现代信号处理教程 - 胡广书(清华)

1、第10章 离散小波变换的多分辨率分析在上一章，我们给出了连续小波变换的定义与性质，给出了在平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。在这两种情况下，时间仍是连续的。在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究及都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。由Mallat和Meyer自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术87,88,8在这方面起到了关键的作用。该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法34,33结合起来，构成了小波分析的重要工具。本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。10.1多分

2、辨率分析的引入10.1.1信号的分解近似现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。给定一个连续信号，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。如图10.1.1(a)所示，令 (10.1.1)显然，的整数位移相互之间是正交的，即 (10.1.2)这样，由的整数位移就构成了一组正交基。设空间由这一组正交基所构成，这样，在空间中的投影（记作）可表为： (10.1.3)式中,是基的权函数。如图10.1.1(b)所示，它可以看作是在中的近似。是离散序列，如图10.1.1(c)所示。令 (10.1.4)是由作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，对图10.1.1(a)的，和是正

3、交的。这一结论可证明如下：因为 令，则,再由（10.1.2）式，有 (10.1.5)于是结论得证。将作二倍的扩展后得，如图10.1.1(g)所示。由作整数倍位移所产生的函数组 当然也是两两正交的（对整数），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为，记信号在中的投影为，则 (10.1.6)式中为加权系数。如图10.1.1(h)所示。仍为离散序列，如图10.1.1(i)所示。若如此继续下去，在给定图10.1.1(a)的的基础上，我们可得到在不同尺度下通过作整数位移所得到一组组的正交基，它们所构成的空间是。用这样的正交基对作近似，就可得到在中的投影。由图10.1.1(a)和图10.1.1

4、(g)，我们不难发现： (10.1.7) 再比较该图的(b)和(h)，显然图(b)对的近似要优于图(h)对的近似，也即分辨率高。所以，用对作（10.1.3），或(10.1.6)式的近似，越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。当时，中的每一个函数都变成无穷的窄，因此，有 (10.1.8)另一方面，若，那么中的每一个函数都变成无穷的宽，因此，时对的近似误差最大。按此思路及（10.1.7）式，我们可以想象，低分辨率的基函数完全可以由高一级分辨率的基函数所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间应包含在高分辨率的空间中，即 (10.1.9)但是，毕竟不等于，也即比对近似的好，但二者之间肯定有误差。这一误差是

5、由和的宽度不同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为。这样，有 (10.1.10)该式的含义是：在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。现在我们来寻找的表示方法。设有一基本函数，如图10.1.1(d)所示，即 (10.1.11)很明显，的整数位移也是正交的，即 (10.1.12)进一步，在不同尺度下的位移，即，也是正交的，即 (10.1.13)如图（j）所示。同时，和的整数位移之间也是正交的，即 (10.1.14)观察图(a)，(d)和(g)，不难发现，和之间有如下关系： (10.1.15a) 及 (10.1.15b)记张成的空间为，所

6、张成的空间为，依次类推，张成的空间为，记在空间中的投影为，在中的投影为，它们均可表为相应基函数的线性组合，即 (10.1.16) (10.1.17)式中,是,尺度下的加权系数，它们均是离散序列。,分别如图10.1.1(e)和(f)所示，,分别如图(k)和(l)所示。由图10.1.1不难发现，若将图(h)的和图(k)的相加，即得图(b)的，由空间表示，即是 (10.1.18)式中表示直和注1。这说明，是的正交外空间，并有，注2。我们把上述概念加以推广，显然有 图10.1.1 信号的近似 （10.1.19）并且 （10.1.20）这样，给定不同的分辨率水平，我们可得到在该分辨率水平上的近似和，由于

7、是低通信号，因此反映了的低通成份，我们称其为的“概貌”。由于是由边缘得到的离散序列，所以也应是在尺度下的概貌，或称离散近似。同理，由于是带通信号，因此反映的是的高频成份，或称为的“细节”，而是的离散细节。在以上的分析中，我们同时使用了两个函数，即和，并由它们的伸缩与移位形成了在不同尺度下的正交基。由后面的讨论可知，对作概貌近似的函数称为“尺度函数”，而对作细节近似的函数称为小波函数。读者不难发现，图10.1.1(d)中的即是我们在上一章提到的Haar小波。图(a)中的即是Haar小波在时的尺度函数。10.1.2树结构理想滤波器组我们在第七、八两章详细讨论了滤波器组的原理。一个离散时间信号经过一

