船驶向较深的水域. 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模 型型, ,可以用来研究很多问题可以用来研究很多问题, ,在刻画周期变化规律、预在刻画周期变化规律、预 测其未来等方面都发挥十分重要的作用。测其未来等方面都发挥十分重要的作用。 具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的 “散点图散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获，通过观察散点图并进行函数拟合而获 得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决 相应的实际问题。相应的实际问题。 课堂练习 解决实际问题的步聚解决实际问题的步聚: 实际问题实际问