选修空间向量与平行关系空间向量与垂直关系PPT学习教案

1、会计学1 选修空间向量与平行关系空间向量与垂选修空间向量与平行关系空间向量与垂 直关系直关系 研究研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工具我们将进一步来体会向量这一工具 在立体几何中的应用在立体几何中的应用. . 引入引入1 1、 立体几何问题立体几何问题 ( (研究的基本对象是点、直线、平面研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形以及由它们组成的空间图形) ) 导入：导入： 第1页/共42页 ,pa b pxay a b xy b 向向量量 与与向向量量 共共 如如果果两两个个向向量量不不共共线线，则则 面面的的充充要要条条件件 是是存存在在实实数数对对

2、 ， ，使使 . . 共线向量定理共线向量定理: : 引入引入2 2、复习复习 共面向量定理共面向量定理: : 0 / /a ba a bb b 对对空空间间任任意意两两个个向向量量 , , （），的的 充充要要条条件件是是存存在在数数实实，使使. . 第2页/共42页 引入引入3 3、思考思考 1.1.如何确定一个点在空间的位置？如何确定一个点在空间的位置？ 2.2.在空间中给一个定点在空间中给一个定点A A和一个定方向（向量），能和一个定方向（向量），能 确定一条直线在空间的位置吗？确定一条直线在空间的位置吗？ 3.3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个给一个定点和两个定方向（向量

3、），能确定一个 平面在空间的位置吗？平面在空间的位置吗？ 4.4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个 平面在空间的位置吗？平面在空间的位置吗？ 第3页/共42页 O P 探究点探究点1 1 点点, , 直线，平面的位置向量直线，平面的位置向量 提示：提示： 第4页/共42页 a A B P 空间中任意一条直线空间中任意一条直线l的位置可以由的位置可以由l上一个定点上一个定点A A 以及一个定方向确定以及一个定方向确定. . 第5页/共42页 a A B P ,APtAB 此方程称为此方程称为直线的向量参数方程直线的向量参数方程. O OP P=

4、 =O OA A+ +t ta a 或或 O OP P= =x xO OA A+ +y yO OB B ( (x x+ +y y= =1 1）. . 第6页/共42页 P O b a 第7页/共42页 P b a OOPxayb 除此之外除此之外, ,还可以用垂直于平面的直线的方向向还可以用垂直于平面的直线的方向向 量量( (这个平面的法向量这个平面的法向量) )表示空间中平面的位置表示空间中平面的位置. . n 这样，点这样，点O O与向量与向量 不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位的位 置，还可以具体表示出置，还可以具体表示出 内的任意一点内的任意一点. . a b , 探究点探究点2

5、2 平面的法向量平面的法向量 第8页/共42页 A 几点注意：几点注意： 1.1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量. . 2.2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都 互相平行互相平行. . 3.3.向量向量 是平面的法向量，是平面的法向量， 向量向量 与平面平行或在平面与平面平行或在平面 内，则有内，则有0.n a l 平面的法向量：平面的法向量：如图，直线如图，直线 ，取直线，取直线l的方向向的方向向 量量 ，则向量，则向量 叫做平面叫做平面 的的 法向量法向量 . . l a a a 给定一点给定一点A A和一个向量和一个向量 , ,那么过点那么过点 A,A,以向量以向量

6、 为法向量的平面是完全确定为法向量的平面是完全确定 的的. . a a a n 第9页/共42页 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面因为方向向量与法向量可以确定直线和平面 的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量 与平面的法向量表示空间直线、平面间的与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、平行、 垂直、夹角垂直、夹角等关系等关系. . 你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、 垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用 平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置平

7、面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置 关系以及它们二面角的大小吗？关系以及它们二面角的大小吗？ 第10页/共42页 l m a b / /lm / /abab 第11页/共42页 l u a / /l0aua u 第12页/共42页 / / /uvuv v u 第13页/共42页 第14页/共42页 类型一：类型一：平面向量的法向量平面向量的法向量 【典例典例1 1】(1)(1)若已知若已知A(1A(1，0 0，1)1)，B(0B(0，1 1，1)1)，C(1C(1，1 1，0)0)，则平，则平 面面ABCABC的一个法向量为的一个法向量为( () ) A.(-1A.(-1，0 0，1)

8、B.(11) B.(1，1 1，1)1) C.(1C.(1，2 2，3) D.(-13) D.(-1，2 2，3)3) 第15页/共42页 (2)(2)四边形四边形ABCDABCD是直角梯形，是直角梯形，ABC=90ABC=90，SASA平面平面ABCDABCD， SA=AB=BC=2SA=AB=BC=2，AD=1.AD=1.在如图所示的坐标系在如图所示的坐标系A-xyzA-xyz中，分别求平面中，分别求平面SCDSCD和和 平面平面SABSAB的一个法向量的一个法向量. . 第16页/共42页 【解析解析】(1)(1)选选B.B.设平面设平面ABCABC的一个法向量为的一个法向量为n(x(x

