同济大学第二版概率论课后习题答案

1、3.在区间0,2上任取一数，记A二r1 /r1孑3：丿X一 ,B = JX兰x兰一 r2 42,习题一解答1. 用集合的形式写出以下随机试验的样本空间与随机事件A :(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A=两次出现的面相同；(2) 记录某 总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A= 分钟内呼叫次数不超过3次；(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A珂寿命在2000到2500小时之间。解 ( , ),( ,-),(-，),(-,-)， A 二( , ),(-,-).(2) 记X为一分钟内接到的呼叫次数，贝U门=X =k |k =0,1,2,， A 二X = k|k =0,123.(3

2、) 记X为抽到的灯泡的寿命(单位：小时)，贝U11 =X (0,：)， A 二X (2000,2500).2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10,从中任取1球，设A珂取 得球的号码是偶数，B =取得球的号码是奇数，C珂取得球的号码小 于5，问以下运算表示什么事件：(1) A B ; (2) AB ； (3) AC ； (4) AC ； (5) AC ； (6) B C ； (7) A - C.解(1) A是必然事件；(2) AB二是不可能事件；(3) AC =取得球的号码是2, 4；(4) AC=取得球的号码是1,3,5,6,7，8，9，10；(5) AC =取得球的号码为奇数，且不小于5

3、 =取得球的号码为 5, 7, 9 ；_(6) 丽C =取得球的号码是不小于 5的偶数 =取得球的号码为6, 8, 10；(7) A -C = AC =取得球的号码是不小于 5的偶数=取得球 的号码为6, 8, 10求以下事件的表达式：(1) A B ； (2) AB ； (3) AB ； (4) A B . 解(1) A B= xS l-3 ;AB = *rX10Ex兰一或 1cxE2门B=丄Ex兰X3、:1c X-2 门42,2：(3) 因为A：_ B，所以AB =；-f13(4) AU B = AU 丿 x0兰 X-或一c x 24 2丿x0兰x c或丄c x兰1或？ c x兰2 ； 4

4、.用事件代B,C的运算关系式 J422.表示以下事件：(1) A出现，B,C都不出现(记为E1 )；(2) A,B都出现，C不出现(记为E2 )；(3) 所有三个事件都出现(记为E3 )；(4) 三个事件中至少有一个出现(记为 E4 )；(5) 三个事件都不出现(记为E5 )；(6) 不多于一个事件出现(记为E6 )；(7) 不多于两个事件出现(记为E7 )；(8) 三个事件中至少有两个出现(记为 E8 )。解(1)巳二 ABC ；(2)E2 二 ABC ；E3二 ABC ；E A BC ；E ABC(6) E6 二 ABC ABC ABC ABC ；(7)E7 二 ABC = A B C ；

5、 (8) E8 = AB AC BC .5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一 件，设A表示事件“第i次抽到废品，i = 1,2,3，试用A表示以下事件：(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2) 只有第一次抽到废品；(3) 三次都抽到废品；(4) 至少有一次抽到合格品；(2) 只有两次抽到废品。解(1) A A2 ；(2)A1A2A3 ；(3)AAA3 ；(4) A A2 A3 ；(5)AA2A3aALA3 AIA2A3.6. 接连进行三次射击，设 Ai=第i次射击命中，i =1,2,3，B珂三 次射击恰好命中二次，C =三次射击至少命中二次;试用Ai表示B和

6、 C。解 B 二几乓瓦 AALA3 AIA2A3A1A2A1 a3a2a3习题二解答1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其 中恰有1件次品的概率。解 这是不放回抽取，样本点总数n-/50、，记求概率的事件为那么有利于A的样本点数k =k P(A)：n45512丿.于是45 44 5 3! _ 9950 49 48 2!3925045 丫5 V丿匕(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球为红、白各一的概率；(4) 第二次取到红球的概率。解 此题是有放回抽取模式，样本点总数n - 7 一口袋中有5个红球及2个

