抽象函数经典习题精编版

1、最新资料推荐抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f (x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力， 优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出 f(x),这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。x例 1：已知 f () =2x+1，求 f (x).x 1解：设 x = u ,则 x =uf (u) = 2u +1 = -uf (x) =xx 11-u1-u 1 -u1 -x2.凑配法：在已知f

2、(g(x) =h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再 利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。1 Q 1例 2 :已知 f (x +) = x +，求 f (x) x x-11 o 111 o斛：丁 f (x+)=(x+ -)(x 1+2) =(x+-)( x+) 一3)又 x xxx x11|x T=|x|1x|x|2(a c)=42213= 2ax2+2bx+2(a+c) = x2+2x+4比较系数得 0时，f(x)A1,且对于任意实数x,y有f(x + y) = f (x)f(y),求证：f(x)在R上为增函数。证明：在 f(x + y)= f (

3、x)f (y)中取x = y = 0 ,得 f(0) = f(0)2若 f(0) =0,令 x0,y=0,则 f(x)=0,与 f(x)A1 矛盾所以 f (x) #0 ,即有 f (0) =1当 x0 时，f(x)A1A0；当 xc0 时，-x0, f (-x) 10而 f(x)f(-x) = f (0) =1一,1所以 f (x) = 0f(-x)又当 x=0 时，f(0)=1A0所以对任意xwR,恒有f (x) 0xl X1 X2 +* ,贝X2 X1 A 0, f(X2 为)A 1所以 f (x2) = f(X1 (X2 -X1) = f(X1) f (x2 - X1) f(X1)所以

4、y = f (X)在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋 值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相 关联。七、解抽象不等式(确定参数的取值范围)例13：奇函数f (x)在定义域(-1, 1)内递减，求满足 f(1m)+f (1 m2)0的实数m的取值范围。2一一2斛：由 f (1m) + f (1m ) 0得 f (1m) f (1m ), ,f(x)为函数，-2f (1 -m) ： f (m -1)I -1 ： 1 - m ； 12又 f (x)在(-1, 1)内递减，1m -11= 0 m 121。m m -1巩固

5、练习练习一1 .给出四个函数，分别满足f (x +y) = f (x) + f (y)；g(x+y) = g(x)g(y)；h(xy) =h(x)+h(y);t(xy) =t(x)t(y),又给出四个函数图象最新资料推荐正确的匹配方案是()(A)一丁一乙一丙一甲(B)一乙一丙一甲一丁(C)一丙一甲一乙一丁(D)一丁一甲一乙一丙2 .定义在 R上的函数 f(x)满足 f (x + y) = f (x) + f ( y )(x ,y C R),当 x0 , 则函数 f (x)在a,b上()a bA有最小值f (a)B有最大值f (b)C有最小值f (b) D有最大值f (ab)23 .设函数f (

6、x )的定义域为R ,且对x, y w R,恒有f (xy)= f (x)+ f ( y),若f (8 ) = 3，则f (衣尸(),1- 一 1 一 1A.B1 C D2244.若偶函数”刈在(-叫-1上是增函数，则下列关系式中成立的是()-3_3A. f(-3) f(-1) f(2)B. f(-1) f(-) f(2)22-3_3C. f(2) f (-1) f (-)D. f(2) f(-) f(-1)225.定义在R上的函数f (x )满足：对任意实数m,n，总有f(m + n)= f(m)-f(n),且当x 0时，0cf (x)1. (1)试举出一个满足条件的函数f(x ); 试求f

7、(0)的值;(3)判断f(x )的单调性并证明你的结论；(4)若f(i)=,解不等式f(2x 1)1.281-4 D C C D5.x i,(2)在 f(m+n)=f(m),f(n)中，令 m = 1,n = 0.得:f (1)= f(1)f(0 )因为f(1)#0,所以，f (0) = 1. (3)要判断f(x)的单调性,可任取x, x2 w R ,且设x, 0 ,所以1 Af (x2 -x1Ao.为比较f(x2f(x力的大小，只需考虑“为)的正负即可.在 f (m+n )= f (m ”f (n )中，令 m=x, n = -x ,则得 f(x) f(x) = 1. =x0 时，0f(x)

