南航考研信号与系统6完整版

1、6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法 一线性非时变系统可用线性常系数微分方程表示，所以H(s)的一般形式可表示为：01110111)(asasasabsbsbsbsHnnnnmmmm这种形式不能直观地看出系统的特性，所以，常根据不同的需要用图示的方法来表示，常用的有三种：1、频率特性、频率特性若系统是稳定的，则： )()()(,)()(jjsejHjHjHsH 相频特性幅频特性，)()(jH2、复轨迹、复轨迹将H(j)写成实部和虚部的形式：H(j)=U()+jV()以为U()横坐标，V()为纵坐标作出的图称为复轨迹复轨迹。3、极零点表示、极零点表示01110111)()()(asasasa

2、bsbsbsbsDsNsHnnnnmmmm个极点称个根：有个零点称个根：有若npppnsDmzzzmsNnm,0)(,0)(2121nmnmabHpspspszszszsHsH021210,)()()()()(则 可见一个系统的极点零点确定后，系统函数就基本确定了。若再确定H0，则H(s)就完全确定。但H0为常数与变量s无关，仅是一个比例因子而已。6.3 系统函数极点和零点的分布系统函数极点和零点的分布 极点、零点或位于s平面的实轴上，或以一对共轭复根的形式出现，或是r阶重根（也称r阶极点或零点），总之它们是对称于实轴的。 1、系统函数一般有n个有限有限极点和m个有限有限零点； 0)(2nnm

3、msssasblimsHlimmn时、阶零点；处有一个说明在)(mnsnnmmsssasblimsHlimnm)(3时、阶极点；处有一个说明在)(nms4、极、零点数目相等；5、稳定系统的极点必位于左半平面，虚轴上可有一阶极点存在；6、两个特殊的点s=0，s= 根据复变函数理论，认为它们是在虚轴上的，因此系统稳定在s=0，s=只能有一阶极点，即：若mn 则 m-n1。6.4 系统函数极点、零点与系统频率系统函数极点、零点与系统频率特性的关系特性的关系 一、H(s)的矢量表示 nmnmabHpspspszszszsHsH021210,)()()()()(则其中的s，z，p都可用矢量表示，进一步(

4、s-z)，(s-p)也可表示为矢量。对于稳定的系统： jssH)()()()()()(21210nmpjpjpjzjzjzjHjH显然(j-z)，(j-p)也是可以表示为矢量的，将它们表示为模和复角的形式： jjeAeApj称极点矢量，简记为)()(jjeBeBzj称零点矢量，简记为)()(H(j)可写为： )()(110)(21210)()(112121jjnkkmiijnmejHeABHeAAABBBHjHnkkmiinmnkkmiinkkmiiABHjH11110)()(，其中当沿虚轴变化时|H(j)|，()也随之变化。因此，由系统函数的矢量图可以估计出系统的幅频特性和相频特性曲线。例：

5、系统函数的极、零点分布如图所示，估计其幅频与相频特性曲线。二、全通网络二、全通网络稳定系统的极点不能在右半平面，但零点可在右半平面。如果极点零点关于虚轴镜象对称，则|H(j)|=H0（常数）于频率无关，称全通网络。如图所示，画出了有两个极点和两个零点的网络，显然A1=B1 , A2=B2，所以，|H(j)|=H0 （常数）。三、最小相移网络三、最小相移网络全部极点和零点位于左半平面（包括虚轴）称最小相移网络最小相移网络，否则为非最小相移网络非最小相移网络。最小相移网络的相位变化量要比非最小相移网络的相位变化量小，因此得名 。6.6 系统的稳定性系统的稳定性 关于系统稳定性的问题，同学们并不陌生

6、我们已多次提到。因为，不稳定的系统不能有效地工作，所以，设计一个系统一般都希望系统是稳定的。这样判别一个系统是否稳定就成为一个设计者必须考虑的问题。本节首先讨论系统稳定的充分必要条件，然后进一步介绍线性非时变系统稳定的判别方法。 一、系统的稳定及其充分必要条件 1、系统的稳定与冲激响应、系统的稳定与冲激响应2、系统的稳定与系统函数、系统的稳定与系统函数H(s) H(s) 的所有极点在s平面的左半平面则系统稳定；在虚轴上有一阶极点则临界稳定；在s平面的右半平面有极点存在则不稳定。3、系统稳定的充分必要条件、系统稳定的充分必要条件所谓系统稳定是指有限（有界）的激励只能产生有限（有界）的响应的系统。

7、有限的激励也包括激励为零的情况。用数学式子表达：若激励 |e(t)|Me -t 则响应 |r(t)|Mr -t 其中Me ，Mr 为有限的正实数。 由前面的讨论我们可以直观地看到要系统稳定必须h(t)绝对可积。 dtth )(可以证明，它不仅是充分条件还是必要条件。 dhMthMthtetrthtetree)()()()()()()()(dtehtrtethththsgnte)()()()(0)(0)(11)()(则是有界的显然设dhdehr)()()()0(如果h(t)不绝对可积必引起系统的不稳定，所以，必须满足 dtth )(4、渐近稳定与临界稳定、渐近稳定与临界稳定（1）h(t)绝对可积

8、，应满足 0)(thlimt（2）h(t)可允许有孤立的冲激函数存在，除此之外h(t) 应是有限的，即： 为有限的正整数MtMth)(满足上述条件的系统称渐近稳定渐近稳定。 另一种情况是H(s)在虚轴上有一阶极点，是理想化的无耗系统，例如纯LC网络，其冲激响应h(t)为直流或等幅的正弦振荡，显然是不满足绝对可积条件的，但响应是有限的，并且这种系统是常见的低耗无源系统的近似，我们也把它看成是稳定的。为了区别于渐近稳定把这种情况称为临界稳定临界稳定。5、系统稳定的必要条件、系统稳定的必要条件若系统特征多项式为： 011,aaaann0111)(asasasasDnnnn系统稳定的必要条件：（1）系数011,aaaann同号（2）系数非零（多项式不缺项）如果所有根的实部为负，我们可以得出以下结论：1、多项式各系数均为同号，且不为零；2、若 a0=0而其它系数不为零，则有一个根为零系统为临界稳定；3、若全部偶次项或奇次项的系数为零，则所有根的实部为零，说明所有根在虚轴上，如果是单阶的系统也属临界稳定。所以在特征多项式中系数不同号或有缺项，立即就可判定它有实部为正的根，因而系统不稳定。但反之不成立！但反之不成立！ 例如：系统的特征方程为 06223sss虽然系数同号且没有缺项，但我们不能得出系统稳定的结论。因为容易求得它有三个根： 2321,23j显然系统不稳定。对于这