专题11 函数的基本性质（奇偶性）（讲）（解析版）

1、2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）专题11函数的基本性质（奇偶性）（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于f(x)定义域内的任意一个x结论f(x)f(x)f(x)f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称知识点拨(1)奇、偶函数定义域的特点由于f(x)和f(x)须同时有意义,所以奇、偶函数的定义域关于原点对称(2)奇、偶函数的对应关系的特点奇函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)；偶函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)(3)函数奇偶性的三个关注点若奇函数在原点处有定义,则必

2、有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空集合；函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(4)奇、偶函数图象对称性的应用若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数；若一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数1已知,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则（ ）A-3B-1C1D3【参考答案】C【解析】由题意得：,又因为,分别是定义在上的偶函数和奇函数,所以,故选：C2下列图像表示的函数中具有奇偶性的是（ ）.ABCD【参考答案】B【解析】选项A中的图象关于原

3、点或轴均不对称,故排除；选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除；选项B中的图象关于轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.3对于定义在上的任意奇函数,均有（ ）ABCD【参考答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数,所以有、.选项A: ,的正负性题目中没有说明,故本选项是错误的；选项B: ,的正负性题目中没有说明,故本选项是错误的；选项C: ,故本选项是错误的；选项D: ,故本选项是正确的.故选D4已知函数为上的偶函数,当时,单调递减,若,则的取值范围是（ ）ABCD【参考答案】C【解析】结合题意,为偶函数,则该函数关于y轴对称,当时,单调递减,根据大致绘制函数图

4、像,要满足,则要求,解得,故选C.5已知函数,若,则的值为（ ）ABCD【参考答案】B【解析】函数的定义域为,函数为奇函数,则.故选：B.典型题型与解题方法重要考点一：函数奇偶性的判断【典型例题】根据定义,判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）g(x)=x4+2；（3）；（4）.【参考答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）既不是奇函数,也不是偶函数.【解析】（1）依题意知函数的定义域为R,且对任意的,有,所以函数是奇函数；（2）依题意知函数的定义域为R,且对任意的,有,所以函数是偶函数；（3）依题意知函数的定义域为,且对任意的,有,所以函数是偶函数；（4）函数的定义域为,定义域不

5、关于原点对称,所以函数既不是奇函数,也不是偶函数.【题型强化】判断下列函数的奇偶性（1）f(x)2x；（2）f(x)2|x|；（3）f(x)； （4）f(x).【参考答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数【解析】（1）因为函数f(x)的定义域是x|x0,关于原点对称,又f(x)2xf(x)f(x)为奇函数(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(x)2|x|2|x|f(x),f(x)为偶函数(3)函数f(x)的定义域为1,1,关于原点对称,且f(x)0,又f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数(4)显然函数f(x)的

6、定义域为x|x1,不关于原点对称,f(x)是非奇非偶函数【收官验收】判断函数f(x)x (a为常数)的奇偶性,并证明你的结论【参考答案】为奇函数,证明见解析.【解析】为奇函数,证明如下：的定义域为x|x0对于任意x0,为奇函数【名师点睛】判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数此法多用在解选择题、填空题中重要考点二：奇、偶函数图象的应用【典型例题】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,且当x0时,f（x）x2+2x现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示,（1）画出函数f（x）,xR剩余部分的图象,并

7、根据图象写出函数f（x）,xR的单调区间；（只写参考答案）（2）求函数f（x）,xR的解析式 【参考答案】（1）图象见解析；递减区间为（,1,1,+）；增区间为（1,1）；（2）f（x）【解析】（1）根据题意,函数f（x）是定义在R上的奇函数,则其图象如图：其递减区间为（,1,1,+）；增区间为（1,1）；（2）根据题意,函数f（x）是定义在R上的奇函数,则f（0）0,满足f（x）x2+2x；当x0时,则x0,则f（x）（x）2+2（x）x22x,又由函数f（x）是定义在R上的奇函数,则f（x）f（x）x2+2x,综上：f（x）【题型强化】已知奇函数f(x)定义域为5,5且在0,5上的图象如图

