2021年信阳市、三门峡市高考数学一模试卷（理）含答案解析

1、2021年河南省信阳市、三门峡市高考数学一模试卷理科一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1设全集U=R，A=x|0.3x1，B=x|xx22，那么AUB=Ax|1x0Bx|0x2Cx|0x2Dx|0x12复数z1=2+2i，z2=13ii为虚数单位，那么复数所对应的点在复平面的A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设命题p：x0，lnxlgx，命题q：x0， =1x2，那么以下命题为真命题的是ApqBpqCpqDpq4某同学有6本工具书，其中语文1本、英语2本、数学3本，现在他把这6本书放到书架上排成一排，那么同学科工具书都排在一

2、起的概率是A B C D5假设双曲线=1a0，b0的离心率为e，一条渐近线的方程为y=x，那么e=A B C2D6执行如下图的程序框图，输出s的值为A2BC3D7某几何体的三视图细图所示，那么该几何体的体积为A12B13C18D208在ABC中，点O在线段BC的延长线上，且|=3|，当=x+y时，xy=A2B2C2D39刘徽在他的?九章算术注?中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖的立体的体积刘徽通过计算，“牟合方盖的体积与球的体积之比应为后人导出了“牟合方盖的体积计算公式，即V牟=r3V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，为从而

3、计算出V球=r3记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差，那么=A B C D10函数fx=Asinx+A0，0，|的图象局部如下图，把fx的图象上各点向左平移单位，得到函数gx的图象，那么g=A1B1CD11O为坐标原点，Mx，y为不等式组表示的平面区域内的动点，点A的坐标为2，1，那么z=的最大值为A5B1C1D012在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设a=1，c=2bcosC，那么ABC周长的取值范围是A1，3B2，4C2，3D3，5二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分13函数y=fx+x3为偶函数，且f10=10，假设函数

4、gx=fx+6，那么g10=14如下图的一系列正方形将点阵分割，从内向外扩展，其模式如下：4=224+12=16=424+12+20+36=624+12+20+28=64=82由上述事实，请推测关于n的等式：15a=dx，那么ax+6展开式中的常数项为16e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a3，那么|2ab1|的最小值为三、解答题共5小题，总分值60分17在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，cos2A3cosB+C=1求角A的大小；假设ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值18等差数列an的前n项和为Sn，a20，且1，a2，81成等比数列，a3+a7=6求a

5、n的通项公式；求的前n项和Tn取得最小值时n的值19某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段75，80，80，85，85，90，90，95，95，100单位：小时进行统计，其频率分布直方图如下图求抽取的200名职工中，参加这种技能培训效劳时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；从招聘职工人数很多中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数试求X的分布列和数学期望EX和方差DX20如图，椭圆的中心在坐标原

6、点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且，求椭圆的标准方程；过椭圆的右焦点F作直线l1，l2，直线l1与椭圆分别交于点M、N，直线l2与椭圆分别交于点P、Q，且，求四边形MPNQ的面积S的最小值21设函数fx=lnxax+1当a=1时，求曲线fx在x=1处的切线方程；讨论函数fx的单调性；当a=时，设函数gx=x22bx，假设对于x11，2，x20，1，使fx1gx2成立，求实数b的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如下图，O为ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连

7、接CD1求证：EDF=CDF；2求证：AB2=AFAD选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系圆C的参数方程为参数，直线l的极坐标方程为cos=31求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；2求圆C上任一点P到直线l距离的最小值和最大值选修4-5：不等式选讲24函数fx=|2x+1|x|2解不等式fx0假设存在实数x，使得fx|x|+a，求实数a的取值范围2021年河南省信阳市、三门峡市高考数学一模试卷理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1设全集U=R，

8、A=x|0.3x1，B=x|xx22，那么AUB=Ax|1x0Bx|0x2Cx|0x2Dx|0x1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】分别求出集合A，B，以及B的补集，再求出其和A的交集即可【解答】解：U=R，A=x|0.3x1=x|x0，B=x|xx22=x|x2或x1，UB=x|1x2，AUB=x|0x2，应选：B2复数z1=2+2i，z2=13ii为虚数单位，那么复数所对应的点在复平面的A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接把复数z1，z2代入复数，由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面对应的点的坐标，那么答案可求【解答】解：复数

