旋转之求线段长度

1、四点共圆1、在锐角zABC, AB=AC, AD为BC边上的高，E为AC中点。如图1,过点C作CF, AB于 巳点，连接EF若/ BAB20。，求/ AFE的度数； 若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CNL AM于N点，射 线EN AB交于巳点。依题意将图2补全；小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有/ APE2/MAD 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE要证/ APE=2Z MAD只需证/ PE2/ MAD想法2:设/ MAD a , D DAC：B ,只需用a , B表示出/ PEC通过角度计算得/APE=2 a

2、 .想法3:在NE上取点Q使/ NAQ2/ MA陛证/ APE=2Z MAD只需证 NAQo/X APQ请你参考上面的想法，帮助小宇证明/ APE=2Z MAR 一种方法即可）第8页共8页2、问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E. F. G、H都在同个圆上）.（二）问题解决：已知O的半径为2,AB,CD是O的直径.P是BC?上任意一点，过点P分别作AB, CD的垂线， 垂足分别为N, M.（1）若直径ABLCD,对于BC?任意一点P（不与B. C重合）（如图一），证明四边形P

3、MON内接 于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径ABLCD,在点P（不与B. C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值， 并求其定值；若直径AB与CD相交成120。角。当点P运动到BC?的中点Pi时（如图二），求MN的长；当点P（不与B. C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值。（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值。图二图三3、在RtABC中，/BAC=90。，过点B的直线 MN/AC, D为BC边上一点，连接AD,作DELAD交MN于点E,连接AE.（1）如图，当/ ABC=45。时，求证：AD=DE;（2）如图，当/ A

4、BC=30。时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当/ ABC= a时，请直接写出线段 AD与DE的数量关系.（用含a的三角函数表示）弦图模型1、四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE,以CE为边作正方形CEFG (点D,点F在直线CE的同侧)，连接BF.如图1,当点E与点A重合时，请直接写出 BF的长；(2)如图2,当点E在线段AD上时，AE=1;求点F到AD的距离；求BF的长；若BF = 3J10 ,请直接写出此时 AE的长。旋转之求线段最值1、在 RABC 中，/ACB=90 ,tan/BAC=1/2.点 D 在边 AC 上(不与 A,C 重合)

5、，连接 BD, F 为BD中点。若过点D作DELAB于E,连接CF、EF、CE,如图1.设CF=kEF,则k=;(2)若将图1中的4ADE绕点A旋转，使得D. E. B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所 示。求证：BE-DE=2CF;若BC=6,点D在边AC的三等分点处，将线段 AD绕点A旋转，点F始终为BD中点， 求线段CF长度的最大值。2、以平面上一点 O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AAOB和 COD,其中ZABO = Z DCO =30 .点E. F. M分别是 AC、CD、DB的中点，连接 FM、EM.如图1,当点D. C分别在AO、BO的延长线上时,FMEM =;如图2

6、,将图1中的4AOB绕点O沿顺时针方向旋转 口角(0。“60。),其他条件不变，判断FMEM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；(2)如图3,若BO=33M点N在线段 OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将AAOB 绕点。旋转的过程中，线段 PN长度的最小值为，最大值为 一.3、在 RtAABC 中，ZA=90 , AC=AB=4 , D, E 分别是边 AB , AC 的中点.若等腰 Rt ADE 绕点A逆时针旋转，得到等腰 RtAAD1E1,设旋转角为 a (0V a180)，记直线BD1与 CE1的交点为P.(1)如图，当 a =90时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于 ；(2)如图，当 a =135时，求证：BDi=CEi,且 BDiXCEi;(3)设BC的中点为M,则线段PM的长为点P到AB所在直线的距离的最大值 为.4、已知正方形 ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点，若点M在AB上,且满足 PBCspam,延长 BP交AD于点N,连结 CM.如图一，若点 M在线段 AB上，求证：