2021-2022学年上学期高中数学北师大新版高二同步经典题精练空间向量与立体几何综合题

1、2021-2022学年上学期高中数学北师大新版高二同步经典题精练空间向量与立体几何综合题一选择题（共7小题）1（2021春沛县校级期末）空间两点A（2，5，4），B（2，3，5）之间的距离等于（）ABCD2（2021春瑶海区月考）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，N是BC的中点，则等于（）A+B+C+D+3（2020秋阎良区期末）已知向量（1，1，0），则（）A3B1CD04（2020秋德州期中）若构成空间的一个基底，则（）A不共面B不共面C不共面D不共面5（2021春东至县校级期末）在正三棱柱ABCA1B1C1中，ACAA12，点M是线段BC1的中点，点N是线段AB的中点

2、，记直线A1M与CN所成角为，二面角A1BCA的平面角为，则（）ABCD26（2021春盐城期末）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AD1，AA12，若点P在线段BD上，则二面角PBC1C的余弦值为（）ABCD7（2018春平山区校级月考）已知点A（1，2，0）和向量，且与方向相反，则点B坐标为（）A（7，6，12）B（7，10，12）C（7，6，12）D（7，10，12）二填空题（共4小题）8（2021春厦门期末）已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），若点P（x，1，1）在平面ABC内，则x 9（2020秋慈溪市期末）已知空间四个不同的点A，B，C，D，若C是线

3、段AB的中点，且A（1，1，3），B（3，1，1），D（2，4，2），则C的坐标为 ， 10（2021春桂林期末）在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若+，则+ 11（2021黄浦区校级三模）在空间直角坐标系中，点P（x，y，z）满足：x2+y2+z216，平面过点M（1，2，3），且平面的一个法向量，则点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于 三解答题（共4小题）12（2020秋隆德县期末）已知（1）若，求实数m的值：（2）若m2，求的值13（2020春天山区校级期末）已知空间中三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），设，（）若|3，且

4、，求向量；（）已知向量k+与互相垂直，求k的值；（）求ABC的面积14（2014秋莲湖区校级期末）已知向量（1，3，2），（2，1，1），点A（3，1，4），B（2，2，2）（1）求：|2+|；（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得？（O为原点）15（2021春盐城期末）如图所示，在三棱锥PABC中，APABAC2，BACBAP，平面PAB平面CAB（1）求异面直线PA与BC所成角的余弦值；（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值2021-2022学年上学期高中数学北师大新版高二同步经典题精练空间向量与立体几何综合题参考答案与试题解析一选择题（共7小题）1（2021春沛县校级期末）空间两点

5、A（2，5，4），B（2，3，5）之间的距离等于（）ABCD【考点】空间两点间的距离公式菁优网版权所有【专题】转化思想；定义法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用空间中两点间距离公式求解即可【解答】解：因为A（2，5，4），B（2，3，5），由空间中两点间距离公式可得，故选：B【点评】本题考查了空间两点间距离公式的应用，考查了运算能力，属于基础题2（2021春瑶海区月考）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，N是BC的中点，则等于（）A+B+C+D+【考点】空间向量及其线性运算菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【分析】根据已知条

6、件，结合向量的加法法则和平面向量基本定理，即可求解【解答】解：六面体ABCDA1B1C1D1为平行六面体，又，N是BC的中点，故选：A【点评】本题考查了平面的线性运算，以及平面向量基本定理的应用，属于基础题3（2020秋阎良区期末）已知向量（1，1，0），则（）A3B1CD0【考点】空间向量的数量积运算菁优网版权所有【专题】计算题；对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算【分析】利用向量的加减法运算求得+和，再由空间向量数量积的坐标运算即可求解【解答】解：因为向量（1，1，0），所以+（1，1，2），（1，0，1），所以（+）（）121故选：B【点评】本题主要考查空间向量数量积的坐标运算，属

7、于基础题4（2020秋德州期中）若构成空间的一个基底，则（）A不共面B不共面C不共面D不共面【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用共面向量基本定理的应用判断A、B、C、D的结果【解答】解：对于A：不存在实数，使，故A正确；对于B：，存在实数，使等式成立，故B错误；对于C：，存在实数，使等式成立，故C错误；对于D：，存在实数，使等式成立，故D错误故选：A【点评】本题考查的知识要点：共面向量基本定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题5（2021春东至县校级期末）在正三棱柱AB

