线性代数第二章矩阵小结

1、1 主讲教师主讲教师: 张张 伟伟 2 一、矩阵的运算一、矩阵的运算 条 件 运 算 律 加法 同型nmijij baBA )( 数量乘法 无 nm ij kakA 乘法 nm ij cABC p k kjikij bac 1 pm ij aA np ij bB 转置 mn ji T aA nm ij aA 分块矩阵以上运算类似。 3 1) 同数的运算律。 一般 二次 运算 转 置 取 逆 取行列式 BA TT T BABA AkkA n kA T T kAkA AB TT T ABAB AA T T 11 1 ABAB AA 1 1 1 1 T T AA BAAB 2) BAkAAB、 、

2、（交换律、结合律、分配律） CBACAB 0,00BAAB BAAB ， 0 1 1 kAkA k 1 AAT 1 1 AA 的运算律 4 1、行列式的性质 2、 行列式的计算: i) 化三角形法;ii) 降阶法。 3、 行列式的展开定理 5 1、 可逆的充分必要条件： A b) 可化成一系列初等方阵的乘积。 0Aa) 2、可逆判别与求法 *1 1 A A A EAB 1 AB 1)0 A, 2)EBA()， 则 A可逆,且 初等行变换法 1 AEEA 行 3) A可逆 12P PPA m 6 已知结论 方阵的行列式 A 1、 2、 上(下)三角行列式值等于对角线元素乘积； 奇数阶反对称行列式

3、为0； 7 1、 求法 定义法(秩等于矩阵不为0子式的最高阶数)； 2)初等行变换法。 00 0 r E PAQ 2、 常用结论 1)有可逆矩阵PQ ， 使 1) rAR ARPARAQR PAQR2) 3) BRARABR,min nBRARBAR lnnm 4) 基本求法i) 化三角形法;ii) 降阶法。 Anm是一个矩阵，若设 8 设矩阵A,B 满足2B,AAB A= = 321 011 324 求B，其中 解：解： B 9122 692 683 = =-1 2E)-(A= = 461 351 341 , , 121 011 322 = =2E-A 由 2BAAB得, , A 2E)-(

4、A=B -1 A2E)B-(A, , 9 计算n阶行列式 ) 1() 1(0.000 0)2(2.000 . 000.220 000.011 12.321 nn nn nnn 10 n cc. 1 ) 1(10.000 0)2(2.000 . 000.220 000.010 12.32 2 ) 1( nn nn nnn nn )!1( 2 1 ) 1()!1() 1( 2 ) 1( 11 nn nn nn 11 , 4| 321 AAAAAA），（，是三阶方阵 |3| 321331 AAAAAA，计算 21233131 |3|ccAAAAAA， |4| 32131 AAAAA，|4 32131

5、 AAAAA， 23123323112 44AAAccAAAAcc， 164 321 AAA， 解：解： 12 x nx n x x D 1 2 1 4 1 2 1 1 1 nx x n n x n x x x 1 2 1 11 !) 1( 1n x nn 按第一列展开按第一列展开 13 1 2 1 1 1 n n n n D n 2 1 2 2 1 ) 1(1) 1( 1 n nn n n 2 1 ) 1() 1(13) 1( 13 1 n n nn 按第一列展开按第一列展开 !12) 1() 1() 1(13) 1( 2 ) 1( 22 1 nnn nn n n 14 BAABe BABA

6、BAd AAc ABBAb BABABAa )( 11 2)( 22 222 e 成立时当,BAAB ABBA n 1 AAA n 11 成立时当,BAAB BAABBAAB 例例7 7 试证明AB 不可逆. 证明证明: :R(AB)R（A） mn |AB|=0，AB不可逆. 矩阵，设A为nmmn且B是矩阵，且mn. 15 , 1, 23,BABA阶方阵，如果都是设 计算 * 2 BAABABAAAA计算设,3 321321 解解 1* 3 5 2 A 3221 ,3ABAABA 3221 ,4ABAA 12124,4 321321 ABAAAA * 1 ,41AA 计算 A AA 1 ) 4

7、 1 ( 4 1 41 31 1 A AAA 1 23 1* 4 1 AAA 1 * n AA 16 , 8765 6543 4321 1ARA求 0000 6420 4321 A R(A)=2 可逆，B 2ARBAR 532 BRAR B A R 初等变换 B A R求3 BARB求, 011 101 110 2 17 R(A)=n-1,求a. 1 . .1 .1 .1 aaaa aaa aaa aaa A= , 解：解： | A|= 1 . .1 .1 aaaa aaa aaa A是n阶方阵, 1. . .1 .1 1.111 aaa aaa aaa (n-1)a+1= 18 (n-1)a+1 1. .