6.上课用的一阶、二阶电路

1、零输入响应零输入响应重点掌握重点掌握第九章第九章 电路的时域分析电路的时域分析零状态响应零状态响应三要素法三要素法全响应全响应k未动作前未动作前i = 0 , uc = 0i = 0 , uc= us一一. 动态电路动态电路i+ucusrc9-1 时域分析的基础知识时域分析的基础知识稳态分析稳态分析k+ucusrci t = 0k接通电源后很长时间接通电源后很长时间k+ucusrci初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态t1usuct0?a. 动态电路：动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时需要经历一个变化过程发生改变时需要经历一个变化过程才能达

2、到新的稳态。才能达到新的稳态。上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。irusb. 动态电路与电阻电路的比较：动态电路与电阻电路的比较：动态电路换路后产生过渡过程动态电路换路后产生过渡过程 ，描述电路，描述电路的方程为微分方程。的方程为微分方程。电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程。电路的方程为代数方程。s sc cc cu uu udtdtdudurcrc k+ucusrci+-usr1r2r3二二. 过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因1. 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 l 、c能量的储

3、存和释放都需要一定的时间来完成能量的储存和释放都需要一定的时间来完成twp 2. 电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化支路接入或断开支路接入或断开， 参数变化参数变化换路换路三三. 稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳稳 态态换路发生换路发生很长时间很长时间后重新达到稳态后重新达到稳态换路换路刚刚发生后的发生后的整个变化过程整个变化过程微分方程的特解微分方程的特解动动 态态微分方程的一般解微分方程的一般解恒定或周期性激励恒定或周期性激励任意激励任意激励四四. 一阶电路一阶电路换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。五五. 动态电路的分析

4、方法动态电路的分析方法001111 tuiadtdiadtidadtidannnnnn1 1、根据、根据kvl、kcl及元件的及元件的 vcr 建立电路建立电路方程，该方程为以时间为自变量的线性常方程，该方程为以时间为自变量的线性常微分方程。微分方程。2 2、求出微分方程的解，从而得到所求变量。、求出微分方程的解，从而得到所求变量。一一. t = 0+与与t = 0- 的概念的概念换路在换路在 t=0时刻进行时刻进行0- 换路前一瞬间换路前一瞬间 0+ 换路后一瞬间换路后一瞬间电路中的过渡过程与换路定律电路中的过渡过程与换路定律电路中的电路中的u ，i 及其各阶导数在及其各阶导数在t = 0+

5、时的值。时的值。0-0+0tf(t)(lim)0(00t tf ff ft tt t )(lim)0(00t tf ff ft tt t 初始条件：初始条件：二二. 换路定律换路定律 d)(1)( t tc ci ic ct tu u d)(1d)(100 t ti ic ci ic c d)(1)0(0 t tc ci ic cu uq =c uct = 0+时刻时刻 d)(1)0()0(00 i ic cu uu uc cc c d)()0()(0 t ti iq qt tq q当当i( )为有限值时为有限值时iucc+-q (0+) = q (0-)uc (0+) = uc (0-)电荷

6、守恒电荷守恒结论结论 换路瞬间，若电容的电流保持为有限值，换路瞬间，若电容的电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。1. 00)()0()0( d di iq qq q 000)( d di it ti il lu ul ldd d)(1)( t tl lu ul lt ti i d) )(1d)(1)(00 t tl lu ul lu ul lt ti i d du ul li it tl l)(1)0(0 当当u为有限值时为有限值时 d)()0()(0 t tu ut tl llili l (0+)= l (0-)il(0+)= il(0

7、-)磁链守恒磁链守恒结论结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。2.iul+-l l (0+)= l (0-)il(0+)= il(0-)qc (0+) = qc (0-)uc (0+) = uc (0-)换路定律：换路定律：换路定律换路定律成立的条件成立的条件注意注意:换路瞬间，若电感电压保持为有换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）

8、换路限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。前后保持不变。三三. 电路初始值的确定电路初始值的确定(2) 由换路定律由换路定律 uc (0+) = uc (0-)=8v+-10viic+8v-10k0+等效电路等效电路ma2 . 010810)0( c ci i(1) 由由0-电路求电路求 uc(0-)或或il(0-)+-10v+uc-10k40kuc(0-)=8v(3) 由由0+等效电路求等效电路求 ic(0+)ic(0-)=0 ic(0+)例例1+-10viic+uc-k10k40k求求 ic(0+)0)0( 0)0( l ll lu uu u il(0+)= il(0-) =2av v