9、，y y，z)z) 由题意由题意 因为因为 所以所以 令令x x1 1，得，得y yz z1.1. 所以平面所以平面ABCABC的一个法向量为的一个法向量为n(1,1,1)(1,1,1) AB1,1,0 BC 1,01 ， ， ABBC 且，nn ABx y 0 BC x z 0 ， ， n n 第17页/共42页 (2)(2)由题意知由题意知A(0A(0，0 0，0)0)，D(1D(1，0 0，0)0)，C(2C(2，2 2，0)0)，S(0S(0，0 0，2)2) 因为因为ADAD平面平面SABSAB，所以，所以 (1(1，0 0，0)0)是平面是平面SABSAB的一个法向量的一个法向量

10、设平面设平面SCDSCD的法向量为的法向量为n(1(1，y y，z)z)， 则则 (1(1，y y，z)z)(1(1，2 2，0)0)1 12y2y0 0， 所以所以 又又 (1(1，y y，z)z)( (1 1，0 0，2)2)1 12z2z0 0，所以，所以 所以所以 即为平面即为平面SCDSCD的一个法向量的一个法向量. . AD DC n 1 y. 2 DS n 1 z, 2 1 1 (1, ) 2 2 n 第18页/共42页 类型二：类型二：空间中线线平行问题空间中线线平行问题 【典例典例2 2】已知已知O O为坐标原点，四面体为坐标原点，四面体OABCOABC中，中，A A，B B

11、，C C的坐标分别为的坐标分别为 A(0A(0，3 3，5)5)，B(1B(1，2 2，0)0)，C(0C(0，5 5，0)0)，若直线，若直线ADBCADBC且且ADAD交坐标交坐标 平面平面xOzxOz于点于点D D，求点，求点D D的坐标的坐标. . 【解题指南解题指南】先设出先设出D D点坐标，由点坐标，由ADADBCBC得出直线得出直线ADAD与与BCBC的方向向量的方向向量 的关系进而求出点的关系进而求出点D D的坐标的坐标. . 第19页/共42页 【解析解析】因点因点D D在平面在平面xOzxOz中，所以可设点中，所以可设点D(x,0,z),D(x,0,z), 得向量得向量 =

12、(x=(x，-3,z-5)-3,z-5)，向量，向量 =(-1,3,0).=(-1,3,0). 因为直线因为直线ADBC,ADBC,所以有向量所以有向量 即有即有 从而从而x=-,-3=3,z-5=0 x=-,-3=3,z-5=0，得，得x=1,z=5.x=1,z=5. 故点故点D D的坐标为的坐标为(1(1，0 0，5).5). AD BC AD BC, ADBC, 第20页/共42页 类型三：类型三：向量法求证线面、面面平行问题向量法求证线面、面面平行问题 【典例典例3 3】如图，在四棱锥如图，在四棱锥 S-ABCDS-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD为正方形，侧棱为正方形，侧棱S

13、DSD底面底面ABCDABCD， E E，F F分别为分别为ABAB，SCSC的中点的中点. . 证明：证明：EFEF平面平面SAD.SAD. 【解题指南解题指南】取取SDSD的中点，利用直线的中点，利用直线EFEF的方向向量与平面内某直线的方向向量与平面内某直线 的方向向量平行进行证明的方向向量平行进行证明 第21页/共42页 【证明证明】建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系. . 第22页/共42页 设设A(a,0,0)A(a,0,0)，S(0,0S(0,0，b)b)，则，则B(aB(a，a,0)a,0)， C(0C(0，a,0)a,0)， 取取SDSD的中点的中点 连

14、接连接AGAG， 则则 因为因为 所以所以EFAGEFAG， 又又AGAG平面平面SADSAD，EFEF 平面平面SADSAD， 所以所以EFEF平面平面SAD.SAD. aa b E(a, ,0) F(0, , ) 22 2 ， b EF ( a,0, ). 2 b G(0,0, ) 2 ， b AG ( a,0, ). 2 EF AG ， 第23页/共42页 (1) lm0.aba b 探究点探究点3 3 垂直关系：垂直关系： l m a b 第24页/共42页 (2) l / /.auau l a u A B C 第25页/共42页 3 （）uvu v0. u v 第26页/共42页 提

15、示： m m a ab b 设设直直线线的的方方向向向向量量分分别别为为a,ba,b， 平平面面, , 的的法法向向量量分分别别为为，则则 线线线线垂垂直直 线线面面垂垂直直 面面面面垂垂直直 a b = 0;a b = 0; a au ua =a =u;u; u uv v ,m,m u,vu,v u= 0.u= 0. v v l l l 第27页/共42页 第28页/共42页 类型一：类型一：线线垂直的证明线线垂直的证明 【典例典例1 1】(1)(1)已知空间三点已知空间三点A(0A(0，0 0，1)1)，B(-1B(-1，1 1，1)1)，C(1C(1，2 2，-3)-3)， 若直线若直线