8、个两通道滤波器组后，的输出为其低频部分，频带在；的输出为其高频部分，频带为。由于、输出后的信号频带均比的频带降低了一倍，因此，在和的输出后都各带一个二抽取环节，如图10.1.2所示。如果我们把的总频带定义为空间，经第一次分解后，被分成两个子空间，一个是低频段的，其频率范围为；另一个是高频段的，其频带在之间。显然，并且和是正交的，即二者的交集为空间（此亦是直和的定义）。按此思路，我们可在的输出后再接一个两通道分析滤波器组，这样就将空间进一步剖分，一个是高频段的空间，另一个是低频段的空间，如图10.1.2(a)和(b)所示。由上面的分解不难发现， ， (10.1.21a)及 (10.1.21b)或

9、 (10.1.21c)注1: ,是空间的子空间，若 ;，则称是和的直和。式中“”表示求和的交集，“”表示求和的并集；注2：，“”表示包含，即空间含空间。V2(0-/4)H1(z)2H0(z)2W2(/4-/2)H1(z)2H0(z)2x(n)W1(/2-)V1(0-/2)图10.1.2 基于滤波器组的频带剖分(a)滤波器组，(b)频带剖分现在我们来分析一下图10.1.2对信号分解的特点。1各带通空间和各低通空间的恒Q性先看带通空间。由图10.1.2(b)，的带宽为，中心频率为，其；的带宽为，中心频率在，所以其也是，同理，的均是；再看低通空间，很明显，的，的，的的也是2。2各级滤波器的一致性在图

10、10.1.2(a)中，我们将各级滤波器组的低通和高通滤波器都写成了和，这意味着各级滤波器组使用的是同一组滤波器，这一方面体现了树状滤波器组中各级滤波器的一致性，也深刻体现了上述空间剖分的特点，现对此作一简单的解释。假定对的抽样频率Hz，对，设其截止频率Hz，也即，或归一化频率；对第二级，由于前一级有一二抽取环节，致使变成了Hz，同时，由于第一级的输出使频带减少一半，故第二级低通滤波器的应改为Hz。但是，这时的仍为，即，依次类推，各级的、均保持不变。这样，只要设计出第一级的和，以后各级的滤波器均可采用它们。图8.1.1的M通道均匀滤波器组不适于多分辩率分析。这是因为它不是按照由大及小的逐级分解，

11、因此不具备恒Q性，也不会满足（10.1.21）式。以上我们用两个实际的例子引入了多分辩分析的基本概念，以期读者对多分辩率分析有一个直观的理解。下面的内容将是更加深入具体的讨论。10.2多分辩率分析的定义Mallat给出了多分辩率分析的定义8：设是空间中的一系列闭合子空间，如果它们满足如下六个性质，则说，是一个多分辨率近似。这六个性质是：1，若则 (10.2.1)2，即 (10.2.2)3，若，则 (10.2.3)4 (10.2.4)5 (10.2.5)6存在一个基本函数，使得，是中的Riesz基。现对以上性质作一些直观的解释：性质1说明，空间对于正比于尺度的位移具有不变性，也即函数的时移不改变

12、其所属的空间。我们在上一章对作二进制离散化时曾说明，若令，则应取，将归一化为，则 (10.2.6)所以，（10.2.1）式实际上应等效为： ，若，则 (10.2.7) 这是因为，必有;性质2说明，在尺度(或)时，对作的是分辩率为的近似，其结果将包含在较低一级分辩率时对近似的所有信息，此即空间的包含，也即（10.2.2）式； 性质3是性质2的直接结果。在中，函数作了二倍的扩展，分辩率降为，所以应属于；性质4说明当时，分辨率，这时我们将会失的所有信息，也即 从空间上讲，所有的交集为零空间；性质5是性质4的另一面，即当时，分辩率，那么信号在该尺度下的近似将收敛于它自身，即 (10.2.8)从空间上讲

13、，即是所有的并集收敛于整个空间；性质6说明了中Riesz基的存在性问题，并将要由此引出中正交基的存在性问题，因此，需要着重加以解释。设是一Hilbert空间(注：能量有限的空间即是Hilbert空间)，是中的一组向量，其个数与的维数一致。自然，中的任一元素都可表为的线性组合，即 (10.2.9)我们在1.8节已指出，若（1）之间是线性无关的，且（2）存在常数使得 (10.2.10)则是中的Riesz基。注意，（10.2.10）式等效于（9.8.32）式，只不过在（10.2.10）式中，我们已指出，Riesz基本身是一个标架，但它比标架的要求要高，即之间是线性无关的，但它又比正交基要求低，即并不

