西南科技大学模糊数学第二章 模糊模式识别修第六节

1、1 2.6 确定隶属函数的方法综述确定隶属函数的方法综述 模糊集是客观世界数量与质量的统一体，人们模糊集是客观世界数量与质量的统一体，人们 刻画模糊集是通过模糊集的特有的性质，即隶属度刻画模糊集是通过模糊集的特有的性质，即隶属度 来表现的。隶属度是人们认识客观事物所赋予的该来表现的。隶属度是人们认识客观事物所赋予的该 元素隶属于该集合的程度，带有主观经验的色彩。元素隶属于该集合的程度，带有主观经验的色彩。 现在的问题是如何使得主、客观尽可能地一致，并现在的问题是如何使得主、客观尽可能地一致，并 且在实践中不断修改，使得主观不断接近客观。且在实践中不断修改，使得主观不断接近客观。 由于模糊现象的

2、多样性与复杂性，现在还没有由于模糊现象的多样性与复杂性，现在还没有 统一的、固定的方法来确定模糊集的隶属度。统一的、固定的方法来确定模糊集的隶属度。 2 下面仅介绍一些较常应用的方法。下面仅介绍一些较常应用的方法。 1. 边界法边界法 模糊集是没有明确的边界的。在论域中的模糊集是没有明确的边界的。在论域中的 元素的隶属度一般而言也是渐变的。但是客观事物元素的隶属度一般而言也是渐变的。但是客观事物 有质变，人们对客观事物的主观反映也相应地有质有质变，人们对客观事物的主观反映也相应地有质 变，这种质变就是隶属度取边界值变，这种质变就是隶属度取边界值 0 和和 1。 3 例如前例例如前例 中，中，2

3、5 岁以下的人属于岁以下的人属于“青年青年”的隶属度的隶属度 为为 1，50 岁以下的人属于岁以下的人属于“老年老年”的隶属度为的隶属度为 0，另外，另外， 由常识可知，一般由常识可知，一般50岁以上的人不属于岁以上的人不属于“青年青年”，80岁岁 以上的人基本上都属于以上的人基本上都属于“老年老年”，所以我们要寻求一个，所以我们要寻求一个 函数，使其能满足以上的极端条件。这样，我们就确定函数，使其能满足以上的极端条件。这样，我们就确定 了其相应的隶属度。例如在年龄的例中，我们可以求得：了其相应的隶属度。例如在年龄的例中，我们可以求得： O (80) = 0.97，Y (50) = 0.038

4、。 4 2.6.1 模糊统计法模糊统计法 1. 直接统计法直接统计法 对一群人进行调查，每个人对模糊集中的对一群人进行调查，每个人对模糊集中的 每个元素进行综合打分，若此元素完全属于该模糊每个元素进行综合打分，若此元素完全属于该模糊 集，则为集，则为 100 分。每个人打分后取其平均分。分。每个人打分后取其平均分。(有有 时还去掉一个最高分，去掉一个最低分后再平均时还去掉一个最高分，去掉一个最低分后再平均 )， 这个平均分就是隶属度。例如，有这个平均分就是隶属度。例如，有 10 个评委对某个评委对某 歌歌 5 唱比赛进行评审，有许多人参加比赛，模糊集是唱比赛进行评审，有许多人参加比赛，模糊集是

5、 “优秀歌手优秀歌手”，对其中某人，对其中某人 xi 进行打分，打分的进行打分，打分的 结果是结果是 99、96、97、92 、94、90、98、96、97、 95，去掉最高分去掉最高分 99 和最低分和最低分 90，然后平均，然后平均 于是求得该歌手隶属于于是求得该歌手隶属于“优秀歌手优秀歌手”的程度是的程度是 0.956。 6 .959597969894929796 8 1 6 2. 隶属频率统计法隶属频率统计法 我们可以仿照确定随机事件概率的方法我们可以仿照确定随机事件概率的方法 来确定隶属度。在经典概率统计中，若对事件来确定隶属度。在经典概率统计中，若对事件 A 的发生与否作的发生与否

