压杆稳定性计算

1、第16章压杆稳定16.1压杆稳定性的概念在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度 条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆 才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因， 不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。当短粗杆受压时（图16-1a），在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保 持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷Fs（或抗压强度载荷Fb）， 杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的 同样粗细而比较

2、长的杆件（图16-1b），当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能 保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某一数值F1时，杆件将突然变弯， 不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯 的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于Fs （或Fb）。可见，细长杆 在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。图 16- 1失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出 现侧向弯曲和绕轴线的扭转（图16-2）;受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大 时，其形状可能突然变成椭圆（图16-3）;圆环形拱受径向均布压力时，也可能 产生失稳（图16-4）。本章中，我们只

3、研究受压杆件的稳定性。16-2图 16-30图 16-5图 16-6所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状 态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。第一种状态，小球在凹面内的0点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外 加干扰力使其偏离原有的平衡位置， 然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平 衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。第二种状态，小球在凸面上的0点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外 加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位 置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。第三种状态，小球在

4、平面上的0点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外 加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置0再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称 小球原有的平衡状态为随遇平衡通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对 象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰 力使处于直线平衡状态的压杆偏离原有的位置，如图16-6a所示。当轴向压力F由小变大的过程中，可以观察到：1）当压力值Fi较小时，给其一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置。若 去掉横向干扰力后，压杆将在直线平衡位置左右摆动，最终将恢复到原来

5、的直线 平衡位置，如图16-6b所示。所以，该杆原有直线平衡状态是稳定平衡。2) 当压力值F2超过其一限度Fcr时，平衡状态的性质发生了质变。这时，只 要有一轻微的横向干扰，压杆就会继续弯曲，不再恢复原状，如图16-6d所示。因此，该杆原有直线平衡状态是不稳定平衡。3) 界于前二者之间，存在着一种临界状态。当压力值正好等于Fcr时，一旦去掉横向干扰力，压杆将在微弯状态下达到新的平衡， 既不恢复原状，也不再继 续弯曲，如图16-6c所示。因此，该杆原有直线平衡状态是随遇平衡，该状态又 称为临界状态。临界状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。压杆处于临界状态时的轴向压力称为临界力或临界载

6、荷，用Fcr表示。由上述可知，压杆的原有直线平衡状态是否稳定，与所受轴向压力大小有关。 当轴向压力达到临界力时，压杆即向失稳过渡。所以，对于压杆稳定性的研究， 关键在于确定压杆的临界力。16.2两端铰支细长压杆的临界力图16-7a为一两端为球形铰支的细长压杆，现推导其临界力公式。图 16-7根据前节的讨论，轴向压力到达临界力时，压杆的直线平衡状态将由稳定转 变为不稳定。在微小横向干扰力解除后，它将在微弯状态下保持平衡。因此，可 以认为能够保持压杆在微弯状态下平衡的最小轴向压力，即为临界力。选取坐标系如图l6-7a所示，假想沿任意截面将压杆截开，保留部分如图 16-7b所示。由保留部分的平衡得(

7、a)M X - -FcrV在式(a)中，轴向压力Fcr取绝对值。这样，在图示的坐标系中弯矩M与挠度V的符号总相反，故式(a)中加了一个负号。当杆内应力不超过材料比例极限时，根 据挠曲线近似微分方程有(b)d V _ M X _ Fcr v dx2 一 El 一 El由于两端是球铰支座，它对端截面在任何方向的转角都没有限制。 因而，杆件的 微小弯曲变形一定发生于抗弯能力最弱的纵向平面内，所以上式中的I应该是横截面的最小惯性矩。令式(b)可改写为此微分方程的通解为d2vdx2FcrEI2亠 k2v =0(C)(d)v =Gsinkx C2coskx(e)22式中G、C2为积分常数。由压杆两端铰支这

