《现代控制理论基础》(讲义)7

1、5.5 状态重构问题与luenberger状态观测器前已指出，对于状态完全能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系统的极点。事实上，不仅是极点配置，而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制 (lq)问题等，也都可由状态反馈实现。然而，在5.2 节介绍极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要估计不可量测的状态变量。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。观测器分为全维状态观测器降维状态观测器最小阶状态

2、观测器或最小阶观测器5.5.1 问题的提法在下面有关状态观测器的讨论中，我们用表示被观测的状态向量。在许多实际情况中，一般将被观测的状态向量用于状态反馈，以便产生期望的控制输入。考虑如下线性定常系统(5.27)(5.28) 假设状态向量可由如下动态方程(5.29)中的状态来近似，则该式表示状态观测器，其中称为观测器的增益矩阵。注意到状态观测器的输入为和，输出为。式（5.29）中右端最后一项包括可量测输出与估计输出之差的修正项。矩阵起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量。当此模型使用的矩阵a和b与实际系统使用的矩阵a和b之间存在差异时，由于动态模型和实际系统之间的差别，该附加修正项将减小这些影响

3、。图5.5所示为带全维状态观测器的系统方块图。图5.5 全维状态观测器方块图5.5.2 全维状态观测器的误差方程在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式（5.27）和（5.28）定义。观测器的方程由式（5.29）定义。为了得到观测器的误差方程，将式（5.27）减去式（5.29），可得(5.30) 定义与之差为误差向量，即则式（5.30）可改写为(5.31) 由式（5.31）可看出，误差向量的动态特性由矩阵的特征值决定。如果矩阵是稳定矩阵，则对任意初始误差向量，误差向量都将趋近于零。也就是说，不管和的值如何，都将收敛到。如果所选的矩阵的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快

4、，则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零 (原点)，此时将称为的渐近估计或重构。如果系统完全能观测，下面将证明可以通过选择，使得具有任意的期望特征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵，以便产生期望的矩阵。5.5.3 对偶问题全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵，使得由式（5.31）定义的误差动态方程，以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵的特征值决定）。因此，全维观测器的设计就归结为如何确定一个合适的，使得具有期望的特征值。此时，全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与5.2节讨论的极点配置相同的问题。考虑如下的线性定常系统在设计全维状态观测器时，我

5、们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统的极点配置问题。假设控制输入为 如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵k，使得反馈闭环系统的系统矩阵得到一组期望的特征值。如果,是状态观测器系统矩阵的期望特征值，则可通过取相同的作为其对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值，从而 注意到和的特征值相同，即有 比较特征多项式和观测器的系统矩阵（参见式（5.31）的特征多项式，可找出和的关系为因此，观测器问题与极点配置问题具有对偶关系，即 在下面的讨论中，我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题，考虑为其对偶系统的极点配置问题，即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵k

6、，然后利用关系式，确定出原系统的观测器增益矩阵k。5.5.4 可观测条件如前所述，对于使具有期望特征值的观测器增益矩阵的确定，其充要条件为原给定系统的对偶系统是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为的秩为n 。而这正是由式(5.27)和(5.28)定义的原系统的状态完全能观测性条件。这意味着。由式（5.27）和(5.28)定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。下面将利用上述对偶关系，介绍全维状态观测器的设计算法，包括相应的bass-gura算法、直接代入法，以及爱克曼公式。5.5.5 全维状态观测器的bass-gura算法考虑由下式定义的单输入单输出线性定常系统(

7、5.32)(5.33)式中，。假设系统是状态完全能观测的，又设系统结构如图5.5所示。在设计全维状态观测器时，若将式(5.32)、(5.33)给出的系统变换为能观测标准形，则相应的设计问题就相当方便了。考虑对偶关系，将式（5.32）和（5.33）的系统变换为能观测标准形，可按下列步骤进行，即首先定义一个变换矩阵p，使得(5.34)式中r是能观测性矩阵(5.35)且对称矩阵w由式（5.6）定义，即式中，是由式（5.32）给出的如下特征方程的系数 显然，由于假设系统是完全能观测的，所以矩阵wr的逆存在。现定义一个新的n维状态向量 (5.36)则式（5.32）和（5.33）为(5.37)(5.38)