6、作 n 次试验，统计事件次试验，统计事件 A 发生的频发生的频 率率 (A 发生的次数发生的次数/ /试验次数试验次数 n)，我们发现这，我们发现这 个频率随个频率随 n 的增大而趋于一个稳定值，我们就的增大而趋于一个稳定值，我们就 把这一稳定频率，取为事件把这一稳定频率，取为事件 A 发生的概率。发生的概率。 类似的，我们也可以对模糊事件作统计类似的，我们也可以对模糊事件作统计 试验。试验。 7 先确定一个论域先确定一个论域（如如 0150 岁岁），然后对论域中，然后对论域中 的模糊集的模糊集（如如 “年青人年青人”）作清晰化的范围估计作清晰化的范围估计 (实际上就是对模糊集实际上就是对模糊

7、集 A 作一次相对应的经典集的作一次相对应的经典集的 “显影显影”：A*)。对于论域中的具体的点。对于论域中的具体的点 x0 而言，而言， 它可以在某个范围估计中，也可以不在其中。每一它可以在某个范围估计中，也可以不在其中。每一 次范围估计可以看成一次模糊统计试验，于是我们次范围估计可以看成一次模糊统计试验，于是我们 便可以计算便可以计算 x0隶属于模糊集隶属于模糊集 A 的频率如下：的频率如下： x0 隶属于隶属于A 的频率的频率 x0 A*的次数的次数 / / n。 8 随着随着 n 的增大，隶属频率呈现稳定性，隶属频的增大，隶属频率呈现稳定性，隶属频 率的稳定值可取为率的稳定值可取为 x

8、0 对对 A 的隶属度。的隶属度。 例例 取年龄作论域取年龄作论域 X，通过模糊试验确定，通过模糊试验确定 x0= 27(岁岁) 对模糊集对模糊集“青年人青年人” A 的隶属度。的隶属度。 张南伦曾对张南伦曾对 129 名学生进行了调查试名学生进行了调查试 验，要求每个被调查者按自己的理解确定验，要求每个被调查者按自己的理解确定“年青年青 人人” (即即 A) 的年龄范围的年龄范围 (即即 A*)，每一次确定每一次确定 的范围都是一次试验的范围都是一次试验，共进行了，共进行了 129 次试验，次试验， 其结果见表其结果见表( ( 2-1 )。根据。根据 9 18-2517-3617-2818-

9、2515-3514-2518-3018-3518-3516-25 15-3018-3517-3018-2510-2518-3520-3018-3016-3020-35 18-3018-3015-2518-3015-2516-2816-3018-3016-3018-35 18-2518-2516-2818-3016-3016-2818-3518-3517-2716-28 15-2816-3019-2815-3015-2617-2515-3618-3017-3018-35 16-3518-3012-2515-2518-3016-2415-2516-3215-2718-35 16-2515-2515

10、-2518-2816-3015-2818-3518-3017-2818-35 16-3018-2816-2818-3018-3518-3018-3017-3018-3018-35 18-2818-3517-2515-3018-2517-3014-2518-2618-2818-35 15-3018-3018-2516-3517-2918-2517-3016-2818-3016-28 18-2815-3518-3020-3020-3016-2517-3015-3018-3016-30 15-2518-3516-3015-3018-3518-3518-3017-3018-3517-30 15-281

11、8-3515-3015-2515-3018-3017-2518-2918-28 年轻人年龄统计表(2.1) 10 此表统计的隶属频率见表此表统计的隶属频率见表 2.2。 表表 2.2 27岁对模糊集岁对模糊集 “年青人年青人” 的隶属频率的隶属频率 由表由表 2.2 可见，隶属频率随试验次数可见，隶属频率随试验次数 n 的增加而呈现的增加而呈现 稳定性，稳定值为稳定性，稳定值为 0.78，故有，故有 青年人青年人 (27) = 0.78。 n10203040506070 隶属次数隶属次数6142331394753 隶属频率隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76 n80

12、90100110120129 隶属次数隶属次数6268768595101 隶属频率隶属频率0.780.760.760.750.790.78 11 3 、 F F分布法分布法 利用现有的一些函数，通过参照比较，选利用现有的一些函数，通过参照比较，选 择最能代表所论模糊集的函数作为隶属函数。常用择最能代表所论模糊集的函数作为隶属函数。常用 的一些函数有下列数种类型。的一些函数有下列数种类型。 ( (法国学者法国学者A.Kanfmann(1975A.Kanfmann(1975年年) )归纳整理为三类十八归纳整理为三类十八 种种).). 12 (1) 偏大型偏大型 (S 型型) ：这种类型的隶属函数随