8、CA1B1C1中，ACAA12，点M是线段BC1的中点，点N是线段AB的中点，记直线A1M与CN所成角为，二面角A1BCA的平面角为，则（）ABCD2【考点】二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】数形结合；定义法；立体几何；逻辑推理；数学运算【分析】过点A1作A1N1CN且A1N1CN，连接MN1，直线A1M与直线CN所成角是MA1N1；取BC的中点Q，连接AQ，A1Q，二面角A1BCA的平面角是A1QA，计算tan、tan的正切值，根据正切函数在上的单调性，即可得出且2【解答】解：过点A1作A1N1CN且A1N1CN，连接MN1，则MA1N1为直线A1M与直线CN所成角，即MA1N1如图

9、所示：过点M作MGB1C1，垂足为点G，则由题意知G为B1C1的中点，连接A1M，GN1，因为ACAA12，所以，又GA1N160，所以，又正三棱柱ABCA1B1C1中，MGGN1，所以，所以，所以取BC的中点Q，连接AQ，A1Q，因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，且ACAA1，所以易知A1QA即为二面角A1BCA的平面角，即A1QA在正ABC中，则因为，且正切函数在上单调递增，所以，且tantan2，所以选项B正确故选：B【点评】本题考查了两条异面直线所成的角和二面角的定义与应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题6（2021春盐城期末）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，A

10、D1，AA12，若点P在线段BD上，则二面角PBC1C的余弦值为（）ABCD【考点】二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】数形结合；向量法；空间角；逻辑推理；数学运算【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PBC1C的余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如下图，则B（1，2，0），C1（0，2，2），（1，2，0），（0，2，2），平面BCC1的法向量（0，1，0），设平面PBC1的法向量（x，y，z），则，取x2，得（2，1，1），设二面角PBC1C的平面角为，则cos二面角P

11、BC1C的余弦值为故选：C【点评】本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题7（2018春平山区校级月考）已知点A（1，2，0）和向量，且与方向相反，则点B坐标为（）A（7，6，12）B（7，10，12）C（7，6，12）D（7，10，12）【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系菁优网版权所有【专题】计算题；空间向量及应用【分析】设点B的坐标，利用与的关系，得到，对比得解【解答】解：设B（x，y，z），则，且方向相反，可得x7，y10，z12，故选：B【点评】此题考查了向量的模和方向，属容易题二填空题（共4小题）8

12、（2021春厦门期末）已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），若点P（x，1，1）在平面ABC内，则x1【考点】空间中的点的坐标；共线向量与共面向量菁优网版权所有【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算【分析】根据空间向量的坐标表示和共面定理，列方程组求出x的值【解答】解：因为A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），所以（1，1，0），（1，0，1），又点P（x，1，1）在平面ABC内，所以m+n，其中m、nR；由（1x，1，1），所以，解得x1故答案为：1【点评】本题考查了空间向量的坐标表示和共面定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题9（202

13、0秋慈溪市期末）已知空间四个不同的点A，B，C，D，若C是线段AB的中点，且A（1，1，3），B（3，1，1），D（2，4，2），则C的坐标为（1，0，2），5【考点】空间向量及其线性运算菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用中点的坐标公式，向量的模的运算求出结果【解答】解：由于C是线段AB的中点，且A（1，1，3），B（3，1，1），故C（1，0，2），且D（2，4，2），所以|5故答案为：（1，0，2）；5【点评】本题考查的知识要点：中点的坐标公式，向量的模的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题10（2021春桂林

14、期末）在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若+，则+【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示菁优网版权所有【专题】计算题【分析】因为AB2，BC3，ABC60，所以cos1203，再根据O为AD的中点，且+，可得2+2，从而6+180，得3接下来利用，结合与是共线向量，可算得，代入上式得，最终得到+的值为【解答】解：AB2，BC3，ABC60，cos1203O为AD的中点，+，22+2，可得（2+2）2+226+18AD为BC边上的高，与互相垂直0，即6+180，得3又2+2，（21）+2，而与是共线向量，可得210，所以，再代入，得+的值为故答案为