14、要求之间一定要两两正交。（10.2.10）式的能量约束关系保证了（10.2.9）式对表示的数值稳定性。下述定理给出了在中存在Riesz基的充要条件。定理10.1 是中的Riesz基的充要条件是存在常数使得 ，有 (10.2.11)式中是的傅里叶变换。证明：对任意的，我们均可按(10.2.9)式对作分解。现对(10.2.9)两边作傅里叶变换，有 (10.2.12)这是我们在（1.7.14）及（1.7.15）式所遇到的FT和DTFT混合的形式。若设想的实际间隔为，由19, (10.2.13)应是周期的，周期为，为了书写的方便，我们暂把记作，这样，(10.2.12)式变成 (10.2.14)于是，的

15、范数 (10.2.15)注意式中的应从，上式中的分段积分及对的求和保证了这一点。（10.2.10）式所要求的Riesz基的条件进一步可表为： (10.2.16)若是中的Riesz基，则（10.2.16）式必须成立。为保证（10.2.16）式成立，由（10.2.15）式，由于，即的能量是有界的，因此必须满足(10.2.11)式。因此必要性保证。反之，若（10.2.11）式成立，则由（10.2.15）式必然可导出（10.2.16）式。此外，凡满足（10.2.9）式的，它必然满足（10.2.16）式。若，则必有，对所有的，因此，是线性无关的。由此，充分性保证。于是定理得证。在实际工作中，人们总是偏爱

16、正交基。下述定理给出了如何由Riesz基构造正交基的方法。定理10.2 令是一多分辨分析，是一尺度函数，若其傅里叶变换可由下式给出： (10.2.17)并令 (10.2.18)则是中的正交归一基，对所有的。式中是产生Riesz基的基本函数的傅里叶变换。证明：为了构造一个正交基，我们需要寻找一个基本函数，由（10.2.18）式的定义，必然属于，由定理10.1，也可表为Riesz基的线性组合，即 （10.2.19）由（10.2.14）式，上式对应的频域关系是： （10.2.20）式中是的DTFT，因此，它仍是周期的，周期为。如果，是中的正交归一基，由1.7节关于正交基的性质，有 （10.2.21）

17、将(10.2.20)式代入（10.2.21）式，有 由Riesz基的性质,是有界的，因此，有 即 (10.2.22)将该式代入（10.2.20）式，即得（10.2.17）式。因此，是中的正交归一基。（10.1.12）和（10.1.13）式已证明，若是正交归一基，按（10.2.18）式作二进制伸缩与位移所产生的对所有的，都是相应中的正交归一基。于是定理得证。我们在定理9.7给出了由半正交小波求正交小波的方法，其原理和定理10.2是一样的。这样，定理10.1给出了空间中Riesz基的存在性，定理10.2给出了由Riesz基过渡到正交基的方法。在实际工作中，找到一个正交归一的基函数并不太容易，但找到

18、一组Riesz基却比较容易。具体步骤是：1由作FT得；2由（10.2.17）式求；3由作逆傅里叶变格得，则即是一组正交基。文献5和文献21介绍了利用此方法构造Battle-Lemarie小波的例子。其思路是令为一个三角波，其傅里叶变换为 (10.2.23)可以证明，构成一组Riesz基，但是，之间并不正交，可以求出： (10.2.24)显然，是有界的，满足(10.2.11)式所要求的Riesz基的频域条件。按（10.2.17）式，可以求出 (10.2.25)由作反变换即可得到。即可构成一组正交基。10.3空间、中信号的分解由上两节关于频率轴剖分的思想，应是中的低通函数，应是中的带通函数。将归一

19、化，有 (10.3.1)定理10.2已指出，是中的正交归一基，是中的正交归一基。这样，我们可将按此基函数逐级进行分解。1子空间令是在中的投影，则 (10.3.2)式中是加权系数，它应是一个离散序列。由的正交性质，我们有 由图10.1.1(b)，和作内积实质上是和作内积，即 (10.3.3)这样 (10.3.4)这是我们已经很熟悉的信号分解的表示形式。由于是时间的函数，而又具有低通性质，因此我们称是在中的“分段平滑”逼近，而称为在中的“离散”逼近。它们都是在分辨率时的“概貌”。2子空间由多分辨分析的定义，若，则，由定理10.2，是中的正交归一基。仿照(10.3.2)(10.3.4)式，我们有 (