8、所示,求使f(x)0的x的取值范围【参考答案】【解析】由题可知：函数是5,5上的奇函数,则函数在5,5上图象如下：所以f(x)0的解集为【收官验收】已知函数是定义在上的奇函数,当时,.（1）求的解析式；（2）作出函数的图象并求出单调增区间.【参考答案】（1）；（2）图象见解析,单调递增区间为和.【解析】（1）当时,.当时,则.因为函数是上的奇函数,则.因此,；（2）函数的图象如下图所示：由图象可知,函数的单调递增区间为和.【名师点睛】1研究函数图象时,要注意对函数性质的研究,这样可避免作图的盲目性和复杂性2利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称重要考点三：

9、利用函数的奇偶性求解析式【典型例题】若函数在上是奇函数,则的解析式为_【参考答案】【解析】在上是奇函数,又,即,【题型强化】已知函数是定义在上的奇函数,且时,则时,_【参考答案】【解析】设,则,所以,又因为,所以,所以.故参考答案为：【收官验收】已知函数是奇函数,且,则函数的解析式_.【参考答案】【解析】奇函数的定义域为,关于原点对称,所以,得,故,又,即,得,因此.故参考答案为.【名师点睛】利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立,但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为x(另一个已知

10、区间上的解析式中的变量),通过适当推导,求得所求区间上的解析式重要考点四：忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误【典型例题】已知定义在上的函数是增函数.（1）若,求的取值范围；（2）若函数是奇函数,且,解不等式.【参考答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得,求得,即的范围是.（2）函数是奇函数,且,.不等式的解集为.【题型强化】已知函数是定义在上的奇函数,且.（1）求函数的解析式；（2）用定义法证明函数的单调性；（3）若,求实数的取值范围.【参考答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】（1）由题意可得：,解得：.即（2）证明：设因为,所以,所以,即故在上是增函数（3）,即所以,

11、解得：【收官验收】定义在上的偶函数,当时单调递增,设,求m的取值范围.【参考答案】【解析】解： 是定义在上的偶函数, 又, 又当时单调递增当时单调递减.而 解得即所求的取值范围为.【名师点睛】1函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称2确定函数的定义域时,要针对函数的原解析式重要考点五：逻辑推理与转化思想的应用再谈恒成立问题【典型例题】已知函数.（1）写出一个奇函数和一个偶函数,使=+； （2） 若对于任意的 恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】（1）,；（2）.【解析】（1）由奇偶函数的特征由的函数特征可知是偶函数,是奇函数,是偶函数,奇函数是,偶函数；（2）

12、由（1）可知恒成立,即恒成立, 即 或 整理为或 ,解得：或,的取值范围是【题型强化】已知是定义在上的奇函数,且,若,时,都有.（1）解关于的不等式；（2）若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】（1）（2）或或【解析】(1)因为是定义在上的奇函数,故任取,则,故有,即在上是增函数,因为是定义在上的奇函数,且在上是增函数,不等式可化为,所以,解得;(2)由(1)知在上是增函数,所以在上的最大值为,要使对任意,恒成立,只要,设,因为对任意,恒成立,所以解得或或.【收官验收】已知是定义在上的奇函数且单调递增,.（1）解不等式：；（2）若对所有,恒成立,求实数t的取值范围.【参考答案】（1）；（2）【解析】（1）为定义在上的增函数,由得：,解得：,不等式的解集为.（2）为定义在上的增函数且,要使对所有,恒成立,只需对恒成立,即恒成立.设,则只需恒成立,即.当时,满足题意；当时,在上单调递减,则,解得：；当时,在上单调递增,则,解得：.综上所述：的取值范围为.【名师点睛】1在我们数学研究中,存在大量的恒成立问题,如：(1)f(x)在区间D上单调递增,则对任意x1,x2D,当x1x2时,f(x1)f(x2)恒成立；(2)若f(x)是奇函数,定义域为M,则f(x)f(x)对任意xM恒成立；若