磁场对带电粒子的会聚作用分类例析

1、磁场对带电粒子的会聚作用分类例析 带电粒子垂直进入有界磁场，在洛伦兹力作用下发生偏转，磁场对带电粒子的运动轨迹起到一种约束作用，巧妙设计磁场区域，可以使带电粒子会聚于一点.磁场对带电粒子会聚的问题，既能考查学生应用数学知识处理物理问题的能力，又能考查学生的推理能力及分析综合能力，因此成为近几年的高考热点.下面举例加以说明. 一、利用扇形磁场会聚 例1 （2008年重庆理综）如图1所示为一种质谱仪工作原理示意图.在以o为圆心，oh为对称轴，夹角为2的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场.对称于oh轴的c和d分别是离子发射点和收集点.cm垂直磁场左边界于m，且om=d.现有一正离子束以小发散角

2、（纸面内）从c射出，这些离子在cm方向上的分速度均为v0.若该离子束中比荷为 qm的离子都汇聚到d，试求： （1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿cm方向运动的离子为研究对象）； （2）离子沿与cm成角的直线cn进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间； （3）线段cm的长度. 解析： （1）设沿cm方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r，由 磁场方向垂直纸面向外. （2）设沿cn运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为r，运动时间为t， 由vcos=v0， 得 v=v0cos. r=mvqb=dcos. 方法1：设弧长为s 方法2：离子在磁场中做匀速圆周运动的周期 以上三式

3、联立求解得cm=dcot. 方法2：如图2所示，设圆心为a，过a做ab垂直no，可以证明nm=cmtan 又因为 点评：（1）本题是以学生陌生的质谱仪为背景的信息给予题，通过图文提供醒目直观的信息，在考查知识的同时，考查学生对信息处理能力.问题部分围绕题干给出信息展开，能否解答问题，取决于从题干中获取信息的多少以及能否将获得的信息快速地迁移到解答的问题中来.考生只有透过这些信息，理解有关概念，挖掘隐含条件，充分发挥联想，将发现的规律和已有旧知识牵线搭桥，才能创造性地解决问题. （2）在第（2）、（3）两问中，更侧重于运用数学知识进行分析.几何分析是突破物体运动图景的关键，几何分析又是能够正确地

4、运用数学知识的前提.在众多的物理量和数学量中，角度是最关键的量，它既是建立几何量与物理量之间关系式的一个纽带，又是沟通几何图形与物理模型的桥梁. 二、利用圆形磁场会聚 例2 （2009年浙江理综）如图3所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上.在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为r的圆内还有与xoy平面垂直的匀强磁场.在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q0）和初速度v的带电微粒.发射时，这束带电微粒分布在0 （1）从a点射出的带电微粒平行于x轴从c点进入有磁场区域，并从坐标原点o沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向

5、. （2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由. （3）若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由. 解析： （1）、（3）略. （2）这束带电微粒都通过坐标原点，理由说明如下： 方法1：从任一点p水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为r的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方q点，如图4所示，这样，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图所示的虚线半圆，此半圆的圆心是坐标原点.所以，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的. 方法2：从任一点p水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为r的匀速圆周运动，如图4所示，设p点与o点的连线与y轴的夹角为，其圆周运动的圆

6、心q的坐标为 圆磁场边界是圆心坐标为（0，r）的圆周，其方程为 解上述两式，可得带电微粒做圆周运动的轨迹与磁场边界的交点为 坐标为（-rsin ，r（1+cos ）的点就是p点，由此可见，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的. 点评：这是一道综合性较强的题目，解题中既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识.数学方法与物理知识相结合是解决物理问题的一种有效途径.在磁场问题的考察上，高考理综试卷往往乐意融入解析几何元素，学生要加强这方面的训练. 三、利用组合磁场会聚 例3 （2010年浙江理综）有一个放射源水平放射出、和三种射线，垂直射入如图5所示