20、10.3.5) (10.3.6)及 (10.3.7)3子空间若我们在子空间中能找到一个带通函数，使是中的正交归一基，类似尺度函数，因，则，也可构成中的正交归一基，即 (10.3.8) (10.3.9)依次类推，将是中的正交归一基。我们称为小波函数，满足上述正交归一性质的正交小波的构造问题将在下一章详细讨论。这样，我们可依次将在中作类似在各空间中的分解。令 (10.3.10)则 (10.3.11) 我们在10.1节中已述及，是在子空间上的投影，它是时间的函数。因为是带通函数，所以是的分为连续细节逼近。同理，是在中的离散细节。由于，所以必有 (10.3.12)或 (10.3.13)这两个式子指出，

21、在中的投影等于分别在和中的投影的差，它也是在和这两个分辨率水平上的逼近之差，因此，和均被称为的“细节”。实际上，它们反映的也是的高频成份，且就是尺度时的离散栅格上的小波变换。4对子空间，将上述的讨论加以推广，自然有如下的结论： (10.3.14) (10.3.15) (10.3.16) (10.3.17) (10.3.18)一般，令，我们可依次实现对的多分辨率分析。下一节，我们将深入地探讨这种分解的内在联系。10.4二尺度差分方程前已指出，是中的正交归一基，是中的正交归一基，并且,。这一关系启发我们，在相邻尺度（如和）下的尺度函数和尺度函数之间、尺度函数和小波函数之间必然存在着一定的联系。由于

22、，而包含在中，这样，把设想成是中的一个元素，因此它当然可以表为中正交基的线性组合，即 式中是加权系数，它是一个离散序列。将上式进一步展开，有 即 (10.4.1) 同理，由于也包含在中，因此，中的也可表为中正交基的线性组合，即 (10.4.2)也是加权系数。（10.4.1）和(10.4.2)两式被称为“二尺度差分方程”53，它们揭示了在多分辨率分析中尺度函数和小波函数的相互关系。这一关系存在于任意相邻的两级之间，如，有 (10.4.3a) (10.4.3b)该式又等效于 (10.4.4a) (10.4.4b)因此，二尺度差分方程是多分辨率分析中小波函数和尺度函数的一个重要性质。由和各自的正交性

23、，,可由下式求得： 令，则 或 (10.4.5)同理 (10.4.6)这两个式子揭示了一个重要得关系，即和与无关，它对任意两个相邻级中的和的关系都适用。这就是说，由和的二尺度差分方程求出的和适用于取任何整数时的二尺度差分方程。由至，读者可能会想到，和类似于图10.1.2(a)中的两通道滤波器组，对应低通滤波器，对应高通滤波器，且在每一级，和保证不变。如果这一设想是正确的，那么就把小波变换和滤波器组联系了起来。当然，实际情况也正是如此。现在再回过来观察图10.1.1，显然有： 对比(10.4.3)和(10.4.4)式，有 , , , 这是Haar小波及其尺度函数所对应的滤波器的系数。现在我们来研

24、究二尺度差分方程在频域的表示形式。对(10.4.3)式两边取傅里叶变换，有 该式是我们在前面多次遇到过的FT和DTFT的混合表示形式，式中是在轴上离散取值所得到的，假定对轴的抽样间隔为，则上式积分的左边右边 式中，是相对连续信号的角频率，,而是相对离散信号的圆频率。由于后面的讨论以离散信号和离散系统为主，所以，我们将都记为，并将简记为。这样，最后有 (10.4.7)同理，有 (10.4.8)请读者记住，、和都是连续信号的傅里叶变换（FT），而,是离散信号的傅里叶变换（DTFT）。将(10.4.3)和(10.4.4)两式的两边分别对积分，由于，,所以，有 (10.4.9) (10.4.10)对应

25、于频域，有 (10.4.11) (10.4.12)因此，应是低通滤波器，应是高通滤波器。 由（10.4.7）式，有 (10.4.13)由于当时，因此 (10.4.14)式中.同理可由(10.4.8)式求出： 即 (10.4.15)式中.这样，(10.4.14)和(10.4.15)式建立了,分别和和的直接关系。若,已知，我们可由它们求出相应的和，进一步求出相应的和。例如，若，即，则 (10.4.16)若，即，则 (10.4.17)此外，由于 , 且当时 因此，从能量守恒的角度，有 （10.4.18）或 (10.4.19)10.5 二尺度差分方程与共轭正交滤波器组(10.4.7)和(10.4.8)