7、白球，从这袋中任取一球，看过它的 颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球 被取到的可能性相同。求 .记(1)(2)(3)题求概率的事件分别为 代B,C,D .(i )有利于A的样本点数52，故 P(A -二兰49(ii) 有利于B的样本点数kB = 5 2，故 P(B)二二吏724920(iii) 有利于C的样本点数kc= 2 5 2，故 P(C)二皀49(iv) 有利于D的样本点数kD = 7 5，故 p(D)二厶5 =色=?74973. 一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6,随机地从这个口 袋中取2只球，试求：(1)最小号码是3的概率；(2)最大号码是3的概

8、率。解 此题是无放回模式，样本点总数n = 6 5.(i )最小号码为3,只能从编号为3, 4, 5, 6这四个球中取2只，且有一次抽到3,因而有利样本点数为2 3，所求概率为(i)最大号码为3,只能从1, 2, 3号球中取，且有一次取到3,于是有利样本点数为2 2，所求概率为2 2 _ 26 5154. 一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不 放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求以下事件的概率：(1) 2只都合格；(2) 1只合格，1只不合格；(3) 至少有1只合格。解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为代B,C，贝U精选资料，欢送下载28P(A)二丿 4汉3汉2

9、6汇5汇2P(B)二15P(B)二106218一共18个样本点P(C)18362事件A 事件B 事件C“其中恰有一位精通英语；“其中恰有二位精通英语； “其中有人精通英语。样本点总数为i513丿233!63 , .543105(1)3 3!3 一 , 54310 |Sa |-(42d人1丿 4工2工26-6 汇 5I2丿注意到C二A B，且A与B互斥，因而由概率的可加性知2814P(C)二 P(A) P(B):5 15155. 掷两颗骰子，求以下事件的概率：(1)点数之和为7； (2)点数之和不超过5； (3)点数之和为偶数 解 分别记题(1)、的事件为A,B,C,样本点总数n =62(i )

10、 A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)6P(A)( ii ) B (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)iii)(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3, 3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6),6. 把甲、乙、丙三名学生随机地分配到 5间空置的宿舍中去，假设 每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。解 记求概率的事件为A，

11、样本点总数为53，而有利A的样本点数为5 4 3，所以 P(A) = 5 43 3.53257. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下 列事件的概率：(1)(2)(3)P(A)p32 312八1丿P(Br-因C二A B，且A与B互斥，因而339P(C)二 P(A) P(B).510108. 设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线x+ y=1所围成 的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等， 计算这质点落在直 线x =1/3的左边的概率。解记求概率的事件为A，那么Sa 为图中阴影局部，而|门卜1/2，21 2 !1.55I = X =I a I22 13 丿 2

12、918最后由几何概型的概率计算公式可得精选资料，欢送下载| SA I _ 5/185P(A):|C|1/299. (见前面问答题10. A B ,(1) P(A), P(B);(5) P(AB).解图2. 3 )P(A) =0.4 , P(B) = ，求 P(A B) ; (3) P(AB); P(BA), P(AB);(1)p(A)=1 - P(A)冷 -0.4 =P(B) =1 -P(B) =1 -0.6 =0.4 ;(2) P(A B) =P(A) P(B) _P(AB) =P(A) P(B) _ P(A) = P(B) = 0.6 ;(3) P(AB)二 P(A) =0.4 ;(4)

13、P(BA) = P(A-B)二 P( ) =0,P(AB) =P( _ ) =1 -P(A B) =1 -0.6 =;(5) P(AB) = P(B - A) =0.6 -0.4 =0.2.11.设 A,B 是两个事件， P(A) =0.5 , P(B) = 0.7 , P(A B) = 0.8 , 试求 P(A -B)及 P(B - A).解注意至U P(A B)二 P(A) P(B)-P(AB)，因而P(AB) =P(A) P(B) -P(A B) -0.8 =0.4 . 于是， P(A -B)二 P(A - AB)二 P(A) - P(AB)=0.5 -0.4 二 0.1;P(B -A)

