专题04 平面向量数量积的坐标表示、平面向量的应用（核心素养练习）（原卷版）附答案

1、专题四 平面向量数量积的坐标表示、平面向量的应用 核心素养练习 一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理-集合元素的互异性例题8.已知向量a(2,1),b(1,k),且a与b的夹角为,求实数k的取值。考点二 数学抽象-子（真子）集个数例题9.已知集合M满足：1,2M1,2,3,4,5,写出集合M所有的可能情况考点三 数学建模-向量解决物理问题例题10、一条宽为km的河,水流速度为2 km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知ABkm,船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度,可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？考点四 直观想象-补集例题11.已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为

2、AB的中点,点F在BC上,且BFFC11,AF与EC相交于点P,求证：AFDE.二、学业质量测评一、选择题1在平面直角坐标系中,已知四边形是平行四边形,则（ ）ABCD2已知菱形的边长为,则ABCD3若O为平面内任意一点,且,则ABC是()A直角三角形或等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形但不一定是直角三角形D直角三角形但不一定是等腰三角形4一条河的宽度为,一只船从处出发到河的正对岸处,船速为,水速为,则船行到处时,行驶速度的大小为（ ）ABCD5在中,已知向量与满足且,则是( )A三边均不相同的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形6过内一点任作一条直线,再分别过顶点作的垂线,垂

3、足分别为,若恒成立,则点是的（ ）A垂心B重心C外心D内心7（多选题）以下选项中,一定是单位向量的有（ ）A.；B.；C.；D.8.【江苏省苏州市张家港市外国语学校2019-2020学年高一上学期12月月考】（多选题）已知,如下四个结论正确的是（ ）A；B四边形为平行四边形；C与夹角的余弦值为；D二、填空题9在水流速度为的河流中,有一艘船正沿与水流垂直的方向以的速度航行,则船自身航行速度大小为_.10【上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考】已知平面向量满足,且,则的最大值与最小值之和为_.11【上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期1

4、0月月考】已知向量,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是_.12已知,则与的夹角为 .三、解答题13已知向量（1）若与向量垂直,求实数的值；（2）若向量,且与向量平行,求实数的值14已知是同一平面内的三个向量,；（1）若,且,求的坐标；（2）若,且与垂直,求与的夹角.15如图,在正方形中,分别为的中点,求证：（利用向量证明）.专题四 平面向量数量积的坐标表示、平面向量的应用 核心素养练习 一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理-集合元素的互异性例题8.已知向量a(2,1),b(1,k),且a与b的夹角为,求实数k的取值。【参考答案】k或3.【解析】cos,即,整理得3k28k30,解得k或3.考点二

5、 数学抽象-子（真子）集个数例题9.已知集合M满足：1,2M1,2,3,4,5,写出集合M所有的可能情况【解析】由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：1,2,3,1,2,4,1,2,5；含有4个元素：1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5；含有5个元素：1,2,3,4,5故满足条件的集合M为1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5考点三 数学建模-向量解决物理问题例题10、一条宽为km的河,水流速度为2 km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知

6、ABkm,船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度,可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？【参考答案】A【解析】如图所示,设为水流速度,为航行速度,以AC和AD为邻边作ACED,当AE与AB重合时能最快到达彼岸根据题意知ACAE,在RtADE和ACED中,|2,|4,AED90,|2,20.5(h),sin EAD,EAD30.船实际航行速度大小为4 km/h,与水流成120角时能最快到达B码头,用时0.5小时考点四 直观想象-补集例题11.已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC上,且BFFC11,AF与EC相交于点P,求证：AFDE. 【参考答案】

7、见解析【解析】证明：建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),则中点E(3,0),F(6,3),(6,3),(3,6),633(6)0,AFDE.二、学业质量测评一、选择题1在平面直角坐标系中,已知四边形是平行四边形,则（ ）ABCD【参考答案】D【解析】因为四边形是平行四边形,所以,所以,故选D2已知菱形的边长为,则ABCD【参考答案】D【解析】由题意得,设,根据向量的平行四边形法则和三角形法则,可知,故选D.3若O为平面内任意一点,且,则ABC是()A直角三角形或等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形但不一定是直角三角形D直角三角形但不一定是等

8、腰三角形【参考答案】C【解析】由0得0,220,即|,ABAC,即ABC是等腰三角形,但不一定是直角三角形选C.4一条河的宽度为,一只船从处出发到河的正对岸处,船速为,水速为,则船行到处时,行驶速度的大小为（ ）ABCD【参考答案】D【解析】如图所示,由平行四边形法则和解直角三角形的知识,可得船行驶的速度大小为.故选：D.5在中,已知向量与满足且,则是( )A三边均不相同的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形【参考答案】D【解析】设,和是两个单位向量,是的平分线,由题意,是等腰三角形,即,是等边三角形,故选：D6过内一点任作一条直线,再分别过顶点作的垂线,垂足分别为,若恒成立,则点

9、是的（ ）A垂心B重心C外心D内心【参考答案】B【解析】本题采用特殊位置法较为简单.因为过内一点任作一条直线,可将此直线特殊为过点A,则,有.如图：则有直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点是的重心,故选B.7（多选题）以下选项中,一定是单位向量的有（ ）A.；B.；C.；D.【参考答案】AB【解析】,.因此,和都是单位向量,故选AB8.【江苏省苏州市张家港市外国语学校2019-2020学年高一上学期12月月考】（多选题）已知,如下四个结论正确的是（ ）A；B四边形为平行四边形；C与夹角的余弦值为；D【参考答案】BD【解析】由,所以, ,对于A,

10、故A错误；对于B,由,则,即与平行且相等,故B正确； 对于C,故C错误；对于D,故D正确；故选：BD二、填空题9在水流速度为的河流中,有一艘船正沿与水流垂直的方向以的速度航行,则船自身航行速度大小为_.【参考答案】【解析】如下图,代表水流速度,代表船自身航行的的速度,而代表实际航行的速度,所以有,所以船自身航行的速度大小为.10【上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考】已知平面向量满足,且,则的最大值与最小值之和为_.【参考答案】【解析】设,代入方程,的最大值为：圆心到原点的距离加上半径,即；的最小值为：圆心到原点的距离减去半径,即；的最大值与最小值之和为.故参考答案为：.11【上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考】已知向量,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是_.【参考答案】【解析】与的夹角为锐角,解得：.故参考答案为：.12已知,则与的夹角为 .【参考答案】【解析】根据已知条件,去括号得：,三、解答题13已知向量（1）若与向量垂直,求实数的值；（2）若向量,且与向量平行,求实数的值【参考答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意,因为与 垂直,所以整理得,解得（2）由题意,由（1）知,因为与平行,所以,整理得,解得14已知是同一平面内的三个向量,；