拉普拉斯逆变换(D)汇编

1、2第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 一、反演积分公式一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式逆变换公式 1. 公式推导公式推导 函数函数 的的 Laplace 变换变换 )(tf)()( jFsF 就是函数就是函数 的的 Fourier 变换，变换， ttutf e)()(.d)()()()(ee ttutfjFsFtjt 即即 .d)(21)()(ee tjtjFtutf在在 的连续点的连续点 t 处，有处，有 )(tf(2) 根据根据 Fourier 逆变换，逆变换， (1) 由由 Laplace 变换与变换与 Fourier 变换的关系可知，变换的关系可知， 推导

2、推导 3第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 一、反演积分公式一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式逆变换公式 1. 公式推导公式推导 在在 的连续点的连续点 t 处，有处，有 )(tf.d)(21)()(ee tjtjFtutf(2) 根据根据 Fourier 逆变换，逆变换， 推导推导 (3) 将上式两边同乘将上式两边同乘 并由并由 有有 ,et , js .d)(21)()(e jjt sssFjtutf . )0( t即得即得 ,d)(21)(e jjt sssFjtf 4第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 称称 (B) 式为式为反演积分公式反演

3、积分公式。 定义定义 该直线处于该直线处于 的存在域中。的存在域中。 ,Re s)(sF注注 反演积分公式反演积分公式中的积分路径是中的积分路径是 s 平面上的一条直线平面上的一条直线 c j j P227 ( ( 9.16 ) )式式 一、反演积分公式一、反演积分公式 Laplace 逆变换公式逆变换公式 2. 反演积分公式反演积分公式 根据上面的推导，得到如下的根据上面的推导，得到如下的 Laplace 变换对变换对: 5第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 二、求二、求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法1. 留数法留数法 利用留数计算反演积分。利用留数计算反演积分

4、。 则则 设函数设函数 除在半平面除在半平面 内有有限个孤立奇点内有有限个孤立奇点 cs Re)(sF定理定理 且当且当 时，时， s,0)(sFnsss,21外是解析的，外是解析的， , ,)(Rese1kt snkssF . )0( t jjt sssFjtf d)(21)(e证明证明 ( (略略) ) t seP227定理定理 9.2 ( (进入证明进入证明?)?)6第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 二、求二、求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法2. 查表法查表法 此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。 利用利用 Lapl

5、ace 变换的性质，并根据一些已知函数的变换的性质，并根据一些已知函数的 Laplace变换来求逆变换。变换来求逆变换。 大多数情况下，象函数大多数情况下，象函数 常常为常常为( (真真) )分式形式：分式形式： )(sF,)()()(sQsPsF 其中，其中，P(s) 和和 Q(s) 是实系数多项式。是实系数多项式。 由于真分式总能进行部分分式分解，由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用因此，利用查表法查表法 很容易得到很容易得到象原函数。象原函数。 常用常用 ( (真分式的部分分式分解真分式的部分分式分解) )7第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 二、求二、求 Lap

6、lace 逆变换的方法逆变换的方法2. 查表法查表法 几个常用的几个常用的 Laplace 逆变换的性质逆变换的性质 8第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 二、求二、求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法2. 查表法查表法 几个常用函数的几个常用函数的 Laplace 逆变换逆变换 9第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 )2( )1(15)( ssssF.21 sBsA(1) ( (单根单根) ) 解解 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 有有 (2) 由由 11as ,eta )()(1sFtf .322eett 21311211 ss2 3

7、 10第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 解解 方法二方法二 利用利用留数法留数法求解求解 .322eett (1) 为为 的一阶极点，的一阶极点， 2, 121 ss)(sF1ee2151,)(Res st st ssssF,2et 2ee1152,)(Res st st ssssF.32et (2) 2,)(Res1,)(Res)(eet st ssFsFtf 11第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 .)1(122 sCsBsA( (重根重根) ) 2)1( )2(1)( sssF(1) 解解 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 )()(1sFt

8、f .eee2tttt 1 1 1 有有 (2) 由由 11as ,eta 21)(1as ,etat P228 例例9.17 12第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 解解 方法二方法二 利用利用留数法留数法求解求解 (1) 分别为分别为 的一阶与二阶极点，的一阶与二阶极点， 1,221 ss)(sF22ee)1(12,)(Res st st sssF,2et 1)e(e21,)(Res st st sssF(2) 1,)(Res2,)(Res)(eet st ssFsFtf .eee2tttt .eettt 13第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 )3(

9、4)1()1()(22 ssssF(1) 解解 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 ( (复根复根) ) 3 sA,4)1(2 sCsB,2)1(2)1(22 sCsB, )3(2) 1(2) 1() 1(222 sCsBsAs令令 得得 ,3 s;2 A令令 得得 ,21is , )22( )22()22(2 iCBii,1,1 CB2 1 114第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 )3( 4)1()1()(22 ssssF解解 (1) 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 ( (重根重根) )3 sA,4)1(2 sCsB,2)1(2)1(22 sCsB2

