结构力学-第三章-静定拱

1、结构力学周 强 土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：第三章 静定结构的内力计算 单单跨静定梁跨静定梁 多跨静定梁多跨静定梁 静定刚架静定刚架 静定拱静定拱 静定桁架静定桁架 静定结构的特征静定结构的特征3p 主要内容概述概述三铰拱的数值解三铰拱的数值解三铰拱三铰拱的合理拱轴的合理拱轴4瑞士塞金纳特伯(Salginatobel)桥建造于1930年的镰刀形上承式拱桥，被评为 20世纪最美的桥梁的第一名。5p 拱杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生水平反力（称为推力），故也称推力结构拱和梁的区别？拱和梁的区别？三铰拱三铰拱PAHBHAVBV 1 1. . 杆轴线的杆轴线的曲直曲直? ? 2

2、 2. . 在竖向荷载作用在竖向荷载作用下是否产生下是否产生水平反力水平反力。P梁梁0HAP曲梁曲梁0HAAVBV6p 拱常用的形式无铰拱拱超静定结构无拉杆静定结构有拉杆静定结构超静定结构两铰拱三铰拱三铰拱三铰拱两两铰铰拱拱无铰无铰拱拱7p 拱的优缺点 主要优点：由于水平推力的存在使得拱的弯矩要比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压力。 主要缺点：由于支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台等）。P拉杆来代替支座承受水平推力拉杆拉杆提高净空P8p 三铰拱的构造高跨比高跨比f/l是拱的一个重要的几何参数。工程实际中，高跨比在是拱的一个重要的几何参数。工

3、程实际中，高跨比在l110之间，变之间，变化的范围很大。化的范围很大。拱顶：拱的最高点。拱趾：支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 拱高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。 拱顶拱顶拱轴线拱轴线跨度跨度拱趾拱趾拱趾拱趾拱拱高高 f起拱线起拱线9p 三铰拱的数值解 取取全拱为所隔体建立三个平衡方程；全拱为所隔体建立三个平衡方程；取取左（或右）半拱为隔离体，以中间铰左（或右）半拱为隔离体，以中间铰C 为矩心，根据平为矩心，根据平衡条件衡条件Mc=0 建立一个方程，从而求出所有的反力。建立一个方程，从而求出所有的反力。 三铰拱是由两根曲杆与地基之间按三刚片规则组成的静定结构，共有

4、四个未知反力，其反力计算方法与三铰刚架相同。10p 支座反力的计算P1P2a1b1a2b2fABClP1P2ABCl01 122AVAVPbPbFFl01 122VBVBPaPaFFl00VBVAFF、相应简支梁的竖向支反力；0AM0BM支座反力的特点：支座反力的特点：1、两两拱趾在同一水平线且承受竖向荷载的拱，其竖向反力与相应拱趾在同一水平线且承受竖向荷载的拱，其竖向反力与相应简支梁相同。简支梁相同。110CM11()022VAHAllFPaFf0/HAHBHCFFFMf0CM相应简支梁对应拱顶位置的弯矩。（1）竖向荷载作用下拱有水平反力，与荷载及三个铰的位置有关荷载及三个铰的位置有关，而与

5、各铰间拱轴形状无关；（2）当荷载与拱跨l不变时，水平反力与拱高成反比： f 越大时，则FH越小； f 越小时，则FH越大，若 f 0，三铰共线，瞬变体系，FH。p 支座反力的计算P1P2a1b1a2b2fABClP1P2ABClHAHBHFFF0X 12p 内力的计算xP1HAFHBFVFAVFBP2Kyxy P1任一截面K的内力因拱常受压，故规定因拱常受压，故规定轴力以压力为正。轴力以压力为正。 求任意截面 K 的内力VFAHAF13p 内力的计算P1P2VF0AVF0BCKcossinKSKHQFF0KKHMMF y0sincosKSKHNFF0VF0ASKF0VF0AHFSF0KHF注：

6、内力与荷载间微分关系不适用于拱（轴线为曲线）。14p 拱的内力特征 1.三铰拱的内力三铰拱的内力值不但值不但与与荷载及三个铰的位置荷载及三个铰的位置有关，而且有关，而且与各铰间与各铰间拱轴线的形状拱轴线的形状有关。有关。 2.由于由于水平推力的存在水平推力的存在，使得，使得拱截面上的弯矩拱截面上的弯矩比跨度、荷比跨度、荷载相同的梁的弯矩载相同的梁的弯矩小得多小得多，并主要是承受压力。，并主要是承受压力。 3.由于由于拱内主要产生轴向压力拱内主要产生轴向压力，所以拱可以采用抗压性能，所以拱可以采用抗压性能良好而抗拉性能较差的材料来建造。良好而抗拉性能较差的材料来建造。15p 示例试作图示三铰拱的

7、内力图，拱轴为抛物线，其方程为)(42xlxlfyP=50kNq=14kN/ml =12m6m3m3mf=4m解：1. 求支座反力 由支座反力计算式可得：75.5VAVAFFkN058.5VBVBFFkN050.25HMFkNf0C75.5kN58.5kN50.25kN50.25kN16p 示例2.将拱轴沿水平方向分为8等分，求各分段点截面的内力。 x1y11d2tan(6)1d9yxx截面1的横坐标 x11.5m，可求得：由拱的内力计算式计算1截面的内力值：mkN 6 . 975. 125.50)25 . 15 . 1145 . 15 .75(111HyMM0kN0 . 3707. 025.