8、一边界条件(g)x =1 ， v =0将式 代入式(e)，得C2 = 0，于是v =Gsi nkx(h)式(g)代入式(h)，有Gsin kl =0(i)在式(i)中，积分常数G不能等于零，否则将使有v=0，这意味着压杆处于直线平衡状态，与事先假设压杆处于微弯状态相矛盾，所以只能有si nkl =0(j)F crEI(16-1)由式(j)解得 kl =n Jn = 0,1,2,n 二k- l(k)则.2n2 二2Fcrk2l2EI或Fcr -n |2 EIn -0,1,2，(l)因为n可取 平衡的压力，0，1，2，中任一个整数，所以式(1)表明，使压杆保持曲线形态 在理论上是多值的。而这些压力

9、中，使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界力。取n=0，没有意义，只能取n=1。于是得两端铰支细长压杆临 界力公式式(16-1)又称为欧拉公式在此临界力作用下，k=-，则式(h)可写成(m)v =Ci sin Xl可见，两端铰支细长压杆在临界力作用下处于微弯状态时的挠曲线是条半波正弦曲线。将x二十代入式(m)，可得压杆跨长中点处挠度，即压杆的最大挠度x l=Cl S叮厂CvmaxCi是任意微小位移值。G之所以没有一个确定值，是因为式(b)中采用了挠曲线 的近似微分方程式。如果采用挠曲线的精确微分方程式，那么 Ci值便可以确定。 这时可得到最大挠度Vmax与压力F之间的理论关系，如图16-8的O

10、AB曲线。此 曲线表明，当压力小于临界力Fcr时，F与Vmax之间的关系是直线OA说明压杆一 直保持直线平衡状态。当压力超过临界力 Fcr时，压杆挠度急剧增加。C1图 16-8在以上讨论中，假设压杆轴线是理想直线，压力F是轴向压力，压杆材料均匀连续。这是一种理想情况，称为理想压杆。但工程实际中的压杆并非如此。压 杆的轴线难以避免有一些初弯曲，压力也无法保证没有偏心，材料也经常有不均 匀或存在缺陷的情况。实际压杆的这些与理想压杆不符的因素， 就相当于作用在 杆件上的压力有一个微小的偏心距 e。试验结果表明，实际压杆的F与Vmax的关 系如图16-8中的曲线OD表示，偏心距愈小，曲线 OD愈靠近O

11、AB16.3不同杆端约束细长压杆的临界力压杆临界力公式（16-1）是在两端铰支的情况下推导出来的。由推导过程可知, 临界力与约束有关。约束条件不同，压杆的临界力也不相同，即杆端的约束对临 界力有影响。但是，不论杆端具有怎样的约束条件，都可以仿照两端铰支临界力 的推导方法求得其相应的临界力计算公式， 这里不详细讨论，仅用类比的方法导 出几种常见约束条件下压杆的临界力计算公式。16.3.1端固定另一端自由细长压杆的临界力图16-9为一端固定另一端自由的压杆。当压杆处于临界状态时，它在曲线 形式下保持平衡。将挠曲线 AB对称于固定端A向下延长，如图中假想线所示。 延长后挠曲线是一条半波正弦曲线，与本

12、章第二节中两端铰支细长压杆的挠曲线 一样。所以，对于一端固定另一端自由且长为I的压杆，其临界力等于两端铰支 长为2I的压杆的临界力，即tl2EIF cr 二 22I图 16-9图 16-10图 16-1116.3.2两端固定细长压杆的临界力在这种杆端约束条件下，挠曲线如图16-10所示。该曲线的两个拐点C和D 分别在距上、下端为丄处。居于中间的丄长度内，挠曲续是半波正弦曲线。所以，42对于两端固定且长为I的压杆，其临界力等于两端铰支长为-的压杆的临界力，2即216.3.3 一端固定另一端铰支细长压杆的临界力在这种杆端约束条件下，挠曲线形状如图16-11所示。在距铰支端B为0.7I处, 该曲线有