8、式中(5.39)(5.40)(5.41)式（5.39）到（5.41）的推导见例5.7和5.8，此时式（5.37）和（5.38）即是能观测标准形。从而给定一个系统的状态方程和输出方程，如果系统是完全能观测的，并且通过采用式（5.36）的变换，将原系统的状态向量变换为新的状态向量，则可将给定系统的状态方程和输出方程变换为能观测标准形。注意，如果矩阵a已经是能观测标准形，则p = i。如前所述，选择由=(5.42)给出的状态观测器的动态方程。现定义(5.43) 将式（5.43）代入式（5.42），有(5.44) 由式（5.37）减去式（5.44），可得(5.45)定义则式（5.45）为(5.46)要

9、求误差动态方程是渐近稳定的，且以足够快的速度趋于零。因此，确定矩阵的步骤是：首先选择观测器的极点（的特征值），然后确定，使其等于期望的观测器极点。注意，可得式中由于是一个n维向量，则令(5.47) 参考式（5.41），有和特征方程为即或者(5.48)可见，每个i只与特征方程中的一个系数有关。 假设误差动态方程的期望特征方程为 (5.49)注意，期望的特征值确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较式（5.48）和(5.49)的s同幂项的系数，可得从而可得 于是，由式（5.47）得到因此(5.50)式（5.50）确定了所需的状态观测器增益矩阵。如前所述，式（5.50）也可通过其对偶问

10、题由式（5.13）得到。也就是说，考虑对偶系统的极点配置问题，并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵k。那么，状态观测器的增益矩阵可由确定（见例5.16）。一旦选择了期望的特征值（或期望的特征方程），只要系统状态完全能观测，就能设计出全维状态观测器。luenberger曾经指出，当观测器期望极点的选择，使衰减太快，即使特征值的实部太负，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频噪声分量放大，而且也存在观测器的可实现性问题 (因为衰减速度太快，则矩阵较大)，因此luenberger建议，进行观测器本身的极点配置时，只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些

11、即可。一般地，选择的期望特征值，应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快2-5倍。如前所述，全维状态观测器的方程为(5.51) 注意，迄今为止，我们假设观测器中的矩阵a和b与实际系统中的严格相同。实际上，这做不到。因此，误差动态方程不可能由式（5.46）给出，这意味着误差不可能趋于零。因此，应尽量建立观测器的准确数学模型，以使相应的误差小到令人满意的程度。5.5.6 求状态观测器增益矩阵的直接代入法与极点配置算法的情况类似，如果系统是低阶的()，可将矩阵直接代入期望的特征多项式进行计算。例如，若是一个3维向量，则观测器增益矩阵可写为 将该代入期望的特征多项式 通过使上式两端s的同次幂系

12、数相等，即可确定出、和的值。如果n =1,2或者3，其中n是状态向量的维数，则该方法十分简便（虽然该方法可应用于n = 4, 5, 6, 的情况，但计算有可能非常繁琐）。5.5.7 爱克曼公式(ackermanns formula)考虑如下的单输出线性定常系统(5.52)(5.53) 在5.2节中，我们已推导了用于式（5.52）系统极点配置的爱克曼公式，其结果已由式（5.18）给出，现重写为 对于由式（5.52）和(5.53)定义的对偶系统上述极点配置的爱克曼公式可改写为(5.54)由于状态观测器的增益矩阵可由给出，这里的由式（5.54）确定。从而(5.55)式中，是状态观测5器的期望特征多项

