第5课二次根式及其运算

1、1二次根式的有关概念：二次根式的有关概念： (1)二次根式：式子二次根式：式子 a(a0)叫做二次根式叫做二次根式 (2)最简二次根式需满足两个条件：最简二次根式需满足两个条件： 被开方数被开方数不含分母不含分母 被开方数中被开方数中不含开得尽方不含开得尽方的因数或因式的因数或因式 3二次根式的运算：二次根式的运算： 二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非 负数负数 (2) a2|a| a（a0），），0（a0），），a（a1 Dx1 【答案】【答案】 B 2(2015扬州扬州)下列二次根式中，是最简二次根式的是下列二次根式中，是最简二

2、次根式的是( ) A 30 B 12 C 8 D12 【答案】【答案】 A 3(2015自贡自贡)若两个连续整数若两个连续整数 x，y 满足满足 x 510），），0（a0），），a（a0）. 2二次根式乘除的结果要化成最简二次根式或整式二次根式乘除的结果要化成最简二次根式或整式 3二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式 【典例【典例 2】 (2014黔南州黔南州)实数实数 a 在数轴上对应的点的位置如图在数轴上对应的点的位置如图51 所示，则化简所示，则化简 （a1）2a 图图 51 【解析】【解析】 由实数由实数 a 在数轴上对应的点的位置可得在数

3、轴上对应的点的位置可得2a1 根据二次根式的性质，根据二次根式的性质， 可化简二次根式可化简二次根式 （a1）2|a1|1a， 原式原式1aa1 【答案】【答案】 1 【类题演练【类题演练 2】 实数实数 a，b 在数轴上对应的点的位置如图在数轴上对应的点的位置如图 52所示：所示： 图图 52 化简：化简： a2 b2 （ab）2 【解析】【解析】 由实数由实数 a，b 在数轴上对应的点的位置，得在数轴上对应的点的位置，得 1a0，0b1 根据二次根式的性质，得根据二次根式的性质，得 原式原式ab(ba)abba2b 题型三二次根式的混合运算题型三二次根式的混合运算二次根式混合运算是把若干个

4、知识点综合在一起，计二次根式混合运算是把若干个知识点综合在一起，计算时要认真仔细可以适当改变运算顺序，使运算简便算时要认真仔细可以适当改变运算顺序，使运算简便 【典例【典例 3】 (2014台州台州)计算：计算：|2 31|( 21)0 131 【解析】【解析】 原式原式2 311 33 3 【类题演练【类题演练 3】 计算：计算： (1)(3 21)(13 2)(2 21)2 (2)( 103)2015( 103)2014 【解析】【解析】 (1)原式原式(3 2)21(2 2)24 21 18184 2184 2 (2)原式原式( 103)2014( 103)2014( 103) ( 10

5、3)( 103)2014( 103) ( 10)2322014( 103) (109)2014( 103) 1( 103) 103 题型四二次根式运算中的技巧题型四二次根式运算中的技巧充分利用充分利用 a中的隐含条件中的隐含条件 a0，化简，化简 a2时应注意时应注意 a的正负性， 熟练进行公式变形可以使运算简便， 如的正负性， 熟练进行公式变形可以使运算简便， 如 x1x2 x1x24，x2xyy2(xy)2xy 等等 【典例【典例 4】 (1)已知已知 x2 3，y2 3，求，求 x2xyy2的值的值 (2)已知已知 x1x3，求，求 x1x的值的值 【解析】【解析】 (1)x2 3，y2

6、 3， xy(2 3)(2 3)4，xy(2 3)(2 3)1， x2xyy2(xy)2xy42115 (2) x1x2 x1x24(3)245， x1x 5 【类题演练【类题演练 4】 (2014襄阳襄阳)已知已知 x1 2，y1 2，求求 x2y2xy2x2y 的值的值 技技 法法 联联 通通1 a(a0)表示非负数表示非负数 a 的算术平方根，是一个非负数，的算术平方根，是一个非负数，所以所以 a具有双重非负性，算术平方根的非负性主要用具有双重非负性，算术平方根的非负性主要用于两方面：于两方面：(1)若若 n 个非负数的和为零，则每一个非负个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零；数都等