13、一个拐点Co因此，在0.7I长度内，挠曲线是一条半波正弦曲线。所以， 对于一端固定另一端铰支且长为I的压杆，其临界力等于两端铰支长为0.7I的压杆的临界力，即FcrEl.2综上所述，只要引入相当长度的概念，将压杆的实际长度转化为相当长度, 便可将任何杆端约束条件的临界力统一写Fcr(16-2)称为欧拉公式的一般形式。由式(16-2)可见，杆端约束对临界力的影响表现在系 数上。称为长度系数，为压杆的相当长度，表示把长为I的压杆折算成两端铰支压杆后的长度。几种常见约束情况下的长度系数列入表16-1中表16-1压杆的长度系数压杆的约束条件长度系数两端铰支一端固定，另一端自由两端固定一端固定，另一端铰

14、支卩=1 卩=2卩=1/2卩0.7表16-1中所列的只是几种典型情况，实际问题中压杆的约束情况可能更复 杂，对于这些复杂约束的长度系数可以从有关设计手册中查得。16.4欧拉公式的适用范围经验公式16.4.1临界应力和柔度将式(16-2)的两端同时除以压杆横截面面积A，得到的应力称为压杆的临界应力二cr，引入截面的惯性半径i将上式代入式(a)，得2FcrEl(a)一 A 一 2a2 丄-A(16-3)二 2e若令(16-4) i则有J 咅(16-5)扎式(16-5)就是计算压杆临界应力的公式，是欧拉公式的另一表达形式。式中,-称为压杆的柔度或长细比，它集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺i寸和

15、形状等因素对临界应力的影响。 从式(16-5)可以看出，压杆的临界应力与柔 度的平方成反比，柔度越大，则压杆的临界应力越低，压杆越容易失稳。因此， 在压杆稳定问题中，柔度是一个很重要的参数。16.4.2欧拉公式的适用范围2在推导欧拉公式时，曾使用了弯曲时挠曲线近似微分方程式2?=也，而dx2 EI这个方程是建立在材料服从虎克定律基础上的。试验已证实，当临界应力不超过材树比例极限Cp时，由欧拉公式得到的理论曲线与试验曲线十分相符，而当临 界应力超过-时，两条曲线随着柔度减小相差得越来越大(如图16-12所示)这说明欧拉公式只有在临界应力不超过材料比例极限时才适用，即图 16-122二 EI(b)

16、若用p表示对应于临界应力等于比例极限 J时的柔度值，则(16-6)p仅与压杆材料的弹性模量 E和比例极限二p有关。例如，对于常用的 Q235钢,E= 200GPa 1 p = 200MPa 代入式（16-6），得从以上分析可以看出：当p时，：cr _；p，这时才能应用欧拉公式来计算200 109200 106= 99.3压杆的临界力或临界应力。满足p的压杆称为细长杆或大柔度杆。16.4.3中柔度压杆的临界应力公式在工程中常用的压杆，其柔度往往小于p。实验结果表明，这种压杆丧失承载能力的原因仍然是失稳。但此时临界应力匚“已大于材料的比例极限Cp，欧拉公式已不适用，这是超过材料比例极限压杆的稳定问

17、题。对于这类失稳问题， 曾进行过许多理论和实验研究工作， 得出理论分析的结果。但工程中对这类压杆 的技算，一般使用以试验结果为依据的经验公式。在这里我们介绍两种经常使用的经验公式：直线公式和抛物线公式。1.直线公式把临界应力与压杆的柔度表示成如下的线性关系。匚 cr =a-b(16-7)式中a、b是与材料性质有关的系数,可以查相关手册得到。由式(16-7)可见，临 界应力匚cr随着柔度的减小而增大。372 flp-2354615789607332,2紗32S 7 12 络益式的聚SN和b1. 122+ 583, 2S6MS4H 1S必须指出，直线公式虽然是以一 p的压杆建立的，但绝不能认为凡是