13、式，即这里，, , ,是期望的特征值。式（5.55）称为确定观测器增益矩阵的爱克曼公式。5.5.8 最优选择的注释参考图5.5，应当指出，作为对观测器动态方程修正的观测器增益矩阵，通过反馈信号来考虑系统中的未知因素。如果含有明显的未知因素，那么利用矩阵的反馈信号也应该比较大。然而另一方面，如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰，则输出是不可靠的。因此，由矩阵引起的的反馈信号应该比较小。在决定矩阵时，应该仔细检查包含在输出中的干扰和噪声的影响。应强调的是观测器增益矩阵依赖于期望的特征方程在许多情况中，, , ,的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作为期望的特征方程。对于每个期望的特征

14、方程，可有不同的观测器增益矩阵。在设计状态观测器时，最好在几个不同的期望特征方程的基础上决定观测器增益矩阵。 对不同的矩阵必须进行仿真验证，以评估系统的最终性能。当然，应从系统总体性能的观点来选取最好的。在许多实际问题中，最优矩阵的选取，归结为对快速响应及对干扰和噪声灵敏性之间的一种折衷。-例5.2 考虑如下的线性定常系统式中设计一个全维状态观测器。设系统结构与图5.5所示相同。又设观测器的期望特征值为 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵，为此先检验能观测性矩阵，即的秩为2。因此，该系统是完全能观测的，并且可确定期望的观测器增益矩阵。我们将用3种方法来求解该问题。解

15、方法1：采用式（5.50）来确定观测器的增益矩阵。由于该状态空间表达式已是能观测标准形，因此变换矩阵。由于给定系统的特征方程为因此观测器的期望特征方程为因此 故观测器增益矩阵可由式（5.50）求得如下 方法2：参见式（5.31）观测器的特征方程为 定义则此时特征方程为(5.56)由于期望的特征方程为比较式（5.56）和以上方程，可得即 方法3：采用式（5.55）给出的爱克曼公式。式中因此从而 当然，无论采用什么方法，所得的都是相同的。 全维状态观测器由式（5.51）给出为或者- 与极点配置的情况类似，如果系统阶数n 4，则推荐使用方法1和3，这是因为在采用方法1和3时，所有矩阵都可由计算机实现

16、，而方法2总是需要手工计算包含未知参数的特征方程。5.5.9 系统设计的分离性原理：观测器的引入对闭环系统的影响在极点配置的设计过程中，假设真实状态可用于反馈。然而实际上，真实状态可能无法量测，所以必须设计一个观测器，并且将观测到的状态用于反馈，如图5.6 观测-状态反馈控制系统图5.6所示。因此，该设计过程分为两个阶段，第一个阶段是确定反馈增益矩阵k，以产生期望的反馈闭环系统的特征方程；第二个阶段是确定观测器的增益矩阵，以产生期望的观测器特征方程。现在不采用真实状态而采用观测或重构的状态来研究对闭环反馈系统特征方程的影响。考虑如下线性定常系统且假定该系统状态完全能控且完全能观测。 对基于重构

17、状态的线性状态反馈控制 利用该控制，状态方程为(5.57) 将真实状态和重构状态之差定义为误差，即将误差向量代入式（5.57），得（5.58） 注意，观测器的误差方程由式（5.31）给出，重写为（5.59） 将式（5.58）和(5.59)合并，可得(5.60) 式（5.60）描述了带观测器的状态反馈控制系统的动态特性。该系统的特征方程为或注意，观测-状态反馈控制系统的闭环极点由极点配置单独设计产生的极点和由观测器单独设计产生的极点两部分组成。这意味着，极点配置和观测器设计是相互独立的，它们可分别进行设计，并合并为观测-状态反馈控制系统。通常称这个性质为系统设计的分离性原理，这就给闭环系统的设计

18、带来了极大的方便。注意，如果系统的阶次为n，则观测器的阶次也是n（如果采用全维状态观测器），因此整个闭环系统的阶次或特征方程为2n阶。由状态反馈（极点配置）选择所产生的期望闭环极点，应使系统满足性能要求。观测器极点的选取通常使得观测器响应比系统的响应快得多。一个经验法则是选择观测器的响应至少比系统的响应快2-5倍。因为观测器通常不是硬件结构，而是计算软件，所以它可以加快响应速度，使重构状态迅速收敛到真实状态，观测器的最大响应速度通常只受到控制系统中的噪声和灵敏性的限制。注意，由于在极点配置中，观测器极点位于期望的闭环极点的左边，所以后者在响应中起主导作用。4.5.10 控制器-观测器的传递函数