26、式给出了二尺度差分方程的频域关系，(1.7.11)和(1.7.12)式给出了正交基的频域性质。在此基础上，我们可导出在二尺度差分方程中和的频域关系，从而把多分辨率分析和滤波器组结合起来。定理10.3设,分别是多分辨率分析中的尺度函数和小波函数，,分别是满足二尺度差分方程(10.4.3)和（10.4.4）式的滤波器系数，则 (10.5.1a) (10.5.1b) (10.5.1c)证明：先证明(10.5.1a)式。由(10.4.7)式，有 (10.5.2)由于是中的正交归一基，所以，其傅里叶变换满足(1.7.11)式，于是 即 式中实际上是，它是以为周期的。现将按奇、偶分开，即分别令和，于是，有

27、 令，又有： 由(1.7.11)式，,作了常数移位后，也必然等于1。因此 即(10.5.1a)式得证。同理可证明(10.5.1b)式。由第七章的讨论可知，满足(10.5.1a)和(10.5.1b)的及分别都是功率互补的，二者是功率对称的。现在证明(10.5.1c)式。由(1.7.12)式，我们有 (10.5.3)令，则上式变成 将二尺度差分方程的频域关系代入上式，有 再一次地将按奇、偶分开，并注意到,都是以为周期的，于是 即 由(10.5.1a)式的证明过程，最后可得 这样(10.5.1c)式得证。将(10.5.1)式写成Z变换的形式，有 (10.5.4a) (10.5.4b) (10.5.4

28、c)将(10.5.4a)式和(7.4.9b)式相比较，我们立即发现，满足小波变换多分辨率分析中二尺度差分方程的、正是一对共轭正交滤波器组（CQMFB）。这样，我们就把小波变换和滤波器组联系了起来，从而为离散信号的小波变换的快速实现提供了有效的途径。注意，满足（10.5.1c）式的和并不唯一，其中一个解是 (10.5.5a)或 (10.5.5b)读者可自行验证，若，都可满足（10.5.1c）式。我们在7.4节给出了CQMFB中和的关系。由（7.4.1）式，由（7.4.3b）式，则，现在若按（10.5.5b）式定义和的关系，即令，且比（7.4.1）式多了一个负号。很容易验证（10.5.5b）式所对

29、应的时域关系是： (10.5.6)至此，我们给出了一系列重要的概念，它们分别是：1在中总存在，使构成中的Riesz基；2定理10.2说明如何由Riesz基得到中的正交归一基，进而是中的正交归一基，即是尺度函数。3把视为的正交补，并假定在中存在小波函数，使是中的正交归一基，进而是中的正交归一基；4由于假定，所以假定和是正交的；5按，分别对作分解，得到（10.3.14）(10.3.18)式的分解（或投影）关系；6由，这一包含关系，得到了（10.4.4）式的二尺度差分方程；其频域关系如（10.4.7）和（10.4.8）式所示；7由定理10.3，满足二尺度差分方程的和恰是一对共轭正交滤波器组，即它们满

30、足（10.5.1）式。按此思路，我们即可有效地实现信号的小波变换，这即是下一节要讨论的Mallat算法。在讨论这一算法之前，也许读者已经看到上述总结的第3条中，中正交基的存在性及和的正交关系并没得到证明，在这之前，对它们的认同还都是“假设”。下述两个定理回答了这一结论。定理10.4 令是一多分辨率分析序列，是中的正交归一基，再令和是一对共轭正交滤波器组，记的傅里叶变换为，若 (10.5.7)则存在基本小波函数，使是中的正交归一基，进而，是中的正交归一基。证明：定理10.4实际上是定理10.3的逆命题。若构成中的正交归一基，由1.7节关于正交基的性质，则必有 (10.5.8)将（10.5.7）式

31、的所给条件代入（10.5.8）式的左边，有令，考虑到是以为周期的，是正交归一基，因此上式因为、是一对共轭正交滤波器组，所以，必满足（10.5.1b）式，因此（10.5.8）式得证，即是中的正交归一基。由（10.1.3）式，可证是中的正交归一基，因此定理得证。定理10.5 设是一多分辨率分析序列，,和分别是和中的正交归一基，则和是正交的，即 (10.5.9)证明：同样，由1.7节关于正交基的性质，若证明（10.5.9）式，只需证明 (10.5.10)即可将及代入（10.5.10）式，再利用（10.5.1c）式有关正交滤波器组的关系，则（10.5.10）式可证。10.6 Mallat算法在上述多分

