很好的拉普拉斯变换讲解

1、拉 普 拉 斯 变 换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用本章将扼要地介绍拉普拉斯变 换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分 方程中的应用.7.1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为13IgN lg 6.28 -(lg 5781 lg 9.8 2lg 20) - lg1.16435，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N .这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的 做法.拉氏变换的

2、基本概念f(t)e ptdt定义 设函数f(t)当t 0时有定义，若广义积分0在P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P)，即F(P) f (t)e ptdt0(7-1 )称(7-1 )式为函数f(t)的拉氏变换式，用记号Lf(t)F(P)表示.函数F(P)称为f(t)的拉氏变换(Laplace)(或称为f (t)的象函数).函数f (t)称为F(P)的拉氏逆变换(或称为F(P)象原函数)，记作L1F(P) f(t)，即 f(t) L 1F(P).关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求f(t)在t 0时有定义.为了研究拉氏变换性质的方便，以后总

3、假定在t 0时，f(t) 0 .(2) 在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数 P是在复数范围内取值.为了方便起见，本章我们把P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用.(3) 拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变 换.一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的.Latptaate pdt解0p 00ae ptdta2e pt0p 0p7.1.2单位脉冲函数及其拉氏变换例7-1求一次函数f(t) at (t0，a为常数)的拉氏变换.td(e pt) -at e pt0- e ptdtpp 0ap2 (p 0)在研究线性电路在脉冲电动势作

4、用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉 冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t 0)进入一单位电量的脉冲，现 要确定电路上的电流 哇)，以Q(t)表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即i(t)妙iimQ(tt) Q(t)dtt 0t，所以，当t 0时，i(t) 0 ；当t 0时，Q(0t)Q(0)1、i(0)limlim()t 0tt0t上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电 流强度.为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数.定义(t)0， t丄，0 t0,t设称为狄拉克(Dirac )函数，简称为，当 0时, 函数.

5、(t)的极限当t 0时，(t)的值为0 ；当t 和(t)的图形如图7-1和图7-2所示.0时,(t)的值为无穷大，即(t)0,t 0,t 0(t)显然，对任何 0， 工程技术中，常将(t)dt1 dt 10，所以(t)dt有 函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将 长度等于1的有向线段来表示(如图7-2所示)，这个线段的长度表示 叫做 函数的强度.例7-2求(t)的拉氏变换.解根据拉氏变换的定义，函数用一个 函数的积分，L0(t)e ptdtlim010 p-limP(li叫丄)e1 e p0ptdt lim00 e ptdtli叫-e ptdt1沁P 00p1 r _pe_,lim1p 01

6、即 L (t)1 .7-3求单位阶梯函数u(t)0,1,Lu(t)u(t)e ptdt000的拉氏变换.pt1厶ptdt e 0p1p，(p 0).7-4求指数函数f(t) J(a为常数)的拉氏变换.L eat 解0at ee ptdt0e (p a)tdt -丄(PP aa），即at1a)Le-(pP a.Lsint2 2 ( P0)Lcost 2L(P 0)类似可得P5P习题7 - 1求1-4题中函数的拉氏变换1.f(t)e2.f(t)t2.3.f(t)teat4.f(t)sin（ t ）（，是常数）.7.2拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的

7、拉 氏变换.性质1 （线性性质）若a1 , a2是常数，且Lf1（t）a2 f2（t） dLf1（t） a2Lf2（t）LaJi(t)R(p), Lf2(t) aF(P)F2（P），则a2F2(p)(7-2)证明Lai fi(t)a2 f2 (t)a1 f1 (t)a2f2(t)e ptdta10fi(t)eptdt a2f2(t)e ptdtaiLf1(t)例7-5a1Fdp） a2F2（p）.求下列函数的拉氏变换：f（t）丄（1 eat）aa2L f2(t)解（1）(1)1L(1aate )-L1 aat(2) f(t)1-L1asin t costLe at 九1P(P a).1L2si

8、n2t 222Lsin tcost(2)性质2 (平移性质)1_P24若 Lf(t) F(p)，则atLe f(t) F(pa)( a为常数）(7-3)证明 Leatf(t)eat f (t) e ptdtf (t)e (p a)tdt0F(Pa)位移性质表明：象原函数乘以例 7-6 求 Lteat，Leatsin1Lt Lsin t解因为 p，eat等于其象函数左右平移t和 Le at cos t.个单位.22Lcos tp ，P2 2p，由位移性质即得性质3 (滞后性质)若Lf(t) F(p)，则Lf (t a) eaPF(p)(aa0)(7-4)a)e ptdt，在拉氏 变换的定义说明中

