专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）（解析版）

1、专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导） 【题型解读】题型特点命题趋势从近几年的高考试题看,全国卷交替考查三角函数、解三角形该部分解答题是高考得分的基本组成部分,考查的热点题型有：一是考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题.主要是在三角恒等变换的基础上融合正、余弦定理,在知识的交汇处命题仍然是命题的关注点.题型一：三角函数的图象和性质1注意对基本三角函数ysin x,ycos x的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函

2、数转化为yAsin(x)的形式,然后利用整体代换的方法求解2解决三角函数图象与性质综合问题的步骤(1)将f(x)化为asin xbcos x的形式(2)构造f(x).(3)和角公式逆用,得f(x)sin(x)(其中为辅助角)(4)利用f(x)sin(x)研究三角函数的性质(5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范【例1】 (2017山东卷)设函数f(x)sinsin,其中03.已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数yg(x)的图象,求g(x)在上的最小值【参考答案】见解析【解析】(1)因为f(x)s

3、insin,所以f(x)sinxcosxcos xsin xcosxsin.因为f0,所以k,kZ.故6k2,kZ.又03,所以2.(2)由(1)得f(x)sin,所以g(x)sinsin.因为x,所以x,当x,即x时,g(x)取得最小值.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养,将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数,从而便于对性质的研究,考查数学建模的核心素养【突破训练1】 设函数f(x)sin2xsin xcos x(0),且yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值【参考答案】见解析【解析】(1)f(x)

4、sin2xcos2xsin2xsin.因为yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,故该函数的周期T4.又0,所以,因此1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时,2x,所以sin sinsin 1,所以1f(x),即f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,1.题型二解三角形1高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦

5、定理,在知识的交汇处命题2用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件,寻找三角形中已知的边和角,确定转化方向第二步：定工具,根据已知条件和转化方向,选择使用的定理和公式,实施边角之间的转化第三步：求结果,根据前两步分析,代入求值得出结果第四步：再反思,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性【例2】 在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos(CB)cos(CB)cos2Asin Csin B(1)求A；(2)若a3,求b2c的最大值【参考答案】见解析【解析】(1)cos(CB)cos(CB)cos2AsinCsinBcos2(CB)sinCsinB,则cos(CB)cos

6、(CB)cos(CB)sinCsinB,则cosA2sinCsinBsinCsinB,可得cosA,因为0A,所以A60.(2)由2,得b2c2(sinB2sinC)2sinB2sin(120B)2(2sinBcosB)2sin(B),其中tan,.由B得B,所以sin(B)的最大值为1,所以b2c的最大值为2.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系,从而求得三角形的部分度量关系,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养【突破训练2】 (2017天津卷)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,a5,c6,sin B.(1)求b和sin A的值；(2)求sin的值【参考答案】见解析【解析】(1)在ABC中,因为ab,故由sinB,可得cosB.由已知和余弦定理,有b2a2c22accosB13,所以b.由正弦定理得sinA.(2)由(1)及a0)的图象与直线y2相邻两个交点间的最短距离T2,即2,解得,故f(x)2cos(xB)又f2cos1,即cos.因为B是ABC的内角,所以B,从而ABC是直角三角形,所以b,所以SABCab.(2)由题意知A,a3,设ABC的外接