高数空间曲线及其方程

1、 第七七章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazyxzao二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数

2、t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.)(txx )(tyy )(tzz 圆柱螺线圆柱螺线P同时又在平行于同时又在平行于z轴的方向轴的方向等速地上升。等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面圆柱面222ayx yz0 xa x = y =z =acos tbtM(x,y,z)asin ttM螺线从点螺线从点P Q当当 t 从从 0 2 ，bPQ 2叫螺距叫螺距N.Q（移动及转动都是等速进（移动及转动都是等速进行，所以行，所以z与与t t成正比。成正比。) )点点P在圆柱面上等速地绕在圆柱面上等速地绕z轴旋转；轴旋转；例例1. 将下列曲线化为参数方程表示:6321) 1 (

3、22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTz

4、yxCC 。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 22222 yxzyxz1. 11 22zyx解解yxzo得交线得交线L：由由z =021 11 22zyxyxzo解解122 yxL 所求投影曲线为所求投影曲线为122 yx 01 22zyx.得交线得交线L：.投影柱面投影柱面 22222 yxzyxz由由。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz zyxC1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxCzxyo1C又如又如, ,

5、所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0, 122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 . L:xz y0( ) 消去消去zy2 = 4x y2 = 4x 2222244 3812yzxzyzx 将将换换其其成成线线投投影影柱柱面面的的交交例例 2222244 3812yzxzyzx 将将换换其其成成L:xz y0( )线线投投影影柱柱面面的的交交 消去消去z(消去消去x ).y2+(z 2)2 = 4y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x y2

6、= 4x 例例 L：L:xz y0L转动坐标系，有下页图( )转动坐标系，有下页图. 消去消去z(消去消去x ).y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x 2222244 3812yzxzyzx 将将换换其其成成线线投投影影柱柱面面的的交交例例 L：Lxz y0y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x (消去消去z)y 2 + (z 2)2 = 4 (消去消去x)y2 = 4x 例例 666x+y+z=63x+y=62作图练习作图练习x0z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的

7、立体图666x+y+z=63x+y=62.x0z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图作图练习作图练习3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图作图练习作图练习3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图作图练习作图练习42x+y+z=6.x0

8、z y666 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图作图练习作图练习42.x0z y666 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图作图练习作图练习aa 所围立体图所围立体图作出曲面作出曲面 z ,y,x,azxayx， xz y0作图练习作图练习z = 0y = 0 x = 0aaxz y0 所围立体图所围立体图作出曲面作出曲面 z ,y,x,azxayx， 作图练习作图练习.aaxz y0 所围立体图所围立体图作出曲面作出曲面 z ,y,x,azxayx， 作图练习作图练习.a2222 1 1 zxyxyz围围图图作作出出曲曲面面和和所所立立体体形形 111yx0作图练习作图练习z 22yxz122zyxyxz1