9、u ul l842)0( 例例 2t = 0时闭合开关时闭合开关k , 求求 ul(0+)。il+ul-l10vk1 4 由由0+电路求电路求 ul(0+)：+ul-10v1 4 2a先求先求a ai il l24110)0( 由换路定律由换路定律:求初始值的步骤求初始值的步骤:1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求出由换路前电路（一般为稳定状态）求出uc(0-) 和和 il(0-)。2. 由换路定律得由换路定律得 uc(0+) 和和 il(0+)。3. 画画0+等效电路。等效电路。4. 由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b.若若uc(0+) 或或 il(0+) 不为零，

10、不为零，电容电容（电感电感）用用电压源电压源（电流源电流源）替代。）替代。电压源电压源（电流源电流源）取）取0+时刻值，其方向同时刻值，其方向同原假定的电容电压、原假定的电容电压、 电感电流方向。电感电流方向。电容电容（电感电感）相当于）相当于开路开路（短路短路）。）。a. 若若uc(0+) 或或 il(0+) 为零，为零，电容电容（电感电感）用）用短路短路（开路开路）替代。）替代。il(0+) = il(0-) = isuc(0+) = uc(0-) = risul(0+)= ris求求 ic(0+) , ul(0+)0+电路电路ul+icrisr is+0)0( r rr ri ii ii

11、 is ss sc c例例3k(t=0)+ +ulilc+ +uclrisic+ +ulilc+ +ucrisic0-电路电路1.求求 uc(0-)和和 il(0-)il(0-) = isuc(0-) = ris2.求求 uc(0+)和和 il(0+)3.求求 ic(0+)和和ul(0+)9-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：零输入响应：激励激励( (独立电源独立电源) )为零，仅由储能元件为零，仅由储能元件初始储能作用于电路产生的响应初始储能作用于电路产生的响应。一、一、 rc放电电路放电电路已知已知 uc (0-)=u0tucicdd ik(t=0)+urc+ucr0

12、)0(0ddu uu uu ut tu ur rc cc cc cc c ur= ri0 cruu一阶微分方程一阶微分方程ik(t=0)+urc+ucrrcp1 特征根特征根trce1 a 设设ptceua 0 ptptaercape特征方程特征方程rcp+1=0得得ptceua 则则0dd ptptaetaerc0)0(0ddu uu uu ut tu ur rc cc cc cc c uc (0+)=uc(0-)=u0a=u0令令 =rc , 称称 为一阶电路的为一阶电路的时间常数。时间常数。001 )0(u uaeaeu ut tt trcrcc c tu0uc0000 t te ei

13、ie er ru ur ru ui ir rc ct tr rc ct tc c0 0 t te eu uu ur rc ct tc ct trcrcc caeaeu u1 秒秒伏伏安秒安秒欧欧伏伏库库欧欧法法欧欧 rcrc i0ti0电压、电流以同一指数规律衰减，电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于衰减快慢取决于rc乘积。乘积。ik(t=0)+urc+ucr时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = r c 大大 过渡过程时间的过渡过程时间的长长 小小 过渡过程时间的过渡过程时间的短短电压初值一定：电压初值一定：r 大大（ c不变）不变

14、） i=u/r 放电电流小放电电流小放电时间放电时间长长u0tuc0 小小 大大c 大大（r不变）不变） w=0.5cu2 储能大储能大 11 r rc cp p固有频率固有频率u0 0.368 u0 0.135 u0 0.05 u0 0.007 u0 工程上认为工程上认为 , 经过经过 3 - 5 , 过渡过程结束。过渡过程结束。 ：电容电压：电容电压衰减到衰减到原来电压原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。某点切距的长度某点切距的长度 t2-t1 = 1110011121)()(tan)(t tt tt tt tc cc cc ce eu ue eu udtdtt tdudut tu

15、ut tu ut tt ttuc0 t1t2t0 2 3 5 tceuu 0 u0 u0 e -1 u0 e -2 u0 e -3 u0 e -5 )(368. 0)(12t tu ut tu uc cc c 能量关系：能量关系：rdtiwr 02c不断释放能量被不断释放能量被r吸收吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设uc(0+)=u0电容放出能量电容放出能量 2021cu电阻吸收（消耗）能量电阻吸收（消耗）能量rdterurct2 00)( 2021cu ucr+-cdterurct2 020 02 20| )2(rctercru二二. rl电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特

16、征方程 lp+r=0lr 特征根特征根 p =由初始值由初始值 i(0+)= i0 定积分常数定积分常数aa= i(0+)= i0i (0-) =01irrus 00dd tritilptaeti )(0)(00 teieititlrpt得得i (0+) =ik(t=0)usl+ulrr1tiluldd 令令 = l/r , 称为一阶称为一阶rl电路时间常数电路时间常数tlreii 0 0/ 0 terirlt0/ 0 t te ei ir rl lt ti0一定：一定： l大大 起始能量大起始能量大 r小小 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大-ri0ulti0ti0秒秒欧

