空间向量及其加减运算（经典实用）

1、3.1.1空间向量及其加减运算空间向量及其加减运算一、平面向量复习定义：既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母 表示AB相等的向量： 长度相等且方向相同的向量 ABCD空间向量及其加减运算平面向量的加减法运算平面向量的加减法运算向量的加法：向量的加法：aba+b平行四边形法则平行四边形法则aba+b三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连)空间向量及其加减运算向量的减法向量的减法aba-b三角形法则三角形法则 减向量减向量终点指向终点指向被减向量被减向量终点终点空间向量及其加减运算平面向量的加法运算律平面向量的加法运算律

2、加法交换律：加法交换律： abba 加法结合律：加法结合律： (ab)ca(bc) 空间向量及其加减运算推广推广首尾相接的若干向量之和，等于由起始向首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：量的起点指向末尾向量的终点的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA空间向量及其加减运算首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA空间向量及其加减运算二、空间向量及其加减运算二、空间向量及其加减运算空

3、间向量：空间向量：空间中具有空间中具有大小大小和和方向方向的量叫做向量的量叫做向量定义：定义：表示方法表示方法：空间向量的表示方法和平面向量一样；空间向量的表示方法和平面向量一样；空间任意两个向量都可以用同一平面空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示内的两条有向线段表示同向且等长的有向线段表示同一向量或同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量；相等的向量；空间向量及其加减运算2.空间向量的加法、减法向量空间向量的加法、减法向量ABOAOBa + babABbCOOCOACAa - - b空间向量及其加减运算空间向量加法运算律空间向量加法运算律加法交换律：加法交换律：a + b

4、 = b + a；加法结合律：加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；abca + b + c abca + b + c a + b b + c 空间向量及其加减运算对空间向量的加法、减法的说明对空间向量的加法、减法的说明空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广两个向量相加的平行四边形法则在空间仍两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立然成立空间向量的加法运算可以推广至若干个向空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加量相加空间向量及其加减运算推广首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：nnnAAAAAAA

5、AAA114332211A2A3A4A1nAnA空间向量及其加减运算首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA空间向量及其加减运算例例1、给出以下命题：、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 ；（4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（5）空间中任意两个单位向量必相等。）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是（其中不正确命

6、题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4a b 、ab| |ab1111ABCDABC D11ACACm n p 、 、,mn np mp C变式：变式：如图所示，长方体中，如图所示，长方体中，AD=2，AA1=1，AB=3。（1）是写出与是写出与 相等的所有向量；相等的所有向量；（2）写出与向量）写出与向量 的相反向量。的相反向量。AB 1AA空间向量及其加减运算平行六面体：平行六面体：平行四边形平行四边形ABCD平移向量平移向量a到到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。ABCDA1B1C1D1A1D1C1B1BACD记作记作AB

7、CDA1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。每个面的边叫做平行六面体的棱。a空间向量及其加减运算化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体DCBAABCD ；BCAB ；AAADABABCDABCD例例2(4)ACD BDC (3)ABCBAA 空间向量及其加减运算ABCDA B C D例2、 已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量始点相同的三个不共面向量之和

8、，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量(4)ACD BDC (3)ABCBAA DB AB 空间向量及其加减运算例例3、在如图所示的平行六面体中，、在如图所示的平行六面体中， 求证：求证：2.ACABADAC ABCDABCD,ABCDA B C D 变式：变式：已知平行六面体已知平行六面体 则下列四式中：则下列四式中：其中正确的是其中正确的是 。(1);(2);(3);(4).ABCBACACABB CCCAACCABBBBCC CAC (1)(2)(3)空间向量及其加减运算例例4、如图所示，在正方体、如图所示，在正方体 中，中，下列各式中运算的结果为向量下列各式中运算的结果为向量 的共有（的共有（ ）1111ABCDABC D11111111111111(1)();(2)();(3)();(4)().ABBCCCAAADDCABBBBCAAABBC A.1 B.2 C.3 D.41AC 变式：变式：()()(2)ABCDACBDABCBADAD 化简：(1)D0AC空间向量及其加减运算平面向量概念加法减法运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和