14、二P(B -AB)二 .习题三解答1. 随机事件A的概率P(A)二，随机事件B的概率P(B)二， 条件概率 ，试求 P(AB)及 P(AB).解 P(AB)二 P(A)P(B | A) = P(AB) =P( ) =1 _P(A B) =1 _ P(A) _ P(B) P(AB)1 -0.5-0.6 2. 一批零件共100个，次品率为10%从中不放回取三次(每次取一个)，解3.求第三次才取得正品的概率。10= 90819p.100x999899 981078某人有一笔资金，他投入基金的概率为，购置股票的概率为，两项投资都做的概率为(1) 他已投入基金，再购置股票的概率是多少？(2) 他已购置股

15、票，再投入基金的概率是多少？解记 A=基金， B=股票， 那么P(A)二 0.58, P(B) = 0.28, P(AB)二 (1)P(B| A)二P(A| B)二P(AB)二 0.327.P(AB)P(B)=0.678 .4.给定 ，验证下面四个等式:P(A | B)工 P(A), P(A| B)工 P(A), P(B | A)工 P(B)，P(B | A)工 P(B).P(A| B)P(AB)P(B)1P(A)2P(A| B)二P(AB)P(B)P(B | A)=P(B| A)=P(A) - P(AB)1 - P(B)止空 = 0.5 =込二空= 0P(b)P(AB)P(A)P(B) -

16、P(A)込 P(B)5.有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为，假设坐火车，迟到的概率是，假设坐船，迟到的概率是，假设坐汽车，迟到的概率是 ，假设坐飞机那么不会迟到。求他最后可 能迟到的概率。解 B珥迟到，A=坐火车，A2叮坐船，A3珥坐汽车，精选资料，欢送下载P(B)142412P(A|D)=P(A)P(D|A)P(D)P(B)P(D |B)P(B| D)=P(D)P(C)P(D |C)P(C | D)二P(D)10.设A与B独立，且4A =乘飞机，那么B二BAi，且按题意i 土P(B|A)=0.25 , , P(B|A3)=0.1 , P(B| A0. 由全概率公式有：4P(B

17、) P(AJP(B| AJ =id：6.甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。 求以下事件的概率：(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；(2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。解(1) 记B=该球是红球，A： =取自甲袋，A2 =取自乙袋， P(B|A)=6/10，P(B|A2)=8/14，所以161841P(B)=P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)s 10 石廿怎7. 某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量 分别占全厂的25% 35% 40%各车间产品的次品率分别为 5% 4% 2% 求该厂产品的次品率。解 = 0.

18、0125 0.0140 0.008 = 0.0345 = 3.45%8. 发报台分别以概率，发出*和-，由于通信受到干扰, 当发出*时，分别以概率和收到和-，同样，当发出信 号-时，分别以和的概率收到-和。求(1)收到信号* 的概率；(2)当收到*时，发出八的概率。解记 B =收到信号，A=发出信号*(1) P(B)二 P(A)P(B | A) P(A)P(B| A)= 0.6 0.8 0.4 0.1 = 0.48 0.04 = (2) P(A|B)= P(A)P(B|A)=j = W.P(B)0.52139. 设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分 别占总产量的25%

19、35% 40%各个车间成品中次品的百分比分别为 5% 4%2%如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间 代B,C 生产的概率。解 为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D = 次 品，因此P(D)二 P(A)P(D |A) - P(B)P(D | B) P(C)P(D |C)-0.0125 0.014 0.008 二 連 0.35 0.04 门P(A)二p, P(B) = q，求以下事件的概率:P(A B)，P(A B)， P(A B).解 P(A B) = P(A) P(B) - P(A)P(B) = p q - pqP(A B) = P(A) P(B) _

