专题15 对数（讲）（解析版）

1、2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）专题15对数（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1对数的概念若axN(a0,且a1),则数x叫做以a为底N的对数,a叫做对数的底数,N叫做真数,记作xlogaN.知识点拨对数式logaN可看作一种记号,表示关于x的方程axN(a0,且a1)的解；也可以看作一种运算,即已知底为a(a0,且a1),幂为N,求幂指数的运算,因此,对数式logaN又可看作幂运算的逆运算2常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lgN.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e2

2、.71828为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记为lnN.3对数与指数的关系当a0,且a1时,axNxlogaN.4对数的基本性质(1)零和负数没有对数(2)loga10(a0,且a1)(3)logaa1(a0,且a1)6对数的运算性质条件a0,且a1,M0,N0性质loga(MN)logaMlogaNlogalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)知识点拨一般情况下,当a0,且a1,M0,N0时,loga(MN)(logaM)(logaN),loga(MN)logaMlogaN,loga.7换底公式logab(a0,且a1；c0,且c1；b0)知识拓展(1)

3、可用换底公式证明以下结论：logab；logablogbclogca1；loganbnlogab；loganbmlogab；logblogab.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇,换成新底可任意,原底加底变分母,真数加底变分子1方程的解为_【参考答案】【解析】根据对数的概念可得方程的解为：,故参考答案为：2_.【参考答案】8【解析】设,则,t8.故参考答案为8.3已知3a=5b=m,且,则m的值为_【参考答案】【解析】3a=5b=mm03a=m,5b=m=logm3,=logm5则=logm3+logm5=logm15即m2=15而m0则m=故参考答案为：4_【参考答案】0【解析】.故参考

4、答案为：0.5已知,则_【参考答案】45.【解析】根据对数的运算性质,可得,则,所以.典型题型与解题方法重要考点一：指数式与对数式的互化【典型例题】已知,则=_【参考答案】【解析】由指数式化为对数式得.故参考答案为：.【题型强化】已知x,y为正数,若,则_.【参考答案】【解析】解法一：设,则,解法二：,则,故参考答案为【收官验收】已知,则x=_【参考答案】【解析】.故参考答案为：【名师点睛】对数式logaNb是由指数式abN变化得来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值,而对数值b是指数式中的幂指数,对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式如(3)29就不能

5、直接写成log(3)92,只有a0且a1,N0时,才有axNxlogaN.重要考点二：对数定义与性质的应用【典型例题】_.【参考答案】【解析】原式.故参考答案为：.【题型强化】计算：的值是_【参考答案】【解析】.故参考答案为：.【收官验收】已知,则_【参考答案】【解析】,即故参考答案为:.【名师点睛】对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：logaa1,loga10.(2)使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的,可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质重要考点三：对数恒等式的应用【典型例题】已知,试用、表示_【参考答案】【解析】,即,解得,故参考

6、答案为：.【题型强化】 _.【参考答案】【解析】原式.故参考答案为：.【收官验收】化简计算_【参考答案】【解析】故参考答案为：【名师点睛】运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式alogaNN要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为对数的真数(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用重要考点四：因忽视对数式的底数和真数的取值范围致误【典型例题】若log(x1)(3x)有意义,则x的取值范围是_【参考答案】 (1,2)(2,3)【解析】由对数的意义得,解得且x的取值范围是(1,2)(2,3)参考答案：(1,2)(2,3)【题型强化】使对数有意义的的取值范

7、围是_【参考答案】【解析】由题意得故参考答案为：【收官验收】对数表达式中的的取值范围是_【参考答案】【解析】由题意可得,解得且,所以的取值范围是.故参考答案为：【名师点睛】对数的真数与底数都有范围限制,不可顾此失彼重要考点五：再谈等价转化【典型例题】（1）计算；（2）已知,求的值.【参考答案】（1）；（2）.【解析】（1）.（2）由,得,又由,即,得,所以.【题型强化】设,均为正数,且.（1）试求,之间的关系.（2）求使成立,且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.（3）比较,的大小.【参考答案】（1）；（2）3；（3）.【解析】设,由,均为正数知.故取以为底的对数,可得.,.（1）