9、已指出，当t 0时，f(t)0 .因此，对于函数f(t a)，当t a 0(即t a)时，f(t a) 0，所以上式右端的第一个积分为0，对于第二个积分，令 t a ，则滞后性质指出：象函数乘以eap等于其象原函数的图形沿t轴向右平移a个单位 (如图7-3所示).由于函数f(t a)是当t a时才有非零数值.故与f(t)相比，在时间上滞后了一个 a值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质.在实际应用中，为了突出“滞后”这 一特点，常在f(t a)这个函数上再乘u(t a)，所以滞后性质也表示为eaPF(p).L f (t a) f (t a)e pt dt f (t a)e pt dt证明0=

10、0Lu(t a)f(t a)7-7 求 Lu(ta)1f(ta因为 Lu(t)a(t7-8 求 LeP ,)u(t1由滞后性质得Lu(t).a) eap-P .Leat因为7-9求下列函数的拉氏变换:Pa，所以Lea(t )u(t)ea，(pa)C1,0 tC2,af(t)(1)(1)由图7-4容易看出，当tG)u(t a) 故可把f(t)写成Lf(t)乞P仿(1)，把f(t)写成f(t)Lf(t)-P2,4,t.3,1,0,a,t. (2)a时，f(t)的值是在G的基础上加上了( c2 c1 )，f(t) Gu(t) (C2 C1)u(t a)，于是C1 . a pC1(c2 C1 )ef(

11、t)C2PP3u(t) 4u(t 2) u(t 4)，于是4e 2P e 4P 3 4e 2P e 4PP PP我们可以用拉氏变换定义来验算例7-9所得的结果由例7-9看出，用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合写成一个式子.f(t)例7-10已知0,t0c,0 t a2c, a t 3a0,t 3a ，求 Lf(t)解：如图7-5所示，f(t)可用单位阶梯函数表示为f(t)cu(t) cu(t a) 2cu(t 3a), 于是ccapce2 eppp3ap c (1peap 2e 3ap)由拉氏变换定义来验证：c(1 e ap 2e ap2e 3ap)-(1 e ap 2e3ap)pp.性质4

12、 (微分性质)若 Lf(t)F(p)，并设f(t)在0,+ 上连续，f (t)为分段连续，则Lf(t) pF(p) f(0) . (7-5) 证明 由拉氏变换定义及分部积分法，得Lf (t) f (t)e ptdt f(t)e pto P f(t)eptdt0 0可以证明，在Lf(t)存在的条件下，必有tlim W 0 .因此，L f (t)0f(0) pLf(t) pF(p) f(0).微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p，再减去函数的初始值.应用上述结果，对二阶导数可以推得Lf (t) pL f (t) f (0) p pF(p) f(0) f (0) p

13、2F(p) pf(0) f (0). 同理，可得32Lf (t) p F(p) p f(0) pf (0) f (0).以此类推，可得Lf (n)(t) pnF(p) pn1f(0) pn2f (0) f(n1)(0).( 7-6)由此可见，f(t)各阶导数的拉氏变换可以由p的乘方与象函数F(P)的代数式表示出来.特别是当初值f(0) f(0)f() f(n 1)(0)0时，有更简单的结果Lf(n)(t)pnF(p), (n 1,2, ) .(7-7)利用这个性质，可将f(t)的微分方程转化为F(p)的代数方程. 例7-11利用微分性质求Lsin t和Lcos t.解令f (t)sint，则

14、f(0)0, f(0)，f (t)2 sin t，由 7-6 式，得L2 2sin t Lf (t) p Lf(t) pf (0) f (0)即2 2Lsin t p Lsin t，移项化简得Lsin t2 pcos利用上述结果，性质5 (积分性质)1t (sin t)及(7-5 )式，可得p22p.0)，且设f(t)连续，则F(p)p丄P Tp若 Lf(t)2 0F(P)(PLtf (x)dx0(7-8)证明令L (t) pL (t)F(p)f (x)dx0，显见，而 L (t)tpL (t) pL0(0) 0，Lf(t)f(x)dx即 一个函数积分后再取拉氏变换, 例7-12求( n是正整

15、数).积分性质表明:tt1dx， t2解因为 0 式即得t2xdx，t3般地，有Ltn Lntn 1 -Ix dt0nLtn1性质pF(p)n!n 1p.则a0时性质若 Lf(t)F(p)性质若 Lf(t)F(P)lim f(t)且t 07-13求 Ltsint因为7-14Lsi n tLtsinsin t求忖2，由t ( 1)(t) f (t)，所以有由微分性质，得且因F(p):t1L f(x)dx F(p)0p.等于这个函数的象函数除以参数pt3x2dxtnt存在,tnnx0L f (at)Ltnf(t)则L严(7-10)式可得a(_) -Jp.(2 2 ) / 2 2 2dp p(p )