18、：p 的压杆都可以应用直线公式。因为当值很小时，按直线公式求得的临界应力较 高，可能早已超过了材料的屈服强度Cs或抗压强度Cb，这是杆件强度条件所不允许的。因此，只有在临界应力不超过屈服强度匚s (或抗压强度匚b)时，直线公式才能适用。若以塑性材料为例，它的应用条件可表示为:cr若用s表示对应于Cs时的柔度值，则a - ；_ S-b(16-8)这里，柔度值s是直线公式成立时压杆柔度的最小值，它仅与材料有关。对Q235I冈来说， s=235MPa a=304MPa b=1.12MPa。将这些数值代入式(16-8)，得S304-2351.12=61.6当压杆的柔度，直满足:：: .p条件时，临界应

19、力用直线公式计算，这样的压杆被称为中柔度杆或中长杆。2.抛物线公式 -c(16-9)c是欧拉公式与抛物线(16-10)把临界应力；cr与柔度的关系表示为如下形式C J 0.574式中二s是材料的屈服强度，a是与材料性质有关的系数, 公式适用范围的分界柔度，对低碳钢和低锰钢16.4.4小柔度压杆当压杆的柔度，满足一 s条件时，这样的压杆称为小柔度杆或短粗杆。实验证明，小柔度杆主要是由于应力达到材料的屈服强度Cs(或抗压强度6)而发生破坏，破坏时很难观察到失稳现象。这说明小柔度杆是由于强度不足而引起破 坏的，应当以材料的屈服强度或抗压强度作为极限应力，这属于第二章所研究的受压直杆的强度计算问题。若

20、形式上也作为稳定问题来考虑，则可将材料的屈服 强度匚s (或抗压强度6)看作临界应力r，即16.4.5临界应力总图综上所述，压杆的临界应力随着压杆柔度变化情况可用图16-13的曲线表示,该曲线是采用直线公式的临界应力总图，总图说明如下：图 16-131）当，_ p时，是细长杆，存在材料比例极限内的稳定性问题，临界应力用 欧拉公式计算。2）当s （或b） -p时，是中长杆，存在超过比例极限的稳定问题，临界应力用直线公式计算。3）当,（或b ）时，是短粗杆，不存在稳定性问题，只有强度问题，临 界应力就是屈服强度Cs或抗压强度6由图16-13还可以看到，随着柔度的增大，压杆的破坏性质由强度破坏逐渐

21、向失稳破坏转化。由式（16-5）和式（16-9），可以绘出采用抛物线公式时的临界应力总图，如图 16-14所示。图 16-1416.5压杆稳定性计算从上节可知，对于不同柔度的压杆总可以计算出它的临界应力，将临界应力 乘以压杆横截面面积，就得到临界力。值得注意的是，因为临界力是由压杆整体 变形决定的，局部削弱（如开孔、槽等）对杆件整体变形影响很小，所以计算临界 应力或临界力时可采用未削弱前的横截面面积 A和惯性矩I。压杆的临界力Fcr与压杆实际承受的轴向压力F之比值，为压杆的工作安全系数n,它应该不小于规定的稳定安全系数nst。因此压杆的稳定性条件为n十 nst(16-11)由稳定性条件便可对压

22、杆稳定性进行计算，在工程中主要是稳定性校核。通常，nst规定得比强度安全系数高，原因是一些难以避免的因素(例如压杆的初弯曲、材料不均匀、压力偏心以及支座缺陷等)对压杆稳定性影响远远超过对强度的影响。式(16-11)是用安全系数形式表示的稳定性条件，在工程中还可以用应力形 式表示稳定性条件十!d(a)其中卜St三(b)nst式中J St为稳定许用应力。由于临界应力Ccr随压杆的柔度而变，而且对不同柔度的压杆又规定不同的稳定安全系数 nst，所以，J 1st是柔度，的函数。在某些 结构设计中，常常把材料的强度许用应力L-I乘以一个小于1的系数作为稳定许 用应力t，即t L -I(c)式中称为折减系