7、磁场.区域和的宽度均为d，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感强度大小b相等，方向相反（粒子运动不考虑相对论效应）. （1）若要筛选出速率大于v1的粒子进入区域，求磁场宽度d与b和v1的关系. （2）若b=0.0034 t，v1=0.1c（c是光速），则可得d； 粒子的速率为0.001c，计算和射线离开区域时的距离；并给出去除 和射线的方法. （3）当d满足第（1）小题所给关系时，请给出速率在v1vv2区间的粒子离开区域时的位置和方向. （4）请设计一种方案，能使离开区域的粒子束在右侧聚焦且水平出射. 已知：电子质量me=9.110-31 kg，粒子 质量 解析：（1）、（2）、（3）略

8、. （4）由对称性可设计如图6所示的磁场区域，最后形成聚集且水平向右射出. 点评：带电粒子垂直射入有边界的匀强磁场中，其运动轨迹往往是一段圆弧，分析这类问题的关键是找圆心、画轨迹.本题带电粒子入射点位置及速度方向已知，只要利用对称确定其射出磁场的位置及速度方向，就可抓住关键使问题迎刃而解. 例4真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，ox为过边界上o点的切线，如图7所示，从o点在纸面内向各个方向发射速率均为v0的电子，设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为r，已知电子的电量为e，质量为m. （1）速度方向分别与ox方向夹角成60和90的电子，在磁场中的运动时

9、间分别为多少？ （2）所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？ （3）设在某一平面内有m、n两点，由m点向平面内各个方向发射速率均为v0的电子，请设计一种匀强磁场分布，使得由m点发出的所有电子都能够汇聚到n点. 解析： （1）如图8所示，入射时电子速度与x轴夹角为，无论入射的速度方向与x轴的夹角为何值，由入射点o，射出点a，磁场圆心o1和轨道圆心o2一定组成边长为r的菱形.因o1oox，oo2垂直于入射速度，故 oo2a=，即电子在磁场中所偏转的角度一定等于入射时电子速度与ox轴的夹角 （2）因oo2a=，故o2aox.而o2a与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与ox轴方向平行

10、，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与ox轴相同. （3）上述的粒子路径是可逆的，（2）中从圆形磁场射出的这些速度相同的电子再进入一相同的匀强磁场后，一定会聚焦于同一点.磁场的分布如图9所示，对于从m点向mn连线上方运动的电子，两磁场分别与mn相切，m，n为切点，且平行于两磁场边界圆心的连线o1o2.设mn的距离为l，所加的磁场的边界所对应圆的半径为r，故应有2rl，即 2mvebl，所以所加磁场磁感应强度应满足b2 mvel. 同理，对于从m点向mn连线下方运动的电子，只要使半径相同的两圆形磁场与上方的两圆形磁场位置关于mn对称且磁场方向与之相反即可. 说明：四个圆的半径相同，半径r的大

11、小与磁感应强度的关系是r=mv0/qb； 下方的两圆形磁场与上方的两圆形磁场位置关于mn对称且磁场方向与之相反； 只要在矩形区域m1n1n2m2内除图中4个半圆形磁场外无其他磁场，矩形m1n1n2m2区域外的磁场均可向其余区域扩展. 点评：本题对平面几何的分析推理要求很高.学生很难理解从不同位置入射的粒子怎么能够经过磁场偏转后运动到同一点.利用几何知识可以证明：当带电粒子的轨道半径与圆形边界匀强磁场半径相等时，同种带电粒子从边界上任一点以相同速率沿不同方向垂直射入磁场，它们离开磁场时的方向一定是平行的.如果学生知道这一结论，然后利用结论的可逆性就会设计出符合题意的磁场区域. 例5如图10所示，

12、在直角坐标系xoy中，点m（0，1）处不断向+y方向发射出大量质量为m、带电量为-q的粒子，粒子的初速度大小广泛分布于0到v0之间.已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为b，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿+x方向经过b区域，都沿-y的方向通过点n（3，0）. （1）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积； （2）若其中速度为k1v0和k2v0的两个粒子同时到达n点（1k1k20），求二者发射的时间差. 解析：（1）在a区域，设任一速度为v的粒子偏转90后从（x，y）离开磁场，由几何关系有： 上式与r无关，说明磁场右边界是一条直线，左边界是速度为v0的粒子的轨迹： 此后粒子均沿+x方向穿过b区域，进入c区域，由对称性知，其磁场区域如图11所示. 磁场的面积s=2（14 （2）如图12所示，速度为k