8、1,1当x1 0 .又f (0)=1,所以，综上，可知，对于任意xw R ,f -x均有 f(x1Ao.f (x2 )-f (为尸 f (为)f (x2-x)110 . 函数 f(x)在 R上单调递减，(4 ) 若f(1)=，则f(3)，则不等式281f(2x1)-仁 f(2x 1) 3,8则不等式的解集为x|x20 练习二1 .若奇函数 f(x)(xWR),满足 f (2)=1, f(x+2) = f(x)+f (2),则 f(1)等于()A. 0B. 1C. -D. 12 .设对任意实数 x1、x2 ,函数 y = f (x) (x 亡 R, x =0)满足 f (x,)+ f (x )

9、= f (x 为)(1)求证：f(1) = f(1)=0; (2)求证：y=f(x)为偶函数。3 .已知函数f(x)是定义在(0,收)上的增函数，且满足对于任意的正实数x、y,都有f(x -y) = f(x)+ f(y),且 f(2)=1.(1)求 f(8)的值；(2)解不等式 f(x) a f(x2)+3.4 .已知函数f (x)对于任意的正实数x、y ,都有f (x ,y) = f (x) + f (y)，若f (2) c 0 ,则下列结论中不正确的是()1 r .1A. f=0 B. f(3)0 时，f (x) 0O(1)判断f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)试问：当-30x03时，f

10、(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由6 .若函数f(x)为奇函数，且在(0, +如)内是增函数，又f(2)=0,则f(x) f( - 1人7.设对酒足x#0,x#1的所有实数x ,函数f (x)酒足f(x)+f()=1 + x,求 xf(x)的解析式。8.已知函数f(x)(xWR,x=0)对任意不等于零的实数 ox2都有f(x1.x2) = f (x1)+f (x2),试判断函数f(x)的奇偶性。 0 x的解集为()B. T , -2) 2 (0,D. (-2, 0)(2,A. (-2, 0) = (0, 2)2)C. (-00 , -2) 3 (2, 十8)+8)9. (0

11、9年东城区示范校质检一)(本小题满分 14分) 设函数y = f (x)的定义域为全体R ,当x 1 ,且对任意的实数 x, y 亡 R ,有 f (x + y) = f (x) f (y)成立，数列an满足 a1 = f (0),且f(ani)f(2an 1(n N)(l)求证：y = f(x)是R上的减函数;(n )求数列an的通项公式;10. (09届华南师大附中综合测试题)设函数f(x)满足f( 0=),且对任意x, y R 都有f(xy1) f(x).f(y)-f. y x(I )求f (x)的解析式；(II)若数列an满足：an中=3f (an) 1,n w N +且a1 = 1,

12、求数歹an的通项；1.解析：对于 f (x +2) = f (x) + f(2),令 x = -1 ,得 f(1) = f (1) + f(2)即f(1) =-f +1 ,1从而2f(1)=1,所以 f(1)=,选 D。22 .解析：(1)令 x =x2 =1 ,得 f (1)+ f(1)= f (1父1)= f (1),所以 f (1) = 0。令 X =x2 = 1,得 f(1) + f(1) = f(1)=0,所以 f (-1)=0o(2)令 x1 =x2 = x,得 2f (x) = f(x2),令 x =x2 = -x,得 2f (-x) = f (x2),从而我们有：f(-x) =

13、 f (x),所以，y=f(x)为偶函数。3 .解析：(1) f(2)=1= f(4)=2= f(8)=3(2) f(x) A f(x2)+3u f(x) A f(x2) +f (8)u f (x) a f8(x 2)由函数f(x)是定义在(0,g)上的增函数，则x8(x 2)即x0，,x2,从而不等式的解集为(2,16)。x-2074 .解析：满足(*a)=*) + 丫)对一切正实数*、y都成立的函数模型是对数函数y = log a x 0由f(2) 0,可知0 f(4),应选B o5 .解析：令x=y=0,可得f(0)=0令丫=以，则 f(0)=f( x)+f(x) , . f( x)= f(x), .f(x)为奇函数设30xi0 时，f(x)0,故 f(x2 xi)0,即 f(x2) f(xi)0。f(x2)0 时，-X0, f(0) = f(X).f(X)=1 ,进而得 0 f(X)1 .设X1, X2 亡 R且 X1 0,0 f (x2 -X1) 1 ,1/-