9、z1=2+2i，z2=13ii为虚数单位，那么=，复数在复平面所对应的点的坐标为：，位于第二象限应选：B3设命题p：x0，lnxlgx，命题q：x0， =1x2，那么以下命题为真命题的是ApqBpqCpqDpq【考点】复合命题的真假【分析】命题p：是假命题，例如取x=1，那么lnx=lgx=0命题q：画出图象：即可判断出结论【解答】解：命题p：x0，lnxlgx，是假命题，例如取x=1，那么lnx=lgx=0命题q：x0， =1x2，画出图象可知：q为真命题那么以下命题为真命题的是pq应选：D4某同学有6本工具书，其中语文1本、英语2本、数学3本，现在他把这6本书放到书架上排成一排，那么同学科

10、工具书都排在一起的概率是A B C D【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率【分析】由题意可得：将6本不同的书排成一排放到书架上共有A66中排法，把2本英语捆绑在一起，把3本数学捆绑在一起，和1本语文，全排，根据概率公式计算即可得到答案【解答】解：把这6本书放到书架上排成一排，共有A66=720种，把2本英语捆绑在一起，把3本数学捆绑在一起，和1本语文，全排，故有A22A33A33=72，故同学科工具书都排在一起的概率是=，应选：C5假设双曲线=1a0，b0的离心率为e，一条渐近线的方程为y=x，那么e=A B C2D【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程，由条件可得=，

11、由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：由题意可得e=，双曲线=1的渐近线方程为y=x，由题意可得=，由b=，可得=，即为e2=2e，解得e=20舍去应选：C6执行如下图的程序框图，输出s的值为A2BC3D【考点】循环结构【分析】根据题意，本程序框图为求S的值，利用循环体，代入计算可得结论【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值第一次进入循环体后，i=1，S=；第二次进入循环体后，i=2，S=；第三次进入循环体后，i=3，S=3第四次进入循环体后，i=4，S=；退出循环应选D7某几何体的三视图细图所示，那么该几何体的体积为A12B13C18D20【考点】由三视图求面积、

12、体积【分析】由三视图可知几何体为侧放的四棱锥【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是边长为4和5的矩形，高为3，V=20应选：D8在ABC中，点O在线段BC的延长线上，且|=3|，当=x+y时，xy=A2B2C2D3【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】可作出图形，然后由条件便可得到，根据向量加法的几何意义及向量的数乘运算便可得到，从而由平面向量根本定理即可得出x，y的值，从而求出xy的值【解答】解：如图，根据条件，；=；又；xy=2应选：A9刘徽在他的?九章算术注?中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖的立体的体积刘徽通

13、过计算，“牟合方盖的体积与球的体积之比应为后人导出了“牟合方盖的体积计算公式，即V牟=r3V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，为从而计算出V球=r3记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差，那么=A B C D【考点】球的体积和外表积【分析】计算出V方盖差，V正，即可得出结论【解答】解：解：由题意，V方盖差=r3V牟=r3r3=r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=r3，=，应选：C10函数fx=Asinx+A0，0，|的图象局部如下图，把fx的图象上各点向左平移单位，得到函数gx的图象，那么g=A1B1CD【考点】函数y=Asinx+的

14、图象变换【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，再根据函数y=Asinx+的图象变换规律，求得gx的解析式，从而求得要求式子的值【解答】解：根据函数fx=Asinx+A0，0，|的图象，可得A=2， =，求得=再根据五点法作图可得+=，求得=，故fx=2sinx+把fx的图象上各点向左平移单位，得到函数gx=2sinx+=2cosx+的图象，那么g=2cos+=2cos=1，应选：A11O为坐标原点，Mx，y为不等式组表示的平面区域内的动点，点A的坐标为2，1，那么z=的最大值为A5B1C1D0【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，利用向量的坐标运算

15、得到线性目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=2，1x2，y1=2x4+y1=2x+y5，化为直线方程的斜截式：y=2x+z+5，由图可知，当直线y=2x+z+5过A2，2时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1应选：C12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设a=1，c=2bcosC，那么ABC周长的取值范围是A1，3B2，4C2，3D3，5【考点】正弦定理；余弦定理【分析】由余弦定理求得cosC，代入等式可得b+c21=3bc，利用根本不等式求得b+c2，故a+b+c3再由三角形任意两边之和大于