8、50707. 0)5 . 1145 .75(1111 HsincosQQ0kNN0 .74707. 025.50707. 0)5 . 1145 .75(cossin1111 HQ017p 示例18p 示例19p 示例0VAVAFF 1 1、支座反力、支座反力为避免求解方程组，将支座反力沿起拱线和竖向分解。00CCHAMMFffABCl/2l/2fFHAFHBFVAFVBFHFHP1P20cosCHHAMFFf2 2、内力计算、内力计算0VBVBFF 斜拱的支座反力和内力计算0tanVAVAHFFF0tanVBVBHFFF20p 思考在非竖向荷载作用下怎样计算三铰拱的反力和内力？能否使用本节中的

9、反力和内力计算公式？ 例如何求带拉杆的半圆三铰拱截面K的内力？21p 合理拱轴线 当当荷载及三个铰的位置给定时，三铰拱的荷载及三个铰的位置给定时，三铰拱的反力与各铰间拱反力与各铰间拱轴线形状无关轴线形状无关；三铰拱的；三铰拱的内力则与拱轴线形状有关内力则与拱轴线形状有关。 当当拱上所有截面的拱上所有截面的弯矩、剪力都等于零弯矩、剪力都等于零，而，而只有轴力只有轴力时，时，截面上的正应力是均匀分布的，材料能得以最充分地利用。截面上的正应力是均匀分布的，材料能得以最充分地利用。故称故称这时的拱轴线为合理拱轴线这时的拱轴线为合理拱轴线。22p 合理拱轴线的确定 拱的合理轴线可按拱的合理轴线可按弯矩为

10、零弯矩为零的条件确定，竖向荷载作用的条件确定，竖向荷载作用下，三铰拱任一截面的弯矩：下，三铰拱任一截面的弯矩：0 xxHMMF y0 xHMyFu上式表明，竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴的纵坐标上式表明，竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴的纵坐标 y 与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。u当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程，除以当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程，除以常数常数FH，即可得合理拱轴线方程。，即可得合理拱轴线方程。23p 示例fABCl/2l/2CABlqq试求均布荷载下的合理拱轴线220qxqlxMx028CHMqlFff0224()xHM

11、fylxqxFl 三铰拱在水平的均布荷载作用下，三铰拱在水平的均布荷载作用下，其合理拱轴线为二次抛物线其合理拱轴线为二次抛物线。 在合理拱轴的抛物线方程中，拱高在合理拱轴的抛物线方程中，拱高f 没有确定。具有合理高跨比的一组抛物没有确定。具有合理高跨比的一组抛物线都是合理轴线。线都是合理轴线。 24p 示例求图示对称三铰拱在拱上填料重量作用下的合理拱轴线。拱上荷载集度按q=qC+y变化，其中qC为拱顶处荷载集度，为填料容重。fABCl/2l/2qCq+fxy解：解：根据图示坐标系，三铰拱任一截面的弯矩为：0()kkHMMFfy由 M=0，有HMfyF0 由于荷载集度 q 随拱轴线纵坐标y 而变

12、，而 y 未知，故相应简支梁的弯矩方程M0 无法写出，因而不能由上式直接求出合理拱轴线方程。 为此，将上式两边分别对x求导两次，得 HkHRqdxMdRy 2021填土荷载下合理拱轴的微分方程25p 示例HCHRyqRqy 0 HCHRqyRyCHHqxRBxRAy)sinh()cosh(一般解为双曲函数 填土荷载作用下，拱的合理轴线为悬链线。填土荷载作用下，拱的合理轴线为悬链线。边界条件：0|0 xy0|0 xy 1)cosh(1Kmfy为便于应用，变换为另一种形式：列格氏悬链线26p 径向均匀荷载fABCl/2l/2q分析：非竖向荷载作用，不能应用内力计算式。假定拱处于无弯矩状态，根据平衡条件推求合理拱轴线的方程。试求图示三铰拱在垂直于拱轴的均布荷载作用下的合理拱轴线。27p 径向均匀荷载由 0OM0)d( NNN0dN 0S0d2dsin2qN取出一微段为隔离体，设微段两端横截面上弯矩、剪力均为零，而只有轴力N和NdN。N为常数由28p 径向均匀荷载