23、数。因为Ht是柔度的函数，所以也是的函数，且总有：1 几种常用材料压杆的折减系数列于表16-3中，引入折减系数后，式(a)可写为F 卜丨 (16-12)A衰iti-3 QA2钢中心旻&构件的折*A012345疔73(-90L. 00(J.OOCI+000bOQC0, 99S0-999Q. 990. 99B0.597100.9950. 94o.蜩0. 992Q. 9910. 9690.N O, 987(K385 &8320a 9RL0. 9796 9770. 9750. 9730 9711 Ox 9690. 96$0.盹30.剜30o.换G.9560. 9530.9501 0* 9470- 94

24、4o. 940. 9370. 9340, 931406 927a. 5230.9206 9)6o. 91i0. 908rO, 8160. 9040 goo0, 8960. 692SO?.o. gB40. 8790. B750” fi70a S61a 85S0- E5I0.847600. 842a. S3 70. 8320. 8260, 821広866O-SL)0. 8056 8000. 79570o. 7BSOr ?S40* 77Sd 772Ou 7670 76)O 7550, 749o. 7430-737SO0-7310. 7250- 7190-713Ct 7070. 7010. 695小6

25、88a. W20. C769Q0. 6690. 6630.6570. 6500，6440.5370 6310.盼&. 6170. 6L11000. 604Oh 5970+ 5S10-584Ox 577J. S700. S630. 557Q. 550a 5431100*536Ow 5290-52205150. $QS0. SOI0. 494Ou W0.4S00-4711200-伽OU59a. 4520. 4弱0.4390, 43Z0* 4266他o-m0-407130a 4oio.濒0.抽。 3B40. 379a 3740- 3盟0. 3640. 3590. 3MHO0. 349o. 344Or

26、 MO0, 3356 3310 3270. 3220. 3156 3140.310150a 3060.303Q. 29&0-29$2920. 2880. 256 2810- 2780.275160a 2720. 2闘0. 26S0,细0, 25 &0. 250- 2540.250. 2451700. 2130.240a 2370- 2350-232a 2 300” 2270* 2250. 2230 220isoa, 218a. 2160. 2U0 2120. 2100. 2070. 2050. 203,0- 201a 199伽0. 1970. 19G0. 1940. 19?0. 1900* 1

27、88供1870.185G. 1830.1812000. ISO乩1780. 1760. j?5仇173o, in0. 1700. 1690.16?0,1662Q0+ L646 163茁士0+ L601590. 580. 156o. iss0+154认1522200- 510- 150仇1490. 1470. 146Ck 1450.1445 143Q，14?1112300-1390. 1380. 1370*】祐0* 350. 134 JD. g0. 132Or m0* 130240250乩129).io| 128!U- 1270 32&iU- 125D. 1Z5D. 124D* 123h 122

28、0- 121例16-1 图16-15为一用20a工字钢制成的压杆，材料为Q235钢，E=200Mpa j=200MPa压杆长度丨=5m F=200kN。若nst=2,试校核压杆的稳定性。山 0.5 5max :=117.9图 16-15解计算由附录中的型钢表查得iy = 2.12cm , iz =8.51cm , A=35.5cm?。压杆在i最小的纵向平面内抗弯刚度最/. max 的纵向平面小，柔度最大，临界应力将最小。因而压杆失稳一定发生在压杆i y2.12X10MPa 二 142MPaF504.1-200=2.57 - nst(2)计算临界应力，校核稳定性因为max -p，此压杆属细长杆，

29、要用欧拉公式来计算临界应力23200 1032117.92_46Fcr =A；cr =35.5 10142 10 N3= 504.1 10 N =504.1kN所以此压杆稳定例16-2 如图16-16所示连杆，材料为Q235钢，其E=200MPa6 =200MPa6 =235MPa，承受轴向压力F=110kN。若nst=3，试校核连杆的稳定性。(Srrft块悄900IJWWJ图 16-16解 根据图16-16中连杆端部约束情况，在xy纵向平面内可视为两端铰支;在XZ平面内可视为两端固定约束。又因压杆为矩形截面，所以ly “z根据上面的分析，首先应分别算出杆件在两个平面内的柔度，以判断此杆将 在

