222平行四边形的判定

1、平行四边形平行四边形 本课内容本节内容 2.2 2.2.2 平行四边形的判定平行四边形的判定 动脑筋动脑筋 从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能 不能从一条线段不能从一条线段AB 出发，画出一个平行四边形呢？出发，画出一个平行四边形呢？ 图图2-20 如图如图2-20， 把线段把线段AB 平移到某一位置，得到线段平移到某一位置，得到线段 DC， 则可知则可知ABDC ，且，且AB=DC. 由于点由于点A，B的对应的对应 点分别是点点分别是点D，C，连接，连接AD，BC，由平移的性质，由平移的性质: 两组两组 对应点的连线平行且相等，即对应点的

2、连线平行且相等，即ADBC. 由平行四边形由平行四边形 的定义可知四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 图图2-20 实际上，上述问题抽象出来就是：一组对边平行实际上，上述问题抽象出来就是：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形吗？且相等的四边形是平行四边形吗？ 如图如图2-21，已知，已知 ABDC ， 且且AB=DC ，如果连接，如果连接AC，也可证明四边，也可证明四边 形形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程是平行四边形，请你完成这个证明过程. 图图2-21 结论结论 由此得到平行四边形的判定定理由此得到平行四边形的判定定理1： 一组对边平行且相等的四边形是平

3、行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 举举 例例 例例5 已知：如图已知：如图2-22，在，在ABCD的边的边BC，AD 上分别取一个点上分别取一个点E，F，使得，使得 ， . 连结连结BF，DE. 求证求证：四边形：四边形BEDF是平行四边形是平行四边形. 1 = 3 BEBC 1 = 3 FDAD 图图2-22 证明证明 由于四边形由于四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， 因此因此ADBC，AD=BC. 因此因此BE=FD. 11 = 33 BEBC FDAD 由由于于 ， 又又 BEFD， 所以四边形所以四边形BEDF是平行四边形是平行四边形. . ( (一组对边平行且

4、相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.).) 图图2-22 动脑筋动脑筋 如图如图2-23，用两支同样长的铅笔和两支同样长，用两支同样长的铅笔和两支同样长 的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？ 把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等 的四边形是平行四边形吗？的四边形是平行四边形吗？ 图图2-23 1=2. 下面我们来证明这个结论下面我们来证明这个结论. . 如图如图2-24，在四边形，在四边形ABCD中，中，AB=DC，AD=BC，连接，连接AC. AB=CD，BC=DA，AC=CA ， A

5、BCCDA. . 四边形四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的是平行四边形（一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形）四边形是平行四边形）. . 则则 ADBC. 图图2-24 结论结论 由此得到平行四边形的判定定理由此得到平行四边形的判定定理2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 如图如图2-25，在四边形，在四边形ABCD中，中，ABCCDA. 求证：四边形求证：四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 例例6 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. AB=DC ，AD=BC . 证明：证明： ABCCDA ， 图图2-25 举举

6、 例例 如图，在如图，在ABCD中，中，AE= CF. 求证：四边形求证：四边形EBFD是平行四边形是平行四边形. 练习练习 1. ABCD， AB = CD且且 EBFD . 证明证明 又又 AE= CF ， BE = DF. 四边形四边形EBFD是平行四边形是平行四边形. 2. 如图，如图，在四边形在四边形ABCD中，中，AB=DC，BC=AD，E，F 分别是边分别是边BC，AD的中点的中点. 找出图中所有的平行四边形，找出图中所有的平行四边形， 并且说出理由并且说出理由. 练习练习 解：解：ABCD：两组对边分别相等的两组对边分别相等的 四边形是平行四边形四边形是平行四边形. ABEF

7、和和 FECD ：一组对边：一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形平行且相等的四边形是平行四边形. 观察图观察图2-26 ，从，从“平行四边形的对角线互相平行四边形的对角线互相 平分平分”这一性质受到启发，你能画出一个平行四这一性质受到启发，你能画出一个平行四 边形吗？边形吗？ 动脑筋动脑筋 图图2-26 过点过点O画两条线段画两条线段AC，BD，使得，使得OA=OC， OB=OD. 连结连结AB，BC，CD，DA，则四边形，则四边形ABCD是是 平行四边形，如图平行四边形，如图2-27. 你能说出这样画出的四边形你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平一定是平 行四边形的道理吗？行四边形的