15、【点评】本题给出一个特殊的三角形ABC，一条高线AD中点为O，要我们将向量表示为、的线性组合的形式，着重考查了平面向量平行与共线的充要条件及其表示式，属于基础题11（2021黄浦区校级三模）在空间直角坐标系中，点P（x，y，z）满足：x2+y2+z216，平面过点M（1，2，3），且平面的一个法向量，则点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于4【考点】平面的法向量菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；方程思想；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象；数学运算【分析】点P所在的几何体球在平面上围成一个圆，求得圆半径，即可求得封闭图形面积【解答】解：点P（x，y，z）满足x2+y2+z216，点

16、P在以O为球心、4为半径的球面上球与平面相交围成的封闭图形为圆，设圆心为A，则OA平面的一个法向量，可设A（t，t，t），又点M（1，2，3），（1t，2t，3t）平面过点M（1，2，3），0，1t+2t+3t0，解得t2，|2，圆A的半径为2，圆A的面积为4故答案为：4【点评】本题考查了球的方程、平面的法向量，考查方程思想及空间想象能力，属于中档题三解答题（共4小题）12（2020秋隆德县期末）已知（1）若，求实数m的值：（2）若m2，求的值【考点】空间向量的数量积运算菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算【分析】（1）由空间向量的坐标运算求得+23，再求出

17、m的值；（2）由空间向量的数量积的坐标运算即可求解【解答】解：（1）因为，所以+23（6，3，73m）（6，3，1），所以73m1，解得m2（2）若m2，则（0，0，2），+（2，0，5），所以（2，3，1）（2，0，5）9【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算及空间向量的数量积运算，属于基础题13（2020春天山区校级期末）已知空间中三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），设，（）若|3，且，求向量；（）已知向量k+与互相垂直，求k的值；（）求ABC的面积【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用【分析】（I）推导

18、出，利用|，能求出结果（II）k+k（1，1，0）+（1，0，2）（1k，k，2），（1，0，2），由向量k+与互相垂直，能求出k的值（III）求出（1，1，0），（1，0，2），（2，1，2），cos，sin，由此能求出ABC的面积【解答】解：（I）空间中三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），设，|3，且，|，m1，（2，1，2）或（2，1，2）（II）k+k（1，1，0）+（1，0，2）（1k，k，2），（1，0，2），向量k+与互相垂直，（）1k+40，解得k5k的值是5（III）（1，1，0），（1，0，2），（2，1，2），cos，sin，SABC【点评】本题考查

19、向量的求法，考查实数值、三角形的面积的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题14（2014秋莲湖区校级期末）已知向量（1，3，2），（2，1，1），点A（3，1，4），B（2，2，2）（1）求：|2+|；（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得？（O为原点）【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直菁优网版权所有【专题】空间向量及应用【分析】（1）由题意可得2+的坐标，代入模长公式可得答案；（2）假设存在点E（x，y，z）满足条件，由，和0可得x、y、z的方程组，解方程组可得【解答】解：（1）2+（2，6，4）+（2，1，1）（0，5，5），|2+

20、|5；（2）假设存在点E（x，y，z）满足条件，则，且得0，又（x+3，y+1，z4），（1，1，2），解得，在直线AB上，存在一点E（，），使得【点评】本题考查空间向量的模长和垂直的判断，属基础题15（2021春盐城期末）如图所示，在三棱锥PABC中，APABAC2，BACBAP，平面PAB平面CAB（1）求异面直线PA与BC所成角的余弦值；（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算【分析】（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，在

21、平面PAB内，过A作AB的垂线z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PA与BC所成角的余弦值（2）求出平面PAC的法向量，利用向量法能求出直线PB与平面PAC所成角的正弦值【解答】解（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，在平面PAB内，过A作AB的垂线z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，1，），A（0，0，0），B（ 0，2，0），C（，1，0），（0，1，），（，3，0），设异面直线PA与BC所成角为，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为：cos（2）（0，3，），（0，1，），（，1，0），设平面PAC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1

22、），设直线PB与平面PAC所成角为，则sin直线PB与平面PAC所成角的正弦值为【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题考点卡片1空间中的点的坐标【知识点的知识】1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，b，c，）点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（a，b，c，）；点P（a，b，c）关