13、这种类型的隶属函数随 x 的增大的增大 而增大，随所选函数的形式不同又分为：而增大，随所选函数的形式不同又分为： 1）升半矩形分布（图）升半矩形分布（图2.7） 2）升半）升半 分布分布 （图（图2.8） 3）升半正态分布）升半正态分布 （图（图2.9） 4）升半柯西分布（图）升半柯西分布（图2.10） 5）升半梯形分布（图）升半梯形分布（图2.11） 6）升岭形分布）升岭形分布 （图（图2.12） 13 (2) 偏小型偏小型 ( Z型型 ) ：这种类型的隶属函数随这种类型的隶属函数随 x 的增大的增大 而减小，随所选函数的形式又可分为：而减小，随所选函数的形式又可分为： 1）降半矩形分布（图

14、）降半矩形分布（图2.13） 2）降半）降半 分布分布 （图（图2.14） 3）降半正态分布（图）降半正态分布（图2.15） 4）降半柯西分布（图）降半柯西分布（图2.16） 5）降半梯形分布（图）降半梯形分布（图2.17） 6）降岭形分布）降岭形分布 （图（图2.18） 14 (3) 中间型中间型 ( 型型) ：这种类型的隶属函数在这种类型的隶属函数在( ，a) 上为偏大型，在上为偏大型，在 (a，+) 为偏小型，所以称为中间为偏小型，所以称为中间 型，型，随所选函数的形式随所选函数的形式又可分为又可分为: 1）矩形分布）矩形分布 （图（图2.19） 2）尖）尖 分布分布 （图（图2.20）

15、 3）正态分布）正态分布 （图（图2.21） 4）柯西分布）柯西分布 （图（图2.22） 5）梯形分布）梯形分布 （图（图2.23） 6）岭形分布）岭形分布 （图（图2.24） 15 (1) 偏大型（偏大型（S 型）：这种类型的隶属函数随型）：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为： 1）升半矩形分布（图）升半矩形分布（图2.7） ., 1 , 0 )( ax ax xA 1 0 ax A(x) 16 2）升半）升半 分布（图分布（图2.8） .,1 , 0 )( )( axe ax xA axk 1 0 ax A(x) a

16、+1/k 图图 2.8 17 3）升半正态分布（图）升半正态分布（图2.9） 1 0 ax A(x) 图图 2.9 0 .,1 , 0 )( 2 )( k axe ax xA axk 18 4）升半柯西分布（图）升半柯西分布（图2.10） 0, 0 .,)(1 , 0 )( 1 axax ax xA 1 0 ax A(x) 图图 2.10 19 5）升半梯形分布（图升半梯形分布（图2.11） .1 , , 0 )( 2 21 12 1 xa axa aa ax ax xA 1 0 a1x A(x) a2 图图2.11 20 6）升岭形分布（图）升岭形分布（图2.12） ., 1 ), 2 (s

17、in 2 1 2 1 , 0 )( 2 21 21 12 xa axa aa x aa ax xA 1 0 a1x A(x) a2 图图 2.12 (a1+a2)/2 21 (2) 偏小型偏小型 (Z 型型 )：这种类型的隶属函数随这种类型的隶属函数随 x 的增大的增大 而减小，又可分为：而减小，又可分为： 1）降半矩形分布（图）降半矩形分布（图2.13） .,0 ,1 ax ax xA 0 1 a x A(x) 图图 2.13 降半矩形分布降半矩形分布 22 2）降半）降半分布（图分布（图 2.14） .0, ,1 kaxe ax xA axk 其中 0 1 a a+1/k x A(x) 图

18、图 2.14 降半降半分布分布 23 3）降半正态分布（图）降半正态分布（图2.15） .0, ,1 2 kaxe ax xA axk 其中 0 1 ax A(x) 图图 2.15 降半正态分布降半正态分布 24 4）降半柯西分布（图）降半柯西分布（图2.16） .0, 0,1 ,1 1 其中axax ax xA A(x) 0 1 a x 图图2.16 降半柯西分布降半柯西分布 25 5）降半梯形分布（图）降半梯形分布（图2.17） .,0 , ,1 2 21 12 2 1 xa axa aa xa ax xA A(x) 0 1 a1xa2 26 6）降岭形分布（图）降岭形分布（图2.18）

