2余弦定理教学设计

1、人教版数学必修 5 1.1.2 余弦定理的教学设计一、教学目标解析1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、 向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定 理的不同方法，从而培养学生的发散思维。4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生 进一步认识到数学是有用的。二、教学问题诊断分析1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题： 已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角； 已知

2、三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其 他的边和角。而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生 了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的 重点应放在余弦定理的发现和证明上。2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单 一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、 转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到 更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角

3、有时既可以用余弦定 理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有 效地解题。三、教学支持条件分析为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值 是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果 按通常的运算规则，是近似值时用约等号。四、教学过程设计1、教学基本流程： 从一道生活中的实际问题的解决引入问题， 如何用已知的两条边及其所夹的角来 表示第三条边。 余弦定理的证明：启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明，或引导学生自己 探索获得

4、定理的证明。 应用余弦定理解斜三角形。2、教学情景： 创设情境，提出问题问题1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设 计合理的方案，来测量学校生物岛边界上两点的最 大距离（如图1所示，图中AB的长度）。【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学 生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体会到数学来源于生活，数学服务于生活。师生活动：教师可以采取小组合作的形式，让学生设计方案尝试解决。学生1方案1：如果卷尺足够长的话，可以在岛对岸小路上取D一点C （如图2），用卷尺量出AC和BC的长，用测 角仪测出/ ACB的大小，那么 ABC的大小就可以 确定了。感觉似乎在 ABC中已知AC BC的长及夹 角C的

5、大小，可以求AB的长了。其他学生有异议，若卷尺没有足够长呢学生2方案2:在岛对岸可以取C D两点（如图3）,用卷尺量出CD的长，再用 测角仪测出图中/ 1、/ 2、/ 3、/ 4的大小。在 ACD中，已知/ ACD / ADC及CD 可以用正弦定理求 AC同理在 BCD中，用正弦定理求出BG那么在 ABC中，已知AC BC及/ ACB似乎可以求AB的长了。教师：两种方案归根到底都是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象 正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台，充分发挥学生的主体地位。 求异探新，证明定理问题2:在厶ABC中,/ C = 90。，

6、则用勾股定理就可以得到 c2=a2+b2。【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研 究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。学生3:在厶ABC中，如图4,过C作CDLAB,垂足为D。在 Rt ACD中, AD=bsin/ 1,CD= bcos / 1;在 Rt BCD中, BD=asin/ 2, CD=acos / 2; c2=(AD+BD) 2=b2-CD+a2-CD+2AD BD=a2 b2 2abcos 1 cos 2 2absin 1 sin 22 2=a b 2abcos(

7、12)2 2a b 2abcosC学生4:如图5,过A作AD丄BC,垂足为Do贝U: c2 AD2 BD2b2 CD2 (a CD)2a2 b2 2a CDa2 b2 2abcosC学生 5:如图 5, AD = bsinC , CD = bcosC, c2 = (bsinC) 2+ (a- bcosC ) 2 = a2 +b2-2abcosC类似地可以证明 b2 = a2 +c2-2accosB , c2 = a2+b2-2abcosC。图4图5教师总结：以上的证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形，化一般为特殊，再利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分/C为钝角或直角

8、时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点一余弦定理。【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生 的思维更加严密。师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定 理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣图6学生6:如图6,uu r uu r uu r记Ab c, CB a, CA bruuuruurrr2r2rrab2abcosC(C2 (a b)222rr

9、ab2ab2 2 2cab 2abcosC则cABCBCAab教师：以上的证明避免了讨论/ C是锐角、钝角或直角，思路简洁明了，过程简单, 体现了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示，AB长度又可以联系到平面内两点间的 距离公式，你会有什么启发【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理学生7：如图7,建立直角坐标系，在厶ABC中, AC= b， BC = a .且 A (b，0)， B (acosC, asinC)，C (0，0)，则 c2 AB2 (a cosC b)2 (a s in C)2a2 b2 2ab cosC【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、

10、解析法引导学生体会证明余弦定 理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学 生思维空间的深度和广度。 运用定理，解决问题让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型 的三角形问题。例 1:在 ABC中，已知 a = 2，b = 3，/ C = 60 ，求边 c。在 ABC中，已知 a = 7，b = 3，c = 5，求 A B Co【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既已知三角形 两边及夹角，求第三边；已知三角形三边，求三内角。 小结本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面 进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它 的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其 变式即推论也很协调。【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生 可以兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。 作业第1题：用正弦定理证明余弦定理。【设计意图】：继续要求学生扩宽思路，用正弦定理把余弦定理中的边都转化成角， 然后利用三角公式进行推导证明。而这