16、1dx，所以由(7-8)F (卫)a a(7-9)1)nF(n)(p)F(p)dpp(7-10)(7-11 )解因为1Lsin t p-Psin tLsi nt-lim1，而且t 0 t1dpP 11，所以由（7-11 ）式可得arctg p |p - arctg psi nte即0 tptdtarctgP 因此，当P 0时，得到一个广义积分的值凹dt -0 t 2 .这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的.现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下: 表7-1拉氏变换的性质序号设 Lf(t) F(p)123Lf(t a)u(t a) eapF(p)(a0)4

17、Lf(n)(t) pnF(p) pn1f(0) pn2f(0)f(n1)(0)56L f (at)F (卫)a a ( a0)78表7-2常用函数的拉斯变换表序号1123456789101112131415161718192021习题7-25.3e4t .6 .5siin 2t 3cost7.sin 2t cos2t8 .sin3t .-,0t4,sin t, 0 t9.f(t) rt4.10.f(t)t, t.,0t2,1,2t4,11.f(t)0,4t.12.f(t)tneat .求5-12题中函数的拉氏变换7.3拉氏变换的逆运算前面我们主要讨论了怎样由已知函数f(t)求它的象函数F(P)

18、的问题运算法的另一面是已知象函数F(P)要求它的象原函数 的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出.f(t)，这就是拉斯逆变换问题同时把常用1性质 1(线性性质)L aiF1(P) a2F2(P)aiL1F!(p) a2L1F2(p) a,(t) a2f2(t)eatf(t)a).11F(p)F(p)3(1)p 3 ；(2)(p 2).2p 54p 3F(p)2F(p)2 -(3)p-7(4)p 例7-15求下列象函数的逆变换：.f(t)L1 13(1)将a3代入表二(5),得p 3(2)由性质2及表二(4),得解3t e1 1f(t) L2t 11e L -y p2 P32 2tt e2(3)由

19、性质1及表二(2)、(3),得f(t) L1性质 2 (平移性质)L F(p a) e L F(p) 2L1丄5L12 2 5tppp(4) 由性质1及表二(9)、(10),得f(t) L1驾 3p1 p 34 4L 汽汁r 4cos2t sin2t p 422p 32 p 2p 5的逆变换.f(t) L1 22p 3 L14解p2 2p 5(p 1)24F(p)例7-16求5552et cos2tet sin 2t et 2 cos 2tsin 2t22.在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式,对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，

20、然后再利用 拉氏变换表求出象原函数.p 9F(p)-例7-17 求p 5p 6的逆变换.解 先将F(P)分解为两个最简分式之和：P 9P2 5p 6 (p 2)(p 3)用待定系数法求得1f(t) L F(p)F(p)例7-18求B3p 92所以p 5P 6勺6L7V21p 36p 3，于是7e 2t 6e 3t77V26 ,P 3L1p3 4P2 4P的逆变换.解 先将F ( p)分解为几个简单分式之和：p 3p 3474P P(p2)2C2(p 2)用待定系数法求得34,F(p)P 34p2 4P所以34p 21_2_(p 2)2 ,于是3 3e4 42t习题7-3求13-18题中函数的拉

21、氏逆变换2冲、F(p)F(p)13.p 3 . 14 .4pp2 16F(p)2F(p)15.p36 . 16 .p(pF(p)3p(p2 3p 2)Y2亠 2 亠F(p)17.p6 p 9 p .18 .7.4拉氏变换应用举例11)(p2)P212P(P 1)F面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用.例7-19求微分方程x(t) 2x(t)0满足初值条件x(0)解出丫，得的解.解第一步 对方程两边取拉氏变换，并设Lx(t) X(p)：Lx(t) 2x(t)L0Lx(t)2Lx(t)0pX(p) x(0) 2X(p)0将初始条件x(0)3代入上式，得(p 2)X(p)3 .这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程.3第二步解出 X(P): X(p)= p 2 .第三步求象函数的拉氏逆变换:x(t) L1X(p)这样就得到了微分方程的解x(t)3e 2t由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表7-3 :作拉氏常换数线解代数方程求拉氏逆变换原函数1(微分方程的分方程I y象函 的代j数 擞1r象函数-t3y 2y 2e满足初值条件y(0)2, y(0)1的解.解对所给微分方程的两边分别作拉氏变换.设Ly(t) 丫(p