23、于z轴的对称点的坐标为（a，b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（a，b，c，）；点P（a，b，c）关于原点的对称点（a，b，c，）3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（）2空间两点间的距离公式【知识点的知识】空间两点间的距离公式：已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），则两点的距离为，特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为3异面直线及其所成的角【知识点的知识】1、异

24、面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a，b，并使aa，bb我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角异面直线所成的角的范围：（0，当90时，称两条异面直线互相垂直2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：4空间向量及其线性运算【知识点的认识】1空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示2向量的模：向量的大小叫向量的长度或模记为|，| 特别地：规定长度为0的向量为零向量，记作；模为1的向量叫做单位向量；

25、3相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量4负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量如的相反向量记为5平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量6注意：零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；一般来说，向量不能比较大小1加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则2加法运算律：空间向量的加

26、法满足交换律及结合律（1）交换律：（2）结合律：3推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量1空间向量的数乘运算 实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反；当0时，| 的长度是的长度的|倍2运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律 （1）分配律：（+）+ （2）结合律：注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算5共线向量与共面向量【知识点的认识】1定

27、义（1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作与任意向量是共线向量（2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量2定理（1）共线向量定理 对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使得（2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况空间向量共面问题：（1

28、）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面，证明这些向量与平面平行【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若（2x，1，3），（1，2y，9），如果与为共线向量，则（）Ax1，y1 Bx，y Cx，y Dx，y分析：利用共线向量的条件，

29、推出比例关系求出x，y的值解答：（2x，1，3）与（1，2y，9）共线，故有x，y故选C点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题2考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A B C D分析：根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误解答：由共面向量定理，说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确故选D点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力是基础题6空间向量的数量积运算【知识点的认识】1空间向量的夹角 已知两个非零向量、，在空间中任取一点O

30、，作，则AOB叫做向量与的夹角，记作，2空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量、，则|cos，叫做向量与的数量积，记作，即|cos， （2）几何意义：与的数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cos的乘积，或的长度|与在的方向上的投影|cos的乘积3空间向量的数量积运算律 空间向量的数量积满足交换律和分配律 （1）交换律：（）（） （2）分配律：4数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定（3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一

31、个与垂直的非零向量，都有【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|求解即可特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直【命题方

32、向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用例：已知2+（2，4，1），且（0，2，1），则7分析：通过2+（2，4，1），且（0，2，1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算解答：2+（2，4，1），且（0，2，1），（1，3，1），10+2（3）+1（1）7；故答案为：7点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题7空间向量基本定理、正交分解及坐标表示【知识点的认识】1空间向量基本定理 如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使x+y+z 任

33、意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，都叫做基向量2单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用，表示3空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz 其中，点O叫做原点，向量，都叫做坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面4空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得把x，y，z称作向量在单位正交基底，下的坐

34、标，记作（x，y，z）【解题方法点拨】1基底的判断 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数、使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立2空间向量的坐标表示 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来3用基底表示向量 用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形

35、法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行（2）若没给定基底时，首先选择基底选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求8向量的数量积判断向量的共线与垂直【知识点的知识】一、空间向量及其有关概念 语言描述共线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合 共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量，（0），存在R，使共面向量定理若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面存在唯一的有序实数对（x，y），使x+y空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组x，y，z使得x+y+z（

36、2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使x+y+z 且x+y+z1二、数量积及坐标运算1两个向量的数量积（1）|cos，；（2）0（，为非零向量）；（3）|22，|2向量的坐标运算 （a1，a2，a3），（b1，b2，b3）向量和+（a1+b1，a2+b2，a3+b3）向量差（a1b1，a2b2，a3b3）数量积a1b1+a2b2+a3b3共线a1b1，a2b2，a3b3（R）垂直a1b1+a2b2+a3b30夹角 公式cos，9平面的法向量【知识点的知识】1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定

37、 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量注意：一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量注意：法向量一定是非零向量；一个平面有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0一个平面的法向量

38、也是所有与平面平行的平面的法向量 4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为（u，v，w）； （2）列：根据0，0，列出方程组； （3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量 （4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标10直线与平面所成的角【知识点的知识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为0，2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作作出斜线与射影所成的角；（2）证论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角（4）答回答求解问题 在求直线和