30、哪个平面内失稳，然后再根据柔度值选用相应的公式来计算临界力。(1)计算在xy纵向平面内，=1, z轴为中性轴iZh2、3= cm23= 1.732cm、卩11X94小/. z54.3iz 1.732在xz纵向平面内，=0.5，y轴为中性轴2.52、3cm = 0.722cm一. 4l0.5X90.- y62.3y iy0.722y - z，max二y =623。连杆若失稳必发生在XZ纵向平面内(2)计算临界力，校核稳定性max -p,该连杆不属细长杆，不能用欧拉公式计算其临界力。这里采用直线公式，查表 16-2，Q235钢的 a =304MPa , b h.12MPa工s二叱空1.6b1.12

31、，s ：max ：； p，属中等杆，因此二cr =a-b max M304-1.12 62.3 MPa =234.2MPaFcr 二A；cr=6 2.5 10J 234.2 10kN = 351.3kNFcr 351 3 o o f 1nst3.2 i n JstF 110该连杆稳定。例16-3 螺旋千斤顶如图16-17所示。起重丝杠内径d =5.2cm，最大长度I =50cm。材料为 Q235钢，E=200GPa m =240MPa，千斤顶起重量 F =100kN。若1204nst = 3.5，试校核丝杠的稳定性。图 16-17解(1)计算丝杠可简化为下端固定，上端自由的压杆(T k d4

32、64 d二d444山d4 2 505.2:77(2)计算Fcr，校核稳定性=兀200 1090.57 240 106c，采用抛物线公式计算临界应力Ml-cr =s 1 a 二!=240汉 1 -0.43汉dc丿MPa =197.5MPa兀汉5 22 1033Fcr =A 二 cr197.5 103kN =419.5kNnst =学二霍5? . hitF 100千斤顶的丝杠稳定。例16-4 某液压缸活塞杆承受轴向压力作用。已知活塞直径D =65mm，油压p =1.2MPa。活塞杆长度I =1250mm，两端视为铰支，材料为碳钢，匚220MPa，E=210GPa取Ah =6，试设计活塞直径d 。计

33、算Fcr 活塞杆承受的轴向压力F =- D2p =兰(65 汉 10 2 汉1.2汉 106N =3982N 44活塞杆工作时不失稳所应具有的临界力值为Fcr _nstF =6 3982N =23892N(2)设计活塞杆直径因为直径未知，无法求出活塞杆的柔度，不能判定用怎样的公式计算临界力。 为此，在计算时可先按欧拉公式计算活塞杆直径，然后再检查是否满足欧拉公式2 nd4-：2ei2 兀 E的条件FcrE2詳土 23892N(PI)2I2264 23892 1.252 39 m = 0.0246m 二3 210 109可取d =25mm，然后检查是否满足欧拉公式的条件山 414 1250200

34、i d 254d_、 FF 210X109=兀 =兀十97飞 p: 220106由于 - p，所以用欧拉公式计算是正确的。例16-5简易吊车摇臂如图16-18所示，两端铰接的AB杆由钢管制成，材 料为Q235钢，其强度许用应力 I-140MPa，试校核AB杆的稳定性。3咗图 16-18解(1)求AB杆所受轴向压力,由平衡方程.二:M c =0 ,F 1500 sin 30 _2000Fq =0F =53.3KN-AI =丄 JD2 +d 2J502 +402 mm =16mm441型cos30 =10816(3)校核稳定性据 -：108，查表16-3得折减系数 =0.55,稳定许用应力c L 一 卜 I - 0.55 140MPa =77MPa53.3 10AB杆工作应力MPa =75.4MPaA502 -402 1064；：！St,所以AB杆稳定。例16-6由压杆挠曲线的微分方程，导出一端固定，另一端铰支压杆的欧 拉公式。解一端固定、另一端铰支的压杆失稳后，计算简图如图16-19所示。为使杆件 平衡，上端铰支座应有横向反力 F。于是挠曲线的微分方程为d2v图 16- 19dx2M(x)上-x)El ElEl设k2音，则上式可写为dx2以上微分方程的通解为v =As inkx BcoskxFF cr(