10、1 1,2)1(22)1(13122222 ssss(2) 由由 11as ,eta 2212)1(1 ss,2cosett 2212)1(2 s,2sinett )()(1sFtf .2sin2cos2eee3ttttt 得得 15第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 解解 方法二方法二 利用利用留数法留数法求解求解( (略讲略讲) ) (1) 为为 的一阶极点，的一阶极点， iss21,33, 21 )(sF,23,)(Res3eett ssF .2121,)(Res)21(eetit siisF .2sin2cos2eee3ttttt (2) tititiitf)21()

11、21(3eee21212)( 16第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 解解 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 ,)1(1111)(2 ssssF.1)(eettttf 方法二方法二 利用利用留数法留数法求解求解 1,)(Res0,)(Res)(eet st ssFsFtf 分别为分别为 的一阶与二阶极点，的一阶与二阶极点， 1,021 ss)(sF 02)1(est ss1)e( st ss.1eettt 17第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 轻松一下18第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 利用留数计算反演积分的定理证明利用留数

12、计算反演积分的定理证明 附：附： 证明证明 如图，作闭曲线如图，作闭曲线 ,RCLC 大时，可使大时，可使 的所有奇点包含的所有奇点包含 t ssFe)(当当 R 充分充分 在在 C 围成的区域内。围成的区域内。 R L CR 解析解析 Rj Rj 由留数定理有：由留数定理有： Ct sssFd)(e, ,)(Res2e1kt snkssFi RCt sLt sssFssFd)(d)(ee由若尔当引理由若尔当引理(5.3), 当当 时，时， 0 t,0d)(lime RCt sRssF. ,)(Rese1kt snkssF jjt sssFj d)(21e即得即得 ( (返回返回) )19第九

13、章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 将上式两边同乘以将上式两边同乘以 得得 )(as )()()()(1assQassP , )()()(11assQsPA 1. Q(s) 含单重一阶因子的情况含单重一阶因子的情况 , )()()(1sQassQ , )(as 若若 Q(s) 含单重一阶因子含单重一阶因子 即即 )()()(sQsPsF )()()(1sQassP asA ,)()(11sQsP 则则 将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式 附：附： )(/ )()(sQsPsF ,as assQsPA )()(1.)()(1aQaP 令令 即得即得 20第九章

14、拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 2. Q(s) 含多重一阶因子的情况含多重一阶因子的情况 ,)(mas , )()()(2sQassQm 若若 Q(s) 含多重一阶因子含多重一阶因子 即即 )()()(sQsPsF )()()(2sQassPm 则则 ,)()()()(221110sQsPasAasAasAmmm 将上式两边同乘以将上式两边同乘以 得得 mas)( 1110)()(mmasAasAA)()(22sQsP,)(mas )()(2sQsP将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式附：附： )(/ )()(sQsPsF 21第九章 拉普拉斯变换 9.3 La

15、place 逆变换 2. Q(s) 含多重一阶因子的情况含多重一阶因子的情况 ,as 两边逐次求导，并令两边逐次求导，并令 即得即得 ,as assQsPA )()(20,)()(2aQaP 令令 即得即得 askkksQsPskA )()(dd!12. )1,2,1( mk 1110)()(mmasAasAA)()(22sQsP,)(mas )()(2sQsP将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式附：附： )(/ )()(sQsPsF 22第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式附：附： )(/ )()(sQ

16、sPsF 上面讨论了上面讨论了 含单重和多重一阶因子的情况，如果是含单重和多重一阶因子的情况，如果是 )(sQ在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。 但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。 即如果复数即如果复数 为为 的零点，那么它的共轭复数的零点，那么它的共轭复数 jbaz )(sQ也必为也必为 的零点。的零点。 jbaz )(sQ因此，因此， 必含有必含有( (实的实的) ) )(sQ 由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的，由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的，

17、下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。 .)(22bas )(zszs 二阶因子二阶因子 23第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 , )()()(322sQbassQ )()(3sQsPbDasC )()()(33sQsP , )(22bas )()()()(322sQbassPsF 22)()(basbDasC)()(33sQsP则则 ,)(22bas 将上式两边同乘以将上式两边同乘以 得得 3. Q(s) 含单重二阶因子的情况含单重二阶因子的情况 将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式附：附： ,)(22bas 若若 Q(s) 含单重二阶因子含单重二阶因子 即即 )(/ )()(sQsPsF 令令 ,bjas )()(3jbaQjbaP ,bDjbC 有有 24第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 3. Q(s) 含单重二阶因子的情况含单重