32、辩率分析的基础上，下述两个定理给出了如何通过滤波器组实现信号的小波变换及反变换。定理10.6 8 令，是多分辨率分析中的离散逼近系数，是满足（10.4.3）和（10.4.4）式的二尺度差分方程的两个滤波器，则，存在如下递推关系： (10.6.1a) (10.6.1b)式中。证明：先证明（10.6.1a）式由于正交基函数，而，因此，可用正交基来作分解，即 (10.6.2)式中分解系数 令，则 由(10.4.5)式，有 于是，(10.6.2)式变成 (10.6.3)将该式两边分别对作内积，由(10.3.15)式，有 左边 右边 这样，左边等于右边，有 于是(10.6.1a)式得证。(10.6.1b

33、)式的证明留给读者来完成。现在我们来理解一下(10.6.1)式的涵义：设，是在中由正交基作分解的系数，它是在中对所作的离散平滑逼近。将通过一滤波器后得到在中的离散平滑逼近。该滤波器是将先作一次翻转，得，然后再和作卷积运算。(10.6.1a)式中出现的，正体现了二抽取环节，如图10.6.1(a)所示。(10.6.1b)式的输入、输出关系如图10.6.1(b)所示。假定我们从级开始分解，将图(a)和(b)合起来后即是图(c)。h0(k)= h0(-k)2h1(-k)= h1(-k)2 h0(-k)h1(-k)22图10.6.1 (10.6.1)式的网络结构 (a)低通分解 (b)高通分解，(c)二

34、者的结合如果我们令由逐级增大，我们即得到多分辨率的逐级实现，如图10.6.2所示。该图所反映的过程（也即(10.6.1)式）即是Mallat算法，也即小波变换的快速实现。 h1(k)2h0(k)2h1(k)2h0(k)2 h1(k)2h0(k)2图10.6.2 多分辨率分解的滤波器组实现由(10.6.1)式及图10.6.2，我们可以看出Mallat多分辨率分析的思路：（1） 从滤波器组的角度看，若的频带在，的频带在，那么，所处的频带是，在，在；对再分解后，在，而在。这就实现了对频带的逐级剖分。按这样的方式剖分，一方面保证了各子频带的恒Q性，另一方面又保证了和在各级的不变性；（2） 若记所处的频

35、带为空间， 处于，处于，由它们频带的性质，显然，同时，有 当时，占据的空间（也即频带）趋于无穷小，因此必有，当然，这时的分辨率最差，因此。这就是我们在多分辨率分析中所讨论的主要思想；（3） 将多分辨率分解归结到图10.6.2来实现，这就把对离散信号的小波变换归结到逐级的线性卷积来实现。若，的系数不是太长，卷积可在时域直接实现，否则，可用DFT及FFT来实现。下面讨论信号的重建问题，也即小波反变换。定理10.7 若，按(10.6.1)式得到，则可由下式重建： (10.6.4)证明：由于，.因此，中的任一函数可按如下方式分解： (10.6.5)由定理10.4的证明，有 (10.6.6a) (10.

36、6.6b)将它们代入(10.6.5) 式，有 (10.6.7)将该式两边对作内积，即产生(10.6.4)式，于是定理得证。(10.6.4)式所对应的网络结构如图10.6.3a所示。若由递减，则整个的重建过程如图10.6.3b所示，它正好是图10.6.2的逆过程。不过在分解的过程中，和要先作翻转，而在重建过程中，不作翻转。分解时存在二抽取，而在恢复过程中存在二插值。由(10.6.4)式及图10.6.3可以看出，在用正交小波对信号作多分辨率分解与重建的过程中，分解和重建所用的滤波器是相同的，即都是和。2h0(k)2h1(k) 2h0(k)2h1(k)2h0(k)2h1(k)2h0(k)2h1(k)图10.6.3 小波逆变换，(a)第j级，(b)j由j至0的过程10.7 Mallat算法的实现以上各节讨论了Mallat算法的定义，及中正交基的存在性以及用滤波器组实现小波算法的一系列问题。但在具体实现时，尚有一些具体的问题要解决。这主要是初始化问题和在分解过程中数据逐渐减少的问题。1.初始化问题。观察图10.5.2，在空间，我们假定是已知的，并由此实现的逐级分解。但实际上是未知的，并且在图中的分解过程中，也并没出现要分析的离散信号。由(10.3.3)式，有 (10.7.1)因此，只是中对的离散逼近，它并不等于的抽样。至今，人们已提