耦合电感与谐振电路

1、 图4.1 两个线圈的互感 (a) (b) 11 111111 1 21 2121 1 iL i M i 22 2 2 12 12 2 L i M i 应该指出：在该定义式中分子分母两量间 必须符合关联参考方向，即各磁链及相应电 流参考方向之间符合右手螺旋定则，因而电 感L1、L2及互感M21、M12均为正值。 实践和理论均可证明， M21 M12M所以不 必区分M21和M12，可统一用M表示，称为互感， 即 2 12 1 21 ii M 22 12 11 21 k 21L L M k 22 12 11 21 k 121212121 ieu 若根据线圈的绕向选择i1和 的参考方向使 它们符合右

2、手螺旋定则，e21和 的参考方向 也符合右手螺旋定则，并设u21与e21的参考方 向相同。则根据电磁感应定律，可得互感电 压 21 21 t i M t eu d d d d 121 2121 由此可见，互感电压与产生它的相邻线圈的 电流变化率成正比。 同理，对图4.1(b)有互感电压 t i M t eu d d d d 212 1212 22122212 21112111 iLMi MiiL 1 2 图4.3 耦合电感线圈的电压电流关系 （a） （b） 对于图4.3(b)所示两个线圈，其自感磁通与互 感磁通方向相反，我们称之为磁通相消。则 有 22122212 21112111 iLMi

3、MiiL 若各线圈的端电压与本线圈的电流的参考 方向相关联，电流与其产生的磁通的参考方 向符合右手螺旋定则，对图4.3(a)有下式 2221 2 2 122212 2 1211 21 1 12111 1 d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d uu t i L t i M ttt u uu t i M t i L ttt u 对图4.3(b)有下式 2221 2 2 122212 2 1211 21 1 12111 1 d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d uu t i L t i M ttt u uu t i

4、M t i L ttt u 图4.4耦合电感元件的电路符号 1 L 11 u 12 u 1 u 1 i 2 i 2 L 21 u 22 u 2 u * M 1 L 11 u 12 u 1 u 1 i 2 i 2 L 21 u 22 u 2 u * * M （a） （b） 互感电压的符号可按下述规则确定：若某 线圈电流参考方向和由它引起的互感电压 的参考方向都是由同名端指向另一端，即 当线圈电流与它引起的互感电压的参考方 向对于同名端是一致时，则它们是关联参 考方向，这时互感电压为正，即 2 12 d , d i uM t t i Mu d d 1 21 否则就是非关联参考方向，互感电压为负，

5、即 2 12 d , d i uM t t i Mu d d 1 21 图4.5 测定同名端电路 1 S U S 1 2 2 V 2212 1121 jj jj IXIMU IXIMU M M 当线圈电流和由它引起的互感电压的 参考方向对于同名端是不一致（即同名端 有相反的参考电压极性）时，有 2212 1121 jj jj IXIMU IXIMU M M 上面各式中 M XM ，称为互感电抗，单位 为。 IMILIRUILIRU IMILIRUILIRU jjj jjj 2221222 1112111 （a） （b） 图4.9 耦合电感的串联 IMILIRUILIRU IMILIRUILIR

6、U jjj jjj 2221222 1112111 可见，耦合电感串联时两种情况下等效阻 抗为 MLLRR I U Z eq 2j 2121 02 21 MLL （a） （b） 图4.10 耦合电感的并联 两个耦合线圈并联后的等效阻抗为 M M eq ZZZ ZZZ I U Z 2 21 2 21 式中 M Zj M0 21 RR时，当 2 1 2 12 j 2 eqeq L LM ZL LLM 1 I 2 jL 2 I Mj 1 jL I 21 3 0 1 I ML 2 j 2 I ML 1 j I 21 3 30 Mj （a） （b） 图4.11 耦合电感的T形等效 图4.16 空心变压器

7、的简化电路 在正弦电流的情况下，根据图4.16所示的电流、 电压参考方向和同名端，可写出如下方程 0Mjjj jj 1222 12111 IIXLRR UIMILR LL 将上述方程稍加变化，得 0 2221 12111 IZIZ UIZIZ M M 其中 1111 j LRZ ， LL XLRRZjj 2222 MZ M j，可解得 1 1 2 1122 , U I ZMY 11 2 22 111 2 YMZ ZYU I M 其中 1111 1 ZY， 2222 1 ZY。式中的分母 22 2 11 YMZ 是原边的输入阻抗，其中 22 2 YM 阻抗，它是副边的回路阻抗 22 Z 反映到原

8、边的等效阻抗。 称为引入 通过互感 图4.17 空心变压器原边和副边的等效电路 图4.21 RLC串联谐振电路 如图4.21所示RLC串联电路，由谐振的定义， 得出串联谐振的条件为 R C LRZ 1 j 发生谐振的角频率称为谐振角频率，用0 表示，根据谐振条件可得 LC 1 0 由 00 2f，则谐振频率 0 f为 LC f 2 1 0 当RLC串联电路发生谐振时，电路具有以 下特性 RZ R U Z U II max0 C L C L 0 0 1 C L 0 0 1 ，可得 0 1 j 0 0 I C LUU CL , LC UU R UU ，所以 即谐振时 L U 与 C U 的有效值相

9、等，相位 相反，相互完全补偿，所以串联谐振也 称为电压谐振，电压、电流相量图如图 4.22所示。 图4.22 RLC串联谐振相量图 又 0 000 , L LU ULILUUQU RRR QU R U C I C UC 00 0 11 C L RRCRR L Q 11 0 0 式中 为谐振电路的感抗或容抗与电路电阻之比， 称为串联电路的品质因数，工程上简称Q值。 它是一个仅与电路参数有关而无量纲的常数， 用来表征谐振电路的性能，还可表示为 R C R L U U U U Q 串联电路谐振时，由于电抗为零，阻抗角 为零，电路的功率因数为1。即1cos 所以 UIUIPcos 0sinUIQ 此时

10、，电路的有功功率即为电阻元件消耗的 功率，电路的无功功率为零，即电路的磁场 储能和电场储能之间的相互转换仅在电感和 电容之间进行，而与电源没有储能交换。 图4.23 RLC串联电路的频率特性和电流谐振曲线 （a） （b） 12 或 12 fff 图4.26 并联谐振电路及相量图 并联谐振电路与串联谐振电路相似，它的谐振 条件可从电路的复导纳来分析。图4.26(a)电路 的复导纳为 2 2 2 2 jj j 1 LR L C LR R C LR Y 根据谐振定义，谐振时电路中电流与电路两端 电压相位相同，所以上式中的电纳部分必须为 零，即 0 2 2 LR L CB p 0 p 0 p 这时谐振角频率 p 为 L CR LC p 2 1 1 CR L G RZ p pp 1 并联谐振电路的特性阻抗 C L 它与串联谐振电路的特性阻抗意义相同。 并联谐振电路的品质因数定义为谐振时 容纳（或感纳）与输入电导（等效电导） Gp的比值，即 RC L RR L L CR C G C LG Q pp p p pp 11 引入品质因数后，还可以推导得 2 pp ZRQ R