19、 考虑如下线性定常系统且假设该系统状态完全能观测，但不能直接量测。又设采用观测-状态反馈控制为(5.61)如图5.6所示，则观测器方程为(5.62)对式(5.61)取拉普拉斯变换，则有(5.63) 由式(5.62)定义的观测器方程的拉普拉斯变换为(5.64) 设初始观测状态为零，即。将式（5.63）代入式（5.64），并对(s)求解，可得（5.65）将上述方程代入式（5.63），可得这里，和均为纯量。式（5.65）给出了和之间的传递函数。图5.7为该系统的方块图。注意，控制器的传递函数为 (5.66) 因此，通常称此传递函数为控制器-观测器传递函数。图5.7 具有控制器-观测器系统的方块图-例

20、5.3 考虑下列线性定常系统的调节器设计问题。(5.67)(5.68)式中 假设采用极点配置方法来设计该系统，并使其闭环极点为(i = 1, 2)，其中 。在此情况下，可得状态反馈增益矩阵k为采用该状态反馈增益矩阵k，可得控制输入u为假设采用观测-状态反馈控制替代真实状态反馈控制，即式中，观测器的期望特征值选择为现求观测器增益矩阵。并画出观测-状态反馈控制系统的方块图。再求该控制-观测器的传递函数，并画出系统的方块图。解 对于式（5.67）给定的系统，其特征多项式为因此该观测器的期望特征方程为因此 为了确定观测器增益矩阵，利用式（5.50），则有式中因此(5.69)式（5.69）给出了观测器增

21、益矩阵。观测器的方程由式（5.51）定义，即(5.70) 由于所以，式（5.70）为或 具有观测-状态反馈的系统方块图参见图5.6所示。 参照式（5.66），控制器-观测器的传递函数为该系统的方块图参见图5.7所示。设计的观测-状态反馈控制系统的动态特性由下列状态空间表达式描述。 给定线性定常系统为 全维状态观测器为 作为整体而言，该系统是4阶的，其系统特征方程为 该特征方程也可由图4.7所示的系统方块图得到。由于闭环传递函数为则特征方程为 事实上，该观测-状态反馈控制系统的特征方程对于状态空间表达式和传递函数表达式是相同的。5.5.11 最小阶观测器 迄今为止，我们所讨论的观测器都是重构所有

22、的系统状态变量。实际上，有一些状态变量可以准确量测的。对这些可准确量测的状态变量就不必估计了。假设状态向量x为n维向量，输出向量y为可量测的m维向量。由于m个输出变量是状态变量的线性组合，所以m个状态变量就不必进行估计，只需估计n-m个状态变量即可，因此，该降维观测器为n-m维观测器。这样的n-m维观测器就是最小阶观测器。图4.8所示为具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统的方块图。图5.8 具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统如果输出变量的量测中含有严重的噪声，且相对而言较不准确，那么利用全维观测器可以得到更好的系统性能。为了介绍最小阶观测器的基本概念，又不涉及过于复杂的数学推导，我们

23、将介绍输出为纯量（即m = 1）的情况，并推导最小阶观测器的状态方程。考虑如下线性定常系统式中，状态向量可划分为(纯量)和(n-1维向量)两部分。这里，状态变量等于输出y，因而可直接量测，而是状态向量的不可量测部分。于是，经过划分的状态方程和输出方程为(5.71)(5.72)式中， 。 由式（5.71），状态可量测部分的状态方程为或(5.73)式（5.73）左端各项是可量测的。式（5.73）可看作输出方程。在设计最小阶观测器时，可认为式（5.73）左端是已知量。因此，式（5.73）可将状态的可量测和不可量测部分联系起来。由式（5.71），对于状态的不能量测部分(5.74)注意，和这两项是已知量