16、第三边求得a+b+c2，由此求得ABC的周长的取值范围【解答】解：ABC中，由余弦定理可得2cosC=，a=1，2cosC+c=2b，+c=2b，化简可得b+c21=3bcbc2，b+c2132，解得b+c2当且仅当b=c时，取等号故a+b+c3再由任意两边之和大于第三边可得 b+ca=1，故有 a+b+c2，故ABC的周长的取值范围是2，3，应选：C二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分13函数y=fx+x3为偶函数，且f10=10，假设函数gx=fx+6，那么g10=2021【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数y=fx+x3为偶函数、f10=10，由偶函数的性质列出方程求出f10

17、的值，代入函数gx=fx+6求出g10的值【解答】解：因为函数y=fx+x3为偶函数，所以f10+103=f10+103，由f10=10得，f10=2021，因为函数gx=fx+6，所以g10=2021，故答案为：202114如下图的一系列正方形将点阵分割，从内向外扩展，其模式如下：4=224+12=16=424+12+20+36=624+12+20+28=64=82由上述事实，请推测关于n的等式：4+12+20+8n4=2n2nN*【考点】数列递推式；归纳推理【分析】由中的点阵分隔所得的等式，归纳变化规律，可得答案【解答】解：由已有中正方形将点阵分割，从内向外扩展，其模式如下：4=224+1

18、2=16=424+12+20+36=624+12+20+28=64=82归纳可得：等式左边是一个以8为公差，以4为首项的等差数列，右边是正偶数的平方，故第n个式子为：4+12+20+8n4=2n2nN*，故答案为：4+12+20+8n4=2n2nN*15a=dx，那么ax+6展开式中的常数项为1603【考点】定积分；二项式系数的性质【分析】由定积分的几何意义可求a值，再由二项式定理可得【解答】解：a=dx表示圆x2+y2=4面积的一半，故a=22=2，ax+6=2x+6，展开式通项为Tk+1=2x6kk=26kx62k，令62k=0可解得k=3，故展开式中的常数项为T4=23=1603，故答案

19、为：160316e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a3，那么|2ab1|的最小值为3【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性【分析】利用条件化简表达式，利用构造法以及函数的导数求解函数的最值【解答】解：e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a3，2a30，可得b=ln2a3，|2ab1|=|2aln2a31|，令2a3=x，上式化为|xlnx+2|，令y=xlnx+2，可得y=1，由y=0，可得x=1，当x0，1时，y0，函数是减函数，x1时，y0，函数是增函数，x=1时，y=xlnx取得最小值：3那么|2ab1|的最小值为3故答案

20、为：3三、解答题共5小题，总分值60分17在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，cos2A3cosB+C=1求角A的大小；假设ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】I利用倍角公式和诱导公式即可得出；II由三角形的面积公式即可得到bc=20又b=5，解得c=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，即可得出a又由正弦定理得即可得到即可得出【解答】解：由cos2A3cosB+C=1，得2cos2A+3cosA2=0，即2cosA1cosA+2=0，解得舍去因为0A，所以由S=，得到bc=20又b=5，解得c=4由余

21、弦定理得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故又由正弦定理得18等差数列an的前n项和为Sn，a20，且1，a2，81成等比数列，a3+a7=6求an的通项公式；求的前n项和Tn取得最小值时n的值【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】I由a3+a7=6=2a5，解得a5由1，a2，81成等比数列， =181，a20，解得a2可得等差数列an的公差d=可得anIISn=n212n. =n12由n120，解得n即可得出【解答】解：Ia3+a7=6=2a5，解得a5=31，a2，81成等比数列， =181，a20，a2=9等差数列an的公差d=2an=a2+n22=2n13

22、IISn=n212n=n12由n120，解得n12，当n=11，12时，的前n项和Tn取得最小值19某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段75，80，80，85，85，90，90，95，95，100单位：小时进行统计，其频率分布直方图如下图求抽取的200名职工中，参加这种技能培训效劳时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；从招聘职工人数很多中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数试求X的分布列和数