7、于零；(2)某些二次根式的题目中隐含着某些二次根式的题目中隐含着“a0”这个条件，做题时要善于发现，巧妙求解这个条件，做题时要善于发现，巧妙求解 2求求 a2时，注意确定时，注意确定 a 的大小，当问题中由已知条件不的大小，当问题中由已知条件不能直接判定能直接判定 a 的大小时，就要分类讨论的大小时，就要分类讨论 【典例【典例 1】 化简：化简： a210a25( 3a)2 【错解】【错解】 原式原式 （a5）2( 3a)2 a5(3a) a53a2a8 易错点易错点1二次根式二次根式 中中a的取值范围的取值范围【析错】【析错】 上述解答错误地认为上述解答错误地认为 a2a，忽视了，忽视了 a

8、2a 的条的条件是件是 a0，当，当 a0 时，时， a2a并且在解题时忽略了并且在解题时忽略了 a所隐含的取值范围：所隐含的取值范围： 3a有意义的条件是有意义的条件是 3a0，即，即a3 【纠错】【纠错】 由由 3a有意义的条件，得有意义的条件，得 3a0，即，即 a3 原式原式 （a5）2( 3a)2 |a5|(3a) 5a3a2 名师指津名师指津 在运用二次根式的性质在运用二次根式的性质( a)2a(a0)和和 a2|a| a（a0），），a（a0）时，一定不能忽略时，一定不能忽略 a 的取值范围以及化的取值范围以及化简结果的非负性简结果的非负性 【典例【典例 2】 下列二次根式中，是

9、最简二次根式的是下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A 0.2b B 12a12b C x2y2 D 5ab2 【错解】【错解】 A 易错点易错点2最简二次根式最简二次根式【析错】【析错】 最简二次根式满足的条件应是：最简二次根式满足的条件应是：能开方的因式开尽能开方的因式开尽方；方；根号中不含分母根号中不含分母A 选项选项 0.2b中的中的 0.215，所以根号，所以根号中其实还含有分母中其实还含有分母 【纠错】【纠错】 选选 C，理由：选项，理由：选项 A 中，中， 0.2b15b5b5；选项；选项B 中，中， 12a12b2 3a3b；选项；选项 C 中，中， x2y2既不含有既不

10、含有分母也不含有能开方的因式；选项分母也不含有能开方的因式；选项 D 中，中， 5ab2|b| 5a故故选选 C 名师指津名师指津 最简二次根式成立的条件缺一不可，而二次根式在最简二次根式成立的条件缺一不可，而二次根式在表达形式上，容易导致认识错误，例如表达形式上，容易导致认识错误，例如 0.2b和和 x2y2，会误，会误以为前者不含分母、后者含有能开方的因式应注意对数学以为前者不含分母、后者含有能开方的因式应注意对数学概念的理解：小数可以转化成分数，因式和项有区别概念的理解：小数可以转化成分数，因式和项有区别 【典例【典例 3】 已知已知 a12 3， 求， 求a21a1a22a1a2a的值

11、的值 【错解】【错解】 原式原式（a1）（）（a1）（a1）（a1）2a（a1） a1a1a（a1）a11a 当当 a12 3时，时， 原式原式12 31(2 3)12 3 易错点易错点3二次根式的性质二次根式的性质a2|a|【析错】【析错】 由已知得由已知得 a12 32 31， a22a1 （a1）2|a1|1a，而不是，而不是 a1 【纠错】【纠错】 a12 32 31，a10，ab0，ab0，得，得 a0，b0 abab中，被开方数应是非负数，故中，被开方数应是非负数，故 a，b 不能作为被开方不能作为被开方数，故错误数，故错误 abbaabba1，故正确，故正确 abab abba b2， b0， b2|b|b， 故正确， 故正确 故选故选 B 3若若 k 90k1(k 是整数是整数)，则，则 k ( ) A6 B7 C8 D9 【答案】【答案】 D 【解析】【解析】 8190100， 81 90 100，即，即 9 9010 k9，故选，故选 D 4已知已知 x，y 为实数，且为实数，且 y x1 1x3，化简：，化简：|y3| y28y16 【解析】【解析】 由由 x1和和 1x同时存在得同时存在得 x1，y3 原