17、欧安安秒秒伏伏欧欧安安韦韦欧欧亨亨 rl il (0+) = il(0-) 1 auv (0+)= - 10000v 造成造成v损坏。损坏。例例ilk(t=0)+uvl=4hr=10 vrv10k 10vt=0时时 , 打开开关打开开关k，求，求uv。现象现象 ：电压表坏了电压表坏了 / tlei 电压表量程：电压表量程：50vs sv vr rr rl l4104100004 0100002500 teirutlvv分析分析小结：小结：4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。零输入线性。1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值一阶电

18、路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应引起的响应 , 都是由初始值衰减为零的指数都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 rc电路电路 = rc , rl电路电路 = l/r3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 t te ey yt ty y )0()(时间常数时间常数 的简便计算：的简便计算： = l / r等等 = l / (r1/ r2 )例例1例例2r等等c = r等等c+ +- -r1r2lr1r2l零状态响应零状态响应：储能元件初始能量为零，电路在输入：储能元件初始能量为零，电

19、路在输入激励作用下产生的响应。激励作用下产生的响应。sccuuturc dd列方程：列方程：ik(t=0)us+urc+ucruc (0-)=09-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为： c cc cc cu uu uu u齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解非齐次方程的特解一一. rc电路的零状态响应电路的零状态响应s sc cu uu ur ri i 强制分量强制分量与输入激励的变化规律有关，为电与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解，此时强制分量称为路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量。稳态分量。rctca

20、eu 变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定齐次方程齐次方程 的通解的通解0dd ccuturc：特解（强制分量）特解（强制分量）cu = uscu ：通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）cu sccuuturc ddik(t=0)us+urc+ucruc (0-)=0rctcaeu 全解全解uc (0+)=a+us= 0 a= us由起始条件由起始条件 uc (0+)=0 定定积分常数积分常数 a= uscu rctscccaeuuuu sccuuturc ddik(t=0)us+urc+ucruc (0-)=0)0( )1( teueuuurctsrcts

21、sc)0( )1( teueuuurctsrctssc强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)rctserutuci ddc-usucucustirus0tuc0能量关系能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。储存在电容中。221scu 221scu电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：200dds sr rc ct ts ss ss sc cu ut te er ru uu ut ti iu u 电阻消耗电阻消耗trrutrircsted)(d2002 rc+-us二二. rl电路的零

22、状态响应电路的零状态响应slluirtdidl )1(tlrslerui tlrslleutilu ddil(0-)=0求求: 电感电流电感电流il(t)已知已知llliii tulustilrus00r ru ui is sl l a0)0(tlrsaeru ilk(t=0)us+url+ulr9-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应一一. 一阶电路的全响应及其两种分解方式一阶电路的全响应及其两种分解方式ik(t=0)us+urc+ucrsccuuturc dd稳态解稳态解 uc = us

23、解答为解答为 uc(t) = uc + ucuc (0-)=u0非齐次方程非齐次方程 =rc tsceuu a 暂态解暂态解 tceu a1、全响应、全响应uc (0+)=a+us=u0 a=u0 us由起始值定由起始值定a0)(0 teuuuutssc 强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)0)(0 teuuuutssc uc-usu0暂态解暂态解ucus稳态解稳态解u0uc全解全解tuc0(1). 全响应全响应 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)2、全响应的两种分解方式、全响应的两种分解方式ik(t=0)us+urc+ucruc

24、 (0-)=u0ik(t=0)us+urc+ ucr=uc (0-)=0+uc (0-)=u0c+ ucik(t=0)+urr(2). 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0()1(0 teueuuttsc 等效等效+-ucuc (0-)=u0ic+-u0ucic)0()1(0 teueuuttsc 零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0us零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应u0(3).两种分解方式的比较两种分解方式的比较)0()1(0 teueuuttsc 零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应

25、物理概念清楚物理概念清楚便于叠加计算便于叠加计算 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应全响应全响应 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解) t ts ss sc ce eu uu uu uu u )(0稳态解稳态解暂态解暂态解(t 0)二二. 三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路 t te ef ff ff ft tf f )()0()()( 时间常数时间常数起始值起始值稳态解稳态解三要素三要素 )0( )( ff一阶电路的数学模型是一阶微分方程：一阶电路的数学模型是一阶微分方程： teftf a)()(令令 t = 0+a)()0