24、，式（5.74）为状态的不可量测部分的状态方程。下面将介绍设计最小阶观测器的一种方法。如果采用全维状态观测器的设计方法，则最小阶观测器的设计步骤可以简化。现比较全维观测器的状态空间表达式和最小阶观测器的状态空间表达式。 全维观测器的状态方程为最小阶观测器的状态方程为全维观测器的输出方程为 最小阶观测器的输出方程为因此，最小阶观测器的设计步骤如下：首先，注意到全维观测器由式（5.51）给出，将其重写为(5.75)然后，将表5.1所做的替换代入式（5.75），可得(5.76)式中，状态观测器增益矩阵是(n-1)1维矩阵。在式（5.76）中，注意到为估计，需对微分，这是不希望的，因此有必要修改式（5

25、.76）。表5.1 给出式(5.76)的最小阶状态观测器方程所做的替换全维状态观测器最小阶状态观测器aabbbuab axa+bbuycaab (n1维矩阵) (n-1)1维矩阵 注意到xa = y，将式（5.76）重写如下，可得 (5.77) 定义及 (5.78)则式（5.77）成为 (5.79)从而式（5.79）和（5.78）一起确定了实际的最小阶观测器。下面推导观测器的误差方程。利用式（5.73），将式（5.76）改写为(5.80) 用式（5.80）减去式（5.74），可得(5.81) 定义于是，式（5.81）为(5.82)这就是最小阶观测器的误差方程。注意，e是（n-1）维向量。如果矩

26、阵的秩为n-1（这是用于最小阶观测器的状态完全能观测性条件），则仿照在全维观测器设计中提出的方法，可选定最小阶观测器的误差状态方程。 由式（5.82）得到的最小阶观测器的期望特征方程为(5.83)式中，是最小阶观测器的期望特征值。观测器的增益矩阵确定如下：(1) 选择最小阶观测的期望特征值（即将特征方程（5.83）的根置于所期望的位置）;(2) 采用在全维观测器设计中提出并经过适当修改的方法。例如，若采用由式（5.50）给出的确定矩阵的公式，则应将其修改为(5.84)式中的是(n -1)1维矩阵，并且这里，均为(n -1) (n -1)维矩阵。注意，是如下特征方程的系数： 同样，如果采用式（5

27、.55）给出的爱克曼公式，则应将其修改为 (5.85)式中-例5.4 考虑系统式中假设输出可准确量测，因此状态变量(等于)不需要估计。试设计一个最小阶观测器（显然该最小阶观测器是二阶的）。此外，假设最小阶观测器的期望特征值为 参照式（5.83），该最小阶观测器的特征方程为下面采用由式（5.85）给出的爱克曼公式（例5.20介绍用式（5.84）来确定）。(5.86)式中由于可得式（5.86）成为参照式（5.78）和(5.79)，最小阶观测器的方程为 (5.87)式中注意到 因此，式（5.87）的最小阶观测器为或式中或 如果采用观测-状态反馈，则控制输入为式中的k为状态反馈增益矩阵（矩阵k不是在本

28、例中确定的）。-5.5.12 具有最小阶状态观测器的观测-状态反馈控制系统对于具有全维状态观测器的观测-状态反馈控制系统，我们已经指出，其闭环极点包括由极点配置设计单独给出的极点，加上由观测器设计单独给出的极点。因此，极点配置设计和全维观测器设计是相互独立的。对于具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统，可运用同样的结论。该系统的特征方程可推导为(5.88)详细情况请参见例5.13。具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统的闭环极点，包括由极点配置的闭环极点（矩阵a-bk的特征值）和由最小阶观测器的闭环极点（矩阵）两部分组成。因此，极点配置设计和最小阶观测器设计是互相独立的。这也就是满足前述所