20、P(A)P(B) = p 1 _q _ p(1_ q) = 1 _ q pqP(A B)二 P(AB)二 1 - P(A)P(B) = 1 - pq11. A,B 独立，且 P(AB) = 1/9, P(AB)= P(AB)，求 P(A), P(B). 解因P(AB)二P(AB)，由独立性有P(A)P(B) = P(A)P(B)从而 P(A)-P(A)P(B)= P(B)-P(A)P(B)导致 P(A) = P(B)再由 P(AB) =1/9，有 1/9 二 P(A)P(B) = (1_ P(A)(1_ P(B) = (1_ P(A)2所以 1_P(A)=1/3。最后得到 P(B)二 P(A)

21、 =2/3.解 记Ai - A在第i次试验中出现，i =1,2,3. p= P(A)6k=4網。12. 甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。解 记B =命中目标，A, =甲命中，A2=乙命中，A3=丙3命中，贝U B =1； A，因而3 一 一 2 11 1 8 p(b)=ip n a =1p(a)p(A2)p(A3)= 1j2u = 19 = s 訂三 丿32399.13. 设六个相同的元件，如以下图所示那样安置在线路中，设每个元件 不通达的概率为p，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相 互独立的。解记A=通达，Ai

22、 =元件 i 通达，i =1,2,3,4,5,6 那么 A=AA2 A3A4A5A6，所以P(A)二 P(AA) P(A3A4)P(AsA6)-卩3小2民人4)-卩33人4人5甩)-卩3小2人5乓)P(几A? A3 A4 A5乓)= 3(1 -p)2 -3(1 -p)4(1 -p)614. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为 ，机器发生故障时 全天停止工作，假设一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立， 试求一 周五个工作日里发生3次故障的概率。解 p=(0.2) 3(0.8)2 =0.0512.15. 灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为，求三个灯泡在使 用1000小时以后最多只有一个坏

23、了的概率。广3、f3、解 p= 3 (0.2)3 + 3 汉 0.8U0.2)2 =0.008 + 0.096 = 0.104.3f丿16. 设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，假设A至少出 现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率 P(A).19 ,z 3 I依假设一 =P U a =1-P(AiA2A3)= 1-(1 - p)327 g丿所以，(1-p)3，此即 p=1/3.2717加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率 分别为2% 3% 5%.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的 次品率。解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中

24、至少有一道出 现次品。记 A珂第i道工序为次品 ,21,2,3.那么次品率3_p = pU A =1 P(A)P(AI)PCA3拓 0.097 2-18.三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为，0.4.求此密码被译出的概率。解 记A = 译出密码，A珂第i人译出，1,2,3.贝U广 3、_p(a)= pUa =1-p(X)p(A；)p(A3)2丿=19. 将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率 是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？*10丫丄10=_63(5 八2 丿-25620. 某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ,各电梯正 在运行的概率均为，求

25、：(1)在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；精选资料，欢送下载2在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率;3在此时刻所有电梯都在运行的概率。解11 -(1 -0.75)4 h _(0.25)4 二255256F(0.75)2(0.25)2 =6 沢2；(0.75)4勺 丫 _ 81 詔.丿一 256441282.试确定常数c ,使px=i二步，,0,1,2,3,4成为某个随机变量 X 的分布律，并求：PXW2; pcxc】。x_4即此时,UpSp)解得p弓；P X =2 |6厂广6 5X2!8.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求 X的分布函数。解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国

26、徽的概率为1，因此X服从2n，pf的二项分布，即4门“,k =0,1,2,3,49. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量 X服从参数 4的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%勺概率充分满足顾客的需要？解 设至少要进n件物品，由题意n应满足P X _ n -1 2对应的分布函数F x的表达式。解 当 x _0 时，F x = ：.一f xdx = xx当 0 x 兰2 时，f (x )=f (x dx =仁xdx + fo.25dx =0.5 + 当 x 2 时，F x = ：xdx ：0.25dx；0dx = 0.50.5 =1综合有x,x 兰 0;F(x)= y 0.5