8、道理吗？ 图图2-27图图2-27 由于由于OA=OC，OB=OD， AOB=COD 因此因此OAB OCD. ( (SAS) ) 从而从而 AB = CD ，ABO=CDO . 于是于是 ABDC. 同理同理 BCAD 所以四边形所以四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 结论结论 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形. 由此得到平行四边形的判定定理由此得到平行四边形的判定定理3： 已知：如图已知：如图2-28，在，在ABCD的对角线的对角线AC和和 BD相交于点相交于点O，点点E，F在在BD上且上且OE=OF. 求证：四边形求证：四边形AECF是平行四边形

9、是平行四边形. 举举 例例 例例7 图图2-28 证明：证明：由于四边形由于四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， 因此因此 OA=OC. 所以四边形所以四边形AECF是平行四边形是平行四边形. . 又又 OE=OF， 图图2-28 已知：如图已知：如图2-29，在，在四边形四边形ABCD中中，A=C ， B=D. 求证：四边形求证：四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 举举 例例 例例8 图图2-29 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. . 证明证明 A =C， B =D， A +B +C +D = 360， 360 180 2 AB. BCAD . 同理，同理，ABDC

10、. 从例从例8 可以看出可以看出， 两组对角分别相等的两组对角分别相等的 四边形是平行四边形四边形是平行四边形. 图图2-29 议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议 两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？ 如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是 平行四边形吗？如果是，请说明理由；如果不是，平行四边形吗？如果是，请说明理由；如果不是， 请举出反例请举出反例. 1. 2. 对于第对于第

11、2 题，我能题，我能 想到这个图形想到这个图形. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一一组对边相等，另一组对边平行的四边形一 定是平行四边形吗？定是平行四边形吗？ 对于第对于第1 题，题， 我能想到这个图形我能想到这个图形. 两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？ 如图，把如图，把ABC的中线的中线AD延长至延长至E，使得，使得 DE=AD，连接，连接EB，EC . 求证：四边形求证：四边形ABEC是平行四边形是平行四边形. 练习练习 1. 证明：证明：由已知由已知 BD=CD, DE=AD. 所以四边形所以四边形ABEC是平行四边形是平行四

12、边形.(.(对角线互对角线互 相平分的四边形是平行四边形相平分的四边形是平行四边形.).) 如图，如图，ABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O，直线，直线MN 经过点经过点O，分别与，分别与AB ，CD交于点交于点M，N ，连接，连接 AN，CM. 求证：四边形求证：四边形AMCN是平行四边形是平行四边形. 2. 证明：证明： ABCD， OA=OC, ABDC. 四边形四边形AMCN是平行四边形是平行四边形. . BAC =ACD. 又又 AOM =CON, 所以所以 AOM CON. ( (ASA) ) AM=CN. 又又 AMCN， 中考中考 试题试题 例例1 如图，是由如图，是由1

13、2个边长相等的正三角形镶嵌而个边长相等的正三角形镶嵌而 成的平面图形，则图中的平行四边形共有成的平面图形，则图中的平行四边形共有 个个. 解析解析 由图形知，由两个正三角形所由图形知，由两个正三角形所 组成的平行四边形有组成的平行四边形有6+6+1=13个；个； 由四个正三角形所组成的平行四边形由四个正三角形所组成的平行四边形 有有6个，由六个正三角形所组成的平个，由六个正三角形所组成的平 行四边形有行四边形有2个；个； 故所有的平行四边形共有故所有的平行四边形共有21个个. . 21 中考中考 试题试题 例例2 如图，如图，E，F是四边形是四边形ABCD的对角线的对角线AC上上 两点，两点，AF=CE，DF=BE，DFBE. 求证求证：（：（1）AFD CEB； （2）四边形）四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. （1）DFBE， DFE