解一元二次方程的方法[共10页]

1、解一元二次方程的方法定义只含有一个 未知数 ,且未知数的最高 次数是 2 次的 整式方程 叫做一元二次方程 ( quadratic equation of one variable ) 。一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是 2；(3) 是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理如果能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的形式,则这个方程就为一元二次方程里面要有等号,且分母里不含未知数。(4) 将方程化为一般形式： ax2+bx+c=0 时,应满足（a、b、c 为常数,a0）补充说明1、该部分的知识为初等 数

2、学 知识,一般在初三就有学习。 ( 但一般 二次函数 与反比例函数 会涉及到一元二次方程的解法 )2、该部分是高考的热点。3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a ,X1 X2=c/a （也称 韦达定理 ）4、方程两根为 x1,x2 时,方程为： x2-(x1+x2)X+x1x2=0 ( 根据韦达定理逆推而得 )5、在系数 a0 的情况下,b2-4ac0 时有 2 个不相等的 实数 根,b2-4ac=0时有两个相等的实数根, b2-4ac0 时无实数根。一般式ax2+bx+c=0 （a、b、c 是实数,a0)例如： x2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)2=(b2-4

3、ac)/4a2两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法1. 分解因式法（可解部分一元二次方程）因式分解法 又分“提公因式法”、“ 公式法 （又分“ 平方差公式 ”和“ 完全平方公式 ”两种）”和“ 十字相乘法 ”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得, 因式分解的内容在八年级上学期学完 。如1. 解方程： x2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（ x+12=0解得： x?= x?=-12. 解方程 x（x+1）-3 （x+1）=0解：利用提公因式法解得：（ x-3 ）（ x+1）=0即 x-3=0 或 x+1=0 x1=3 , x2=-13. 解方程 x2-4=0解：

4、（ x+2）（ x-2 ）=0x+2=0 或 x-2=0 x?= -2 ,x?= 2十字相乘法公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+b2+a-b- 2=ab+a+b2-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2. 公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过 =b2-4ac 的根的 判别式 来判断一元二次方程有几个根1. 当 =b2-4ac0 时 x 有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于 2、3 两种情况方程有根则可根据公式： x=- b （ b24ac）/2a来求得方程的根3. 配方法（可解全部一元二次方程）如： 解方程

5、：x2+2x 3=0解：把常数项移项得： x2+2x=3等式两边同时加 1（组成完全 平方 式）得： x2+2x+1=4因式分解 得：（ x+1)2=4解得： x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次 系数 化为一常数 要往右边移一次系数一半方两边加上最相当4. 开方法（可解部分一元二次方程）如： x2-24=1解： x2=25x=5x?=5 x?= -55. 均值代换法（可解部分一元二次方程）ax2+bx+c=0同时除以 a,得到 x2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m , x2=-b/(2a)- m (m 0)根据 x1*x2=c/a求得 m。再求得 x1, x2

6、 。如： x2-70x+825=0均值为35,设x1=35+m,x2=35- m (m 0)x1*x2=825所以 m=20所以 x?=55, x?=15 。一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要,经常在考试中运用到）一般式： ax2+bx+c=0 的两个根 x?和 x?的关系：x1+x2= -b/ax1*x2=c/a如何选择最简单的解法1看是否能用因式分解法解 （因式分解的解法中, 先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法）2看是否可以直接 开方 解3使用公式法求解4最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦）。 如果要参加竞赛,可按如下顺

7、序：1. 因式分解 2.韦达定理 3. 判别式 4. 公式法 5. 配方法 6. 开平方 7.求根公式 8. 表示法例题精讲1、开方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如 (x- m)2=n (n 0)的方程,其解为x=mn例 1（ 1）(3x+1)2=7 分析：此方程显然用直接开平方法好做。（1）解： (3x+1)2=73x+1=7x1=.,x2= . .（2） 9x2-24x+16=11 方程左边是完全平方式 (3x-4)2 ,右边=110,所以此方程也可用直接开平方法解解： 9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x- 4=11x1=.,x

8、2= .2配方法：例 1 用配方法解方程 3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数 化为1： x2-4/3x=2/3方程两边都加上一次项系数一半的平方： x2-4/3x+( -2/3)2=2/3+(-2/3 )2配方： (x-2/3)2=10/9直接开平方得： x- 2/3=(10)/3x?= , x?= . 原方程的解为x?=,x?= .3公式法： 把一元二次方程化成 ax2+bx+c 的一般形式,然后把各项系数a, b, c 的值代入求根公式就可得到方程的根。当 =b2-4ac0 时 ,求根公式为x1=- b+(b2-4ac)/2a,x2=-b- (b2 -

9、4ac)/2a （两个不相等的实数根）当 =b2-4ac=0 时 ,求根公式为 x1=x2=-b/2a （两个相等的实数根）当 =b2-4ac0x= (4 6)/2原方程的解为 x?=(4+6)/2,x?=(4 - 6)/2.4因式分解法： 把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个 一元一次方程 ,解这两个一元一次方程所得的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例 4用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8解：化简整理得 x2-3x-10=0 ( 方程左边为二次三项式,右边为零 )(x

10、-5)(x+2)=0 ( 方程左边 分解因式 )x-5=0 或 x+2=0 ( 转化 成两个一元一次方程 )x?=5,x?= -2 是原方程的解。(2) 2x2+3x=0解： x(2x+3)=0 ( 用提公因式法将方程左边分解因式 )x=0 或 2x+3=0 ( 转化成两个一元一次方程 )x?=0, x?=-3/2 是原方程的解。注意：容易丢掉 x=0 这个解,应记住一元二次方程通常有两个解。(3) 6x2+5x-50=0 ( 选学）解：( 十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错 )2x -5=0 或 3x+10=0x?=5/2, x?= -10/3 是原方程的解。(4) x2-4x+4 =0解：(x+2)(x-2 )=0x?= -2 ,x?=2 是原方程的解。小结一般解一元二次方程,最常用的方法还是 因式分解法 ,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为 正数 。直接开平方法 是最基本的方法。公式法和配方法 是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而