27、 + 0.25x,0 Ex E2;1,x2.16. 设随机变量X在1,6上服从均匀分布，求方程t2 Xt 0有实 根的概率。解X的密度函数为f x 二 ,1 200)=1 P(XE200#1F(200)=1 1-x ： 0;x_ 0.x ： 0;x_ 0.10000(200 + 100)2 丿18.设随机变量X的分布函数为0,xM1 - 1 x e,x 0求X的密度函数，并计算P X _1和P X 2。解 由分布函数F x与密度函数f x的关系，可得在f x的一切连续 点处有f x二F上，因此f(x)= 所求概率PX空1二F1 =1-1Tex 0其他=1 - 2eJP X 21=1 - P X

28、 乞 2 i=1 - F 21=1 - 1 - 12 e E 3e，。19.设随机变量X的分布函数为F x = Barcta nx,-： : x ： :，求 常数代B ；P X 1 ； (3)随机变量X的密度函数。P X2 -4 =P X 乞 一2或X _2 二P X 乞一2 P X -2 =0 ：dx 二彳25517.设某药品的有效期X以天计，其概率密度为20000(x +100 3求：(1) X的分布函数；x 0;其他.至少有200天有效期的概率。解：(1)要使F x成为随机变量X的分布函数，必须满足Jim F x = 0, Jim F x =1，即lim A B arctanx = 0x

29、 lim _ A Barctanx 二 1计算后得兀A B = 02L兀A B=12精选资料，欢送下载解得1 1 arcta n；：-1(兀、ji*1 1 =.42兀H14:1 , ：020.设顾客在某银行的窗口等待效劳的时间单位：m服从w(5)的指数分布，其密度函数为x-e50P X ：22= 0.9861 ；P X 1.76 =1-PX .76 =1 1.76 =1 -0.9608 = 0.0392 ；P X ：-0.78-0.78 =1 曲0.78 =1 - 0.7823 = 0.2177 ；P X )=1Pqx| (2.-1=2 - 2工1=2 1 - 1=。22.设X服从N(-1,1

30、6 )，借助于标准正态分布的分布函数表计算：(1)P X 2.44 ；( 2)P X-1.5 ； ( 3) P X ：2.8 ； ( 4) P X ：4 ； ( 5)P - 5 ： X ： 2 ；( 6) P X -11。解当XP*2时，Pa乞X乞bl=Gfa卩、K丿，借助于该(1)1 A2B =丄ji另外，可验证当 人二丄出二丄时，F x =- arcta nx也满足分布函数2兀2其余的几条性质。2P X ：1 二 P -1 ：X 176 ; 3c ； 4 PX|c；5。解查正态分布表可得1234性质，再查标准正态分布函数表可求得P X ：2.44 =；：2.44 1 =：0.86 = 0.

31、8051 -I 4丿,f _ 1 5 +1P X-1.5 =11 叩 I 4丿=1 - 1 创川 念=0.5498 ；t2 8+1、0.45 =1 G 0.45 =1 0.6736 =0.3264 ;Q +1 f4 +1、(4) Pfx| 46 i_丄(1.25 卜( 0.75 )I 4丿I 4丿-G1.25 -1 卡0.75 1=-10.7734=0.6678 ;2 +1、一5+1、(5) P(-5X 21P X =1,Y =0,P X =1,Y =1,10汉1025101025Y0131概率71112123或写成XY010164252514125255.对于第3题中的二维随机变量X,Y的分

32、布律，分别在有放回和无 放回两种情况下，写出关于 X及关于丫的边缘分布律。解在有放回情况下X的边缘分布律为X01概率41552在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1,但取相应值的丫的边缘分布律为Y 01精选资料，欢送下载概率4515在无放回情况下X的边缘分布律为X01概率4155丫的边缘分布律为Y01概率4155当 x“yX1 时，F(x,y)=J01dxf综合有F(x, y)= 0,4xy - y22y,4x24x1,4dy 二 16.求在D上服从均匀分布的随机变量 X,Y的密度函数及分布函数, 其中D为x轴、y轴及直线y =2x -1围成的三角形区域。解区域D见图。易算得D的面积为S二丄1丄二丄2242y - y2,1,6题中的二维随机变量所以X,Y的密度函数4