23、学期望EX和方差DX【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】依题意，参加这种技能培训时间在时间段90，95小时的职工人数为60，在时间段95，100小时的职工人数为20，由此能求出从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、数学期望与方差【解答】解：依题意，参加这种技能培训时间在时间段90，95小时的职工人数为：2000.065=60，在时间段95，100小时的职工人数为2000.025=20，抽取的200位职工中，参加这种技能培训

24、时间不少于90小时的职工人数为80，从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率估计为：p=依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，PX=0=，PX=1=，PX=2=，PX=3=，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 PXB3，EX=，DX=3=20如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且，求椭圆的标准方程；过椭圆的右焦点F作直线l1，l2，直线l1与椭圆分别交于点M、N，直线l2与椭圆分别交于点P、Q，且，求四边形MPNQ的面积S的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】设椭圆的方程，利用，确定几何量，从而可得椭圆

25、的方程；利用，确定l1l2 再分类讨论，分别计算四边形MPNQ的面积，利用根本不等式，可确定四边形形MPNQ的面积S的最小值【解答】解：设椭圆的方程为ab0，那么由题意知c=1，又a+cac=1=a2c2a2=2b2=a2c2=1，故椭圆的方程为：；设MxM，yM，NxN，yN，PxP，yP，QxQ，yQ那么由题意：整理得：xNxMxPxQ+yNyMyPyQ=0所以l1l2 假设直线l1，l2中有一条斜率不存在，不妨设l2的斜率不存在，那么可得l2x轴，|MN|=2，|PQ|=，故四边形MPNQ的面积S=假设直线l1，l2的斜率存在，设直线l1的方程：y=kx1k0，那么代入椭圆方程，消去y可

26、得2k2+1x24k2x+2k22=0设Mx1，y1，Nx2，y2，那么x1+x2=，x1x2=|MN|=同理可求得，|PQ|=故四边形MPNQ的面积：S=当且仅当k=1时，取“=综上，四边形形MPNQ的面积S的最小值为21设函数fx=lnxax+1当a=1时，求曲线fx在x=1处的切线方程；讨论函数fx的单调性；当a=时，设函数gx=x22bx，假设对于x11，2，x20，1，使fx1gx2成立，求实数b的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】求出当a=1时，fx的表达式和导数，及切线的斜率，切点，求出切线方程；求出导数fx，并分解因式，讨论a=0，

27、a0时分0a，a=，a，a0，求出单调区间；假设对于x11，2，x20，1，使fx1gx2成立gx在0，1上的最小值不大于fx在1，2上的最小值由知fx在1，2上递增，所以fx在1，2上的最小值为f1=，就b讨论：b0，0b1，b1时gx的最小值，再解不等式即可得到【解答】解：当a=1时，fx=lnxx1，fx=1，f1=0，f1=2，曲线fx在x=1处的切线方程为y=2fx=a=x0当a=0，fx=，fx的增区间是1，+，减区间是0，1，当a0时，1，即0a时，fx的增区间是1，减区间是0，1，+，=1，即a=，fx的增区间为0，+，无减区间；1，即a或a0，a时，fx的增区间是，1，减区间

28、是0，1，+，a0，fx的增区间是0，1，+，减区间是，1；当a=时，由知fx在1，2上递增，所以fx在1，2上的最小值为f1=，假设对于x11，2，x20，1，使fx1gx2成立gx在0，1上的最小值不大于fx在1，2上的最小值又gx=x22bx=xb2b2，x0，1，当b0，gx在0，1上递增，gxmin=g0=，不成立；当0b1，gxmin=gb=b2，由b2及0b1，b1；当b1时，gx在0，1上递减，gxmin=g1=2b，此时b1，综上，b的取值范围是，+请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如下图，O为ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD1求证：EDF=CDF；2求证：AB2=AFAD【考点】与圆有关的比例线段【分析】1可根据切割线定理先得出关于FD，FA，FC，FB的比例关系，然后得出三角形FDC和FBA相似，因此可得出CDF=ABC，EDF和ADB是对顶角，因此只要证得ABC=ADB相等即可，AB=AC，ABC=