19、.,0 , ) 2 (sin 2 1 2 1 ,1 2 21 12 12 1 xa axa aa x aa ax xA 0 1/2 1 a1 2 aa 21 a2x A(x) 27 (3) 中间型中间型（ 型型）：这种类型的隶属函数在：这种类型的隶属函数在 ( ， a) 上为偏大型，在上为偏大型，在 (a, +) 为偏小型，所以称为中间为偏小型，所以称为中间 型，又可分为型，又可分为: 1）矩形分布（图）矩形分布（图 2.19） .,0 , 1 ,0 xba baxba bax xA 0 1 A(x) a-baa+bx 28 2）尖）尖分布（图分布（图2.20） 0 , , k axe axe

20、 xA axk axk 其中 0 1 A(x) a-1/k a a+1/kx 29 3）正态分布（图）正态分布（图 2.21） .0 , 2 k exA axk 其中 0 a x 1 A(x) 30 4）柯西分布）柯西分布（图图 2.22） 为正偶数。其中 ,0 ,1 1 xxA 0 ax 1 A(x) 31 5）梯形分布（图）梯形分布（图2.23） ,0 , ,1 , ,0 2 21 12 2 11 12 12 2 2 xaa aaxaa aa axa aaxaa aaxaa aa axa aax xA 0 1 A(x) a-a1 aa+a2 x a-a2 a+a1 32 6）岭形分布（图）

21、岭形分布（图 2.24） ,0 , ) 2 (sin 2 1 2 1 ,1 , ) 2 (sin 2 1 2 1 ,0 2 21 12 12 11 12 12 12 2 xaa axa aa x aa axa axa aa x aa ax xA 0 1 A(x) a1a2-a1-a2 x 33 在实际应用中，通常是将上述三种方法结合起在实际应用中，通常是将上述三种方法结合起 来使用的。例如来使用的。例如 “年老年老” 的模糊集的模糊集 O 的隶属度就参的隶属度就参 照了照了 “偏大型偏大型” 的的 “升半柯西分布升半柯西分布”，并在其中令，并在其中令 a50，1/25， =2，而，而 “年青年

22、青” 的模糊集的模糊集 Y 的的 隶属度参照了隶属度参照了 “偏小型偏小型” 的的 “降半柯西分布降半柯西分布”，并，并 在其中令在其中令 a25，25， =2。 34 ., 0 , 1 , 1 , 0 )( ax axa a x axa a x ax xA 三角模糊集三角模糊集 a- a + a 1 x A(x) 35 3. F F关系与聚类分析关系与聚类分析 3.1 F F关系的定义和性质关系的定义和性质 “关系关系”是一个普遍使用的，又是很重要的概念。例是一个普遍使用的，又是很重要的概念。例 如父子关系、兄弟关系、朋友关系、大小关系、从属关系、买如父子关系、兄弟关系、朋友关系、大小关系、

23、从属关系、买 卖关系、供求关系、合作关系等等，他表示了事务之间的某种卖关系、供求关系、合作关系等等，他表示了事务之间的某种 联系。在数学上，关系有严格的定义。联系。在数学上，关系有严格的定义。 36 定义定义 1 : : 设设 U、V 为两个非空集合，为两个非空集合，UV 为为 U 与与V的笛氏积，即的笛氏积，即 UV= (u, v) | u U，v V 。 若有若有 R UV （即即 RP ( UV )， 则称则称 R 为为 U 到到 V 的二元关系的二元关系，简称，简称关系关系。对于。对于 任何一个任何一个 (u, v) U V，若若(u, v)R，则称则称 u与与 v v 具有关系具有关

24、系 R，记作记作 uRv；若若 (u,v)R，则称则称 u u 与与 v 不具有关系不具有关系 R，记作记作 uR v uR v 。若。若 U = V， R 是从是从 U 到到 V V 的关系，则可称的关系，则可称 R 是是 U上的关上的关 系系。 37 例例 1 : 设设 X、Y 是实数集，是实数集，R 是是 X 上的上的“大于大于”关系，关系， 即即 xRy x y 或或 R = (x，y)x，y 为实数，且为实数，且 x y ， 亦即亦即 R 是坐标平面上直线是坐标平面上直线 y = x 下方下方（不含直线上的不含直线上的 点点）那部分平面的点集（图那部分平面的点集（图1） 38 图图 1 关系关系 x y x y 0 R 39 从从 U 到到 V的关系的关系 R 是论域是论域 U