8、,之间的关系为.（2）.由,得,从而.而,.由知,.从而所求正整数为3.（3）.而,.又,而,.故有.【收官验收】已知（1）求的值；（2）求的值.【参考答案】（1）-1（2）【解析】解：由得,.所以；由得,所以.【名师点睛】指数式与对数式可以相互转化,利用这种转化关系可以求解指对方程与不等式及指数对数运算将等式两端取同底的对数,是指数对数转化的另一种表现形式重要考点六：对数的运算法则【典型例题】已知,求的值.【参考答案】12【解析】依题意.【题型强化】求下列各式的值：（1）2log5253log264；（2）；（3）(lg5)22lg2(lg2)2.【参考答案】（1）22；（2）；（3）1.【

9、解析】（1）因为2log5252log5524log554,3log2643log22618log2218,所以2log5253log26441822.（2）原式.（3）(lg5)22lg2(lg2)2(lg5)2(lg2)22lg2(lg5lg2)(lg5lg2)2lg2lg10(lg5lg2)2lg2lg5lg2lg101.【收官验收】计算下列各式的值:(1); (2);(3); (4).【参考答案】(1)2 (2)(3)19(4)1【解析】(1).(2).(3).(4).【名师点睛】对对数式进行计算、化简时,一要注意准确应用对数的性质和运算性质二要注意取值范围对符号的限制重要考点七：运用

10、对数的运算性质化简求值【典型例题】已知log2(log3(log4x)0,且log4(log2y)1.求的值【参考答案】64【解析】log2(log3(log4x)0,log3(log4x)1,log4x3,x4364.由log4(log2y)1,知log2y4,y2416.因此8864.【题型强化】求的值.【参考答案】【解析】原式【收官验收】计算：（1）已知,试用表示；（2）.【参考答案】（1） ；（2）3【解析】（1）由,得由得, .（2）原式.【名师点睛】灵活运用对数运算法则进行对数运算,要注意法则的正用和逆用在化简变形的过程中,要善于观察、比较和分析,从而选择快捷、有效的运算方案进行对

11、数运算重要考点八：换底公式的应用【典型例题】设,求的值.【参考答案】1.【解析】因为,所以,.所以.【题型强化】已知,求证：.【参考答案】证明见解析；【解析】令,则,所以.【收官验收】（1）证明对数换底公式：（其中且,且,）（2）已知,试用表示.【参考答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设,写成指数式.两边取以为底的对数,得.因为,因此上式两边可除以,得.所以,.（2）.【名师点睛】关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数,然后查表求值,以此来解决对数求值的问题(2)换底公式的本质是化异底为同底,这是解决对数问题的基本方法(3)在运用换

12、底公式时,若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论,如logab；logaann,logambnlogab；lg2lg51等,将会达到事半功倍的效果重要考点九：因忽视对数的真数大于零而致误【典型例题】解下列对数方程：（1）；（2）.【参考答案】（1）；（2）,.【解析】（1）原式可化为：,再化为,即,也即,整理得：,解方程,得,经检验：是原方程增根,所以原方程的根是；（2）两边同取以10为底的对数,得,即,即.解方程,得或,所以或,经检验：,都是原方程的解.【题型强化】解下列对数方程：（1）；（2）；（3）；（4）.【参考答案】（1）（2）（3）或（4）或【解析】解（1）.解得.（2）.解得

13、或.检验：且,是增根,舍去.所以方程的解为.【收官验收】解下列对数方程：（1）；（2）.【参考答案】（1）或（2）或【解析】（1）.设,原方程化为.解得,.经检验：或都是原方程的根.（2）,即.设,原方程化为.解得或.或.经检验：或都是原方程的根.重要考点十：转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力【典型例题】（1）求的值.（2）已知,试用,表示【参考答案】（1）18；（2）.【解析】（1）原式（2）由得到,由,得到,即.【题型强化】设,、满足,用表示,并求当取何值时,取得最小值.【参考答案】,当时,取得最小值.【解析】由换底公式,得 ,整理,得 ,当,即时,取得最小值.【收官验收】（1）已知,用a,b表示；（2）已知,用a,b表示.【参考答案】（1）；（2）.【解析】（1）（2）,又,【名师