26、( f ff f)()0( f ff fa acbftdfda 其解答一般形式为：其解答一般形式为：1a2 例例11 3f+-ucv2)0()0( c cc cu uu uv667. 01122)( cus2332 c cr r等等 033. 1667. 0)667. 02(667. 05 . 05 . 0 teeuttc已知：已知： t=0时合开关时合开关 求求 换路后的换路后的uc(t) 。解：解：tuc2(v)0.6670 t tc cc cc cc ce eu uu uu ut tu u )()0()()(例例2i10v1hk1(t=0)k2(t=0.2s)3 2 已知：电感无初始储能

27、已知：电感无初始储能 t = 0 时合时合 k1 , t =0.2s时合时合k2 求两次换路后的电感电流求两次换路后的电感电流i(t)。解：解： 0 t 0.2sa2)(s2 . 00)0(1 i ii i a ai ii i5)(5 . 026. 1)2 . 0(2 a ae ei i26. 122)2 . 0(2 . 05 a74. 35)()2 . 0(2 teti)2 . 0(274. 35 teitei522 (0 t 0.2)( t 0.2)it(s)0.25(a)1.2629.6 一阶电路的矩形脉冲响应一阶电路的矩形脉冲响应1. rc电路在单个脉冲作用下的响应电路在单个脉冲作用下

28、的响应rcusuruci10t/2tus)2/0(1ttus0 su02/ttt1. 0tt/2r rc ct tc cc cc cc ce eu uu uu ut tu u )()0()()(2222vetuurctcc2/121)2/()0(v vu uc c0)(2 rc 2/,)1 ()(2/2/2ttveeturcttrctc2/,)()(22ttvtutucr2/,1)(2/2/2ttaeretircttrctuc(t )ur(t )t0(a) t/2, uc为输出为输出输出近似为输入的积分输出近似为输入的积分t0ucrcuu sruu tccidcuu01)0( trcdrucu

29、01)0( tscdurcu01)0( rcusuruci2. 脉冲序列分析脉冲序列分析t0(a) t /2rcusuruciu1u2ucur)1(2rctseu rctrctseeu22)1( 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应重点掌握重点掌握1. 1. 掌握求解二阶电路的方法、步骤。掌握求解二阶电路的方法、步骤。2. 2. 了解二阶电路在不同参数条件下，电路的不了解二阶电路在不同参数条件下，电路的不同状态：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼；振荡同状态：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼；振荡与非振荡。与非振荡。学习方法学习方法9. .9 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 0 cluuri0dd

30、dd22 cccuturctulc012 rcplcp特征方程为特征方程为uc(0-)=u0 i(0-)=0已知已知求求 uc(t) , i(t) , ul(t) .tucicdd rlc+ +- -iucul+ +- -(t=0)2c2ddddtulctilul 以电感电流为变量：以电感电流为变量：02itirctilcdddd以电容电压为变量：以电容电压为变量：p有三种情况，对应零输入响应的三种情况有三种情况，对应零输入响应的三种情况二二个个不不等等负负实实根根 2clr 二二个个相相等等负负实实根根 2clr 二二个个共共轭轭复复根根 2clr 过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼0

31、12 rcplcp特征方程为特征方程为lclccrrcp24222, 1 lclrlr1)2(22 不等的负实根不等的负实根一一 , 2 . 21ppclr tptpceeu2121aa 0210aa)0(u uu uu uc c 0aa0)0()0(dd2211 p pp pc ci it tu uc c0121201221aaupppuppp )(2112120tptpcepepppuu rlc+ +- -iucul+ +- -(t=0)(2112120tptpcepepppuu tuc设设 |p2| |p1|1202ppup |p2|大大1201ppup |p1|小小u0uc)()( )

32、()(21211202121120tptptptpceepplueppeppppcudtduci )()(2121120tptplepepppudtdilu 2tmultmitu0uc)(2112120tptpcepepppuu lcpp121 t=0+ , i=0t = tm 时时i 最大最大0 t 0t tm , i 减小减小, ul 2tm ul 衰减加快衰减加快t0 i0t= ，ul=02tmultmitu0ucrlc+ +- -iucul+ +- -(t=0)t= , i=0由由 ul= 0 可计算可计算 tm02121 tptpepept tp pp pt tp pt tp pe

33、ee ee ep pp p)(2121221)( 1221lnpppptm 由由 dul / dt 可确定可确定ul为极小值的时间为极小值的时间 t0212221 t tp pt tp pe ep pe ep ptpptptpeeepp)(211212 m mt tp pp pp pp pt t2)ln(12221 )()(2121120tptplepepppuu 能量转换关系能量转换关系0 t tm uc减小减小 ，i 减小。减小。rlc+ +- -rlc+ +- -非振荡放电非振荡放电 过阻尼过阻尼tu0uctmi02tmul 2 .clr 二二特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根lclcl