16、ABAB上一点上一点M M，满足，满足CMABCMAB，则点，则点M M的坐标为的坐标为_._. (2)(2)如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=2AB=2， 证明：证明：ABAABA1 1C.C. 1 AC AA2 3ABC. 3 ， 第29页/共42页 【解析解析】(1)(1)设设M(xM(x，y y，z)z)，又，又 (x(x1 1，y y2 2，z z3)3)， 由点由点M M在直线在直线ABAB上得上得 共线即共线即x=x=，y=y=，z z1=01=0， 又因为又因为CMABCMAB，向量，向量 与向量与向量 的数量积为的

17、数量积为0 0， 即即 =0=0，-(x-(x1)+(y1)+(y2)=02)=0， 联立得联立得 解得解得 点点M M的坐标为的坐标为 答案：答案： AB110 AMx y z 1 ， ， ， ， ， CM AB AM 与 CM AB CMAB 1 x y 2 0, xy, z 1 0, 11 xyz 1. 22 ， 1 1 (, ,1). 2 2 1 1 (, ,1) 2 2 第30页/共42页 (2)(2)在在ABCABC中，由正弦定理可求得中，由正弦定理可求得 所以所以ABAC.ABAC.以以A A为原点，分别以为原点，分别以AB,AC,AAAB,AC,AA1 1为为x,y,zx,y,

18、z轴，建立空间直轴，建立空间直 角坐标系，则角坐标系，则A(0,0,0)A(0,0,0)， B(2,0,0)B(2,0,0)， 即即ABAABA1 1C. C. 1 sin ACBACB. 26 1 A(0,0,2 3)，C(02 30)， ， 111 AB (200)AC (0,2 3, 2 3)ABAC 0ABAC, ， ， 第31页/共42页 类型二：类型二：线面垂直的证明线面垂直的证明 【典例典例2 2】如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA底面底面ABCDABCD，ABADABAD， ACCDACCD，ABC=60ABC=60，PA=AB=BCP

19、A=AB=BC，点，点E E是是PCPC的中点的中点. .证明：证明： (1)AECD.(1)AECD. (2)PD(2)PD平面平面ABE.ABE. 第32页/共42页 【解析解析】因为因为ABAB，ADAD，APAP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角两两垂直，所以建立如图所示的空间直角 坐标系，设坐标系，设PA=AB=BC=1PA=AB=BC=1，则，则P(0P(0，0 0，1).1). 第33页/共42页 (1)(1)因为因为ABCABC6060，所以，所以ABCABC为正三角形所以为正三角形所以 设设D(0D(0，y,0)y,0)，由，由ACCDACCD， 得得 解得解得 所以所以

20、又因为又因为 即即 所以所以AECD.AECD. 1313 1 C(0) E(). 2 24 4 2 ， ， ， ACCD 0 ， 2 32 3 yD(00), 33 ，则， 13 CD (0) 2 6 ， ， 13 1 AE () 4 4 2 ， ， 1 1331 CDAE00 2 4642 ， AECD ， 第34页/共42页 (2)(2)方法一：因为方法一：因为P(0,0,1)P(0,0,1)，所以，所以 又因为又因为 所以所以 即即PDAE.PDAE. 因为因为 (1,0,0)(1,0,0)，所以，所以 所以所以PDABPDAB，又因为，又因为ABAEABAEA A，所以，所以PDPD

21、平面平面AEB.AEB. 2 3 PD (0,1). 3 ， 13 2 31 AE PD010 4432 ， AEPD ， AB PDAB 0 ， 第35页/共42页 方法二：设平面方法二：设平面ABEABE的法向量为的法向量为n(x(x，y y，z)z)， 因为因为 (1,0,0)(1,0,0)， 所以所以 令令y y2 2，则，则 所以所以 因为因为 显然显然 因为因为 n n，所以，所以 平面平面ABEABE， 即即PDPD平面平面ABE.ABE. AB 13 1 AE ( , ) 4 4 2 ， x 0 AB 0 131 xyz 0AE 0 442 ， ， 即 ， n n z3 ， (

22、0,23),n 2 3 PD (0,1) 3 ,， 3 PD. 3 n PD PD 第36页/共42页 类型三：类型三：面面垂直的证明面面垂直的证明 【典例典例3 3】三棱锥被平行于底面三棱锥被平行于底面ABCABC的平面所的平面所 截得的几何体如图所示，截面为截得的几何体如图所示，截面为A A1 1B B1 1C C1 1，BAC=90BAC=90，A A1 1AA平面平面 ABC.AABC.A1 1A= AB=AC=2AA= AB=AC=2A1 1C C1 1=2=2，点，点D D为为BCBC中点中点. . 证明：平面证明：平面A A1 1ADAD平面平面BCCBCC1 1B B1 1. . 3 ， 第37页/共42页 【证明证明】方法一：建立如图所示的空间直角坐标系方法一：建立如图所示的空间直角坐标系. . 则则A(0,0,0)A(0,0,0)，B(2,0,0)B(2,0,0)，C(0,2,0)C(0,2,0)， 因为点因为点D D为为BCBC的中点，的中点， 所以所以D D点坐标为点坐标为(1,1,0)(1,1,0)， 11 A(0,0 3) C(0,1 3)， ， ， 第38页/