29、谓的极点配置与观测器设计的分离性原理。5.6 利用matlab设计状态观测器 本节将介绍用matlab设计状态观测器的若干例子。我们将举例说明全维状态观测器和最小阶状态观测器设计的matlab方法。-例5.5 考虑一个调节器系统的设计。给定线性定常系统为 式中且闭环极点为，其中 期望用观测-状态反馈控制，而不是用真实的状态反馈控制。观测器的期望特征值为试采用matlab确定出相应的状态反馈增益矩阵k和观测器增益矩阵。解 对于题中给定的系统，可利用如下matlab program 5.5来确定状态反馈增益矩阵k和观测器增益矩阵。matlab program 5.5% pole placement

30、 and design of observer -% * design of a control system using pole-placement% technique and state observer. solve pole-placement% problem *% * enter matrices a,b,c,and d *a=0 1;20.6 0;b=0;1c=1 0;d=0;% * check the rank of the controllability matrix q *q=b a*b;rank(q)ans= 2% * since the rank of the co

31、ntrollability matrix q is 2,% arbitrary pole placement is possible *% * enter the desired characteristic polynomial by% defining the following matrix j and computingpoly(j) *j=-1.8+2.4*i 0;0 -1.8-2.4*i;poly(j)ans= 1.000 3.6000 9.0000% * enter characteristic polynomial phi *phi=polyvalm(poly(j),a);%

32、* state feedback gain matrix k can be given by *k=0 1*inv(q)*phik=29.60003.6000% * the following program determines the observer matrix ke *% * enter the observability matrix rt and check its rank *rt=c a*c;rank(rt)ans=2% * since the rank of the observability matrix is 2, design of% the observer is

33、possible *% * enter the desired characteristic polynomial by defining % the following matrix j0 and entering statement poly(jo) *jo=-8 0;0 -8;poly(jo)ans= 1 16 64% * enter characteristic polynomial ph * ph=polyvalm(ply(jo),a);% * the observer gain matrix ke is obtained from *ke=ph*(inv(rt)*0;1ke= 16

34、.0000 84.60000求出的状态反馈增益矩阵k为 观测器增益矩阵为该观测-状态反馈控制系统是4阶的，其特征方程为 通过将期望的闭环极点和期望的观测器极点代入上式，可得 这个结果很容易通过matlab得到，如matlab program 5.6所示(matlab program 5.6是matlab program 5.5的继续。矩阵a、b、c、k和已在matlab program 5.5中给定)。matlab program 5.6% - characteristic polynomial -% * the characteristic polynomial for the design

35、ed system% is given by |si-a+bk|si-a+kec| *% * this characteristic polynomial can be obtained by use of % eigenvalues of a-bk and a-kec as follows *x=eig(a-b*k);eig(a-ke*c)x= -1.8000+2.4000i -1.8000-2.4000i -8.0000 -8.0000poly(x)ans=1.0000 19.6000 130.6000 374.4000 576.0000-例5.6 考虑与例5.4讨论的最小阶观测器设计相同

36、的问题。该给定线性定常系统为式中 假定状态变量(等于)是可量测的，但未必是能观测的。试确定最小阶观测器的增益矩阵。期望的特征值为试利用matlab方法求解。解 下面介绍该问题的两个matlab程序。matlab program 5.7采用变换矩阵p的方法，matlab porgram 5.8采用爱克曼公式。matlab program 5.7% - design of minimum-order observer -% * this program uses transformation matrix p *% * enter matrices a and b *a=0 1 0;0 0 1;-

37、6 -11 -6;b=0;0;1;% * enter matrices aaa,aab,aba,abb,ba,and bb. note% that a=aaa aab;aba abb and b=ba;bb *aaa=0;aab=1 0;aba=0;-6;abb=0 1;-11 -6;ba=0;bb=0;1;% * determine al and a2 of the characteristic polynomial % for the unobserved portion of the system *p=poly(abb)p= 1 6 11a1=p(2);a2=p(3);% * enter the reduced observability matrix rt and matrix w *rt=aab abb*aab;w=a1 1;1 0;% * enter the desired characteristic polynomial by defining % the following matrix j an