二项分布及其应用

1、二项分布及其应用条件概率一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。1定义：一般地，设 A、B为两个事件，且 P(A) 0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，一般把P(B| A)读作A发生的条件下 B的概率.2性质：(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 .(2) 如果B和C是两个互斥事件，则 P(BU C| A) =二、典型例题1、利用定义求条件概率例1:抛掷两颗均匀的骰子，问(1) 至少有一颗是

2、 6点的概率是多少(2) 在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件 A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。(1) 求 P(A),P(B),P(AB);在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1 :一个口袋内装有 4个白球和2个黑球，若不放回地抽取 3次，每次抽一个小球，求(1) 第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。(2) 第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。例 2 ：设 10 件产品中有 4 件次品，从中任取

3、 2 件，那么 （1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。3、条件概率的性质及应用A=赵家得到6张梅花, B=孙家得到3张梅花例 1 ：在某次考试中，要从 20 道中随机地抽出 6 道题，若考试至少答对其中 4 道即可通过；若至少答对其中 5 道就获 得优秀，已知某生能答对其中 10 道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。例 2 ：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，（ 1）求 P（B|A）（2） 求 P（AB）三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知

4、在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少2、一个盒子中装有 6 件合格产品和 4 件次品，不放回地任取两次，每次取一件。若已知第一件是合格品的情况下，求 第二件也是合格品的概率。事件的相互独立性一、相互独立事件的定义如果事件A的发生不会影响事件 B发生的概率，或事件B的发生不会影响事件 A发生的概率，那么事件A与事件B 相互独立。设A, B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立；如果事件A与B相互独立，那么A与B，飞与B, A与B.注意区分互斥事件与相互独立事件二、典型例题1相互独立事件的判断例1 :判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1) 甲组3名男生，2名女生

5、；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2) 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中 任意取出1个，取出的还是白球”；(3) 一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回到筐内，再从筐内任 意取出1个，取出的是梨”。例2 :下面所给出的两个事件 A与B相互独立吗 抛掷一枚骰子，事件 A= “出现1点”，事件B= “出现2点”； 先后抛掷两枚均匀硬币，事件A= “第一枚出现正面”，事件B= “第二枚出现反面”； 在含有2

6、红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件A= “第一次取到绿球”，B “第二次取到绿球”。2求相互独立事件的概率1例1 :设事件A与B相互独立，两个事件中只有 A发生的概率与B发生的概率都是 一，求P (A), P ( B)。4例2:某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答得0分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为、，且各题答对与否相互之间没有影响。(1)求这名同学得 300分的概率；(2)求这名同学至少得 300分的概率；例3:甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，

7、面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约 定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，求:(1)至少有1人面试合格的概率；(2 )签约人数X的分布列.37-，丙当选的概率为一5104例4:某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率，乙当选的概率为5(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率 3综合题型例1 :甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为1 1丄和丄，求：(1)两个人都译出密码的概率;34恰有一个人译出密码的概率； (5 )至少有一个人译出密码的概率(三)课堂练习1、两人打靶，

8、A.A.互斥事件甲击中的概率为。，乙击中的概率为,B. A、B中至少有一个为不可能事件3、国庆节放假,甲、乙、丙外出旅游的概率分别是若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是 若P(An B)=0,则事件A与B的关系是C.互斥事件或至少有一个是不可能事件1 1 一、-，假设三人的行动互不影响，45)D.以上都不对那么这段时间至少有人外出旅游的概率为(59 3A.B.-60 5将一个硬币连掷)1C.24、5、已知A、B是相互独立事件，且1D.605次，5次出现正面的概率是1P ( A)=;,26、分别掷甲、乙两枚均匀的硬币，令2 P(B)=，贝y P(A B)3A=硬币甲出现正面, B=硬币乙出

9、现正面验证事件；p( AB).A、B是相互独立的。(2)两个人都译不出密码的概率；(3)(4) 至多有一个人译出密码的概率；例2:甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率为，计算:(1)两人都投中的概率；(2 )至少有一人投中的概率.4. 多个事件的相互独立性例1 :甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为、，如果只有一人击中， 则飞机被击落的概率是;如果有两人击中，则飞机被击落的概率是；如果三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。独立重复试验与二项分布、独立重复试验与二项分布的定义1.独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即

10、若用Ai(i = 1,2n)表示第i次试验的结果，贝y P(AiA2An) =.2二项分布：一般地，在 n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为X,在每次试验中事件 A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X= k)=(k= 0,1,2 ,，n).此时称随机变量 X服从二项分布，记作 ，并称p为成功概率.二、典型例题1、独立重复试验概率的求法例1：某人连续射击5次，每次中靶的概率均是，求他至少两次中靶的概率。例2:病人服用某药品被治愈的概率为求服用这种药的10位患有这种病的患者中至少有 7人被治愈的概率。例3 :某人参加一次考试，若5道题中解对4道则为及格，已知他解对每道题的正确率为，求他及格的概率1-，设X为该生在312分钟，问全2、求随机变量的二项分布列例1 : 一名学生骑车上学，从家到学校途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率都是途中遇到的红灯次数，求 X的分布列。3、利用二项分布求概率例1:有10台都为千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动部机床用电超过48千瓦的可能性有多大