多角思维多度探究-一道双曲线离心率题的拓展

1、 多角思维，多度探究一道双曲线离心率题的拓展 摘要：圆锥曲线中涉及椭圆或双曲线的离心率问题一直是考试的一个热点问题，也是历年高考中比较常见的一个基本考点，知识板块融合巧妙，破解思维与方法多样，能有效开拓学生的解题视野与深度，提升学生的思维品质和创新意识，充分体验到数学探究的乐趣，并收获到成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心关键词：双曲线；圆；椭圆；离心率；切线；坐标；几何圆锥曲线中涉及椭圆或双曲线的离心率问题一直是考试的一个热点问题，也是历年高考中比较常见的一个基本考点，倍受命题者的青睐此类问题常考常新，内涵丰富，融合度高，可以巧妙把解析几何中的相关知识融入其中，也可以交汇函数、不等式、平面向

2、量等其他相关知识，知识板块融合巧妙，破解思维与方法多样，是数学能力提升与思维拓展养成，创新意识与核心素养培养的好场所1问题呈现【问题】（燕博园2020届高三年级综合能力测试（cat）（一）数学理科11）已知双曲线m： =1（ba0）的焦距为2c，若m的渐近线上存在点t，使得经过点t所作的圆c：（xc）2+y2=a2的两条切线互相垂直，则双曲线m的离心率的取值范围是（ ）a（1， b（ ， c（ ， d（ ， 此题以双曲线为问题背景，结合双曲线的几何性质，圆的方程，直线与圆的位置关系以及切线的性质等来巧妙设置，进而确定双曲线的离心率的取值范围难度中等，内涵丰富，把解析几何中的直线、圆、圆锥曲线等

3、相关知识加以合理交汇融合，是一个数学知识与数学能力展示全面的创新性问题2问题破解方法1：（坐标法）解析：不失一般性，设点t在双曲线m的渐近线bxay=0上，其坐标为（t，t），设经过点t所作的圆c的两条切线分别为ta、tb，其中切点分别为a、b，连接ca、cb，则知cata，cbtb，而由题可知tatb，所以四边形tacb是正方形，可得|ct|=a，而c（c，0），则有|ct|= =a，整理可得t22ct+c22a2=0，由题可知以上关于t的二次方程有实根，则判别式=4c24 （c22a2）0，整理可得c23a2，又由ba0，可得b2a2，即c2a2a2，亦即c22a2，则有2a2c23a2，

4、可得2e23，则有 a0，则有aba，即1b0）的焦距为2c，若m上存在点t，使得经过点t所作的圆c：x2+y2=b2的两条切线互相垂直，则椭圆m的离心率的取值范围是（ ）a ，1） b ， ） c ，1） d ，1）解析：设经过点t所作的圆c的两条切线分别为ta、tb，其中切点分别为a、b，连接ca、cb，则知cata，cbtb，而由题可知tatb，所以四边形tacb是正方形，可得|ct|=b，结合点t在椭圆m上，可知b0，b0）的焦距为2c，若m的两条渐近线上各仅存在一个点t，使得经过点t所作的圆c：（xc）2+y2=a2的两条切线互相垂直，则双曲线m的离心率是（ ）a b c2 d解析：

5、设经过点t所作的圆c的两条切线分别为ta、tb，其中切点分别为a、b，连接ca、cb，则知cata，cbtb，而由题可知tatb，所以四边形tacb是正方形，可得|ct|=a，而圆心c（c，0）到双曲线m的渐近线bxay=0的距离为d= =b，而m的两条渐近线上各仅存在一个点t满足条件，可知b=a，所以双曲线m的离心率e= = = ，故选择答案：b探究3：同样，改变变式1的条件，改变“m上存在点t”为“m上仅存在两个点t”，进而来确定椭圆的离心率的值问题【变式3】已知椭圆m： + =1（ab0）的焦距为2c，若m上仅存在两个点t，使得经过点t所作的圆c：x2+y2=b2的两条切线互相垂直，则椭

6、圆m的离心率是（ ）a b c d解析：设经过点t所作的圆c的两条切线分别为ta、tb，其中切点分别为a、b，连接ca、cb，则知cata，cbtb，而由题可知tatb，所以四边形tacb是正方形，可得|ct|=b，由于m上仅存在两个点t，结合对称性知这两个点t恰好就是椭圆m的左右顶点，可知b=a，所以椭圆m的离心率e= = = ，故选择答案：b探究4：改变原来题目条件中圆的方程，同时改变原来“m的渐近线上存在点t”为“m上存在点t”，同样来确定双曲线的离心率的取值范围问题【变式4】已知双曲线m： =1（a0，b0）的焦距为2c，若m上存在点t，使得经过点t所作的圆c：x2+y2=b2的两条切线互相垂直，则双曲线m的离心率的取值范围是（ ）a ，+） b ，+） c ，+） d ，+）解析：设经过点t所作的圆c的两条切线分别为ta、tb，其中切点分别为a、b，连接ca、cb，则知cata，cbtb，而由题可知tatb，所以四边形tacb是正方形，可得|ct|=b，而点t在双曲线m上，可知ba，即 ，所以双曲线m的离心率e= = ，+），故选择答案：b4解后反思结合一道充分交汇与融合解析几何中的直线、圆、圆锥曲线等相关知识的双曲线的离心率问题，抓住题目本质，认真分析，通过坐标法和几何法等角度切入来解决问题，并在此基础上不同方式加以探究、拓展、深入，有效实现“认真解答一个题，拓广解