数列求和方法归纳之欧阳语创编

1、数列求和时间：2021.03.01创作：欧阳语直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n项和：1+2+3+/)21+3 + 5 + (2=12 +22 +32 +n2 =/?(/? +1)(2/?+ 1)6F + 2* +33 +n3=n(n + )2-等.例1求+ 22 - 32 + 42 - 52 + 62 992+1002 =(22-12) + (42-32)+(62-52) + . + (1002-992) = 3+7 + 11 + -. + 199 由等差数列求和公式，得原式=50x(199) =505().变式练习：已知log3X= I求x + x+x，+ + 的刖碣3n项和.

2、1解：1 戶二. 倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导”目的在于利 用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简 后求和.例丄 求l7?而+歹苻+齐庐+而TF的和102102+12102102+12+F+9r+F+F+*I2+ 102+12解:设$ =F T 3212+10z+ 22 +92 +32 +82两式相加,得 2S = l + l+ + l = 10.S=5 三. 裂项相消法常见的拆项公式有1n(n + k)1 _ 1 (2/?-l)(2n + l) 22n + 例 3 已知l2+22+-.+ w2=ln(w + l)(2n + l) # 6求富 + 二t+i，；+

3、 (NJ 的和r r+2- r+2- +3-r+2+,厂侶2/1 + 12n + 6/Dr *;r =i1+2-+ + 匕心+ 1)7 + 1)如 + 1) 6小结:如果数列丽的通项公式很容易表示成另一个数列他啲相邻两项的差；即=bll+l-bH ,则有sn,这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列丄1x31 124 35n(n + 2)的前n项和S.解：丫詁矿抖诂)Sn = + 2)1 12n+T3 114 2/z+ 2 2舁 + 4四. 错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如仗如的数列，其中心为等差数列，心为等比数列，均可用此法.例 4 求 x + 3x2 + 5x +

4、+ (2n - l)x的和解：当21时,S产亠2凡1川)_(2 1).严；当x = 1时，1-x(1-x)1-xS” = n 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列 如的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和公 式求和.为常数)的前n变式练习：求数歹(J a/2a2,3a3,4a4/./nan,.(a项和。解：(1 )若 a=Oz 贝！J Sn=0 ( 2 )若 a = l,则 Sn=l+2 + 3+. + n=心 + 1)2(3 )若 a#0 且 a#l贝！J Sn=a+2a2+3a34-4a4+ . + nan , .aSn= a2+2 a3+3 a4+. + nan+

5、1守二 严*.(1 -a) Sn二a+ a2+ a3+ . +an-nan+1=.Sn=匕嘆_仝当a=0时,此式也成亠 (1 一 ) 1一0Sn =五.分组求和(1)2 1-伫(心)a若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例5求数列2：,4$62,2卄吕，的前”项和S“4 o 1 o2变式练习:求数列1扣討寻4右,的前77项和数列求和基础训练1 等比数列叩的前n项和Sn=2n- 1 z则2设 S/-1 + 3-5 + 7-+ (-1)(2h-1) z 则 S” 二(-1)” J111n+=1x4 4x7? - 2)x(3n + l) 3料 + 1一1111_ If 1111+

6、| 24 35 46(;? + l)(n + 3)2 2 3 n + 2 / + 35.数列 1,(1 + 2),(1 + 2 + 2,(1 + 2 + 22 + + 2心), 的通项公式5 = 2”1 .前 77项和S” _26.1 A2222 23斗二,:的前n项和为3-罗数列求和提高训练1 .数列对满足: = 1,且对任意的m, /7WN*都有:舫+ /?= am 3n+ mn，贝!J丄+丄+丄+ = ( A )Cl ai Cl32008A 4016 g 2008 c 2007 p 2007 2009* 2009 1004* 2008B : ：amn- an+ mn t .an+1 =

7、an+ n= +利用叠加法得到=2( _)n(n +1) H n + = 2(1 丄 + 丄一丄 +2(1 !)2 232008200920094016_ 2009 2数列、&都是公差为1的等差数列，若其首项满足7 + 5 = 5, a1bll 且乳 &WNJ 则数列%前 10项的和等于(B)A 100B 85C 70D 55角军:an- ai + n - 1 t bn = bi + n - :L他=ai + bn = G + (Z?i + nl)l = ai + Z?i + /7-2 = 5 + /7-2 = /7+3 贝!J数歹!J %也是等差数列，并且前10项和等于：耳x 10 = 85

8、答 案：B.3 设 /77=1 X 2+2 X 3 + 3 X 4+ . 4-(/7-1) /?,则 m 等于 (A )A 空匕 B丄/7(/7+4)C丄加/7+5) D.1/X/7+7)3 2223 解：因为為二川/7,则依据分组集合即得答案;A4 若 S=l-2 + 3-4+. + (-l)n_1*/7 ,则 S17+S33 + S50 等于 (A )存k”为奇)“解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：9= 2 答三(“为偶)2案：A5设对为等比数列,切为等差数列，且坑二0心=日门+ 若数列G是1J2，则G的前10项和为 (A )解由题意可得心,设公比为g公差为d则阳：=2:.cf-2q=0

9、, g#0/.,.g=2z/.an=2,7_1/Z?/?=(l)(-l)=l-n,/. u/?=2/7+lfVS=978答案:A6. 若数列对的通项公式是=(-切(3门2),则彳+日2+ . + . + （/7-l）2=a/73+Z?/72+c/7,贝0 a=rb=fc=.解：原式二（it 一 1）/? （2n 一 1）6 =2/?3 -3n2 +n61 1 1 3，_269 .已知等差数列禺的首项7 = 1”公差d0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列5的第二、三、四项求数列仙与细的通项公式；(2)设数列6对任意自然数均監+比+ +严” 成立求6 + G + G + C2014的值解

10、：由题意得6+6（彳+ 136 = 6 + 462（0）解得d=2 , .an=2n- 1 ,可得 bn=3n1当77=1时，61= 3 ；当n2时，由讣得Cn= 2 3n l ,故q=2）.+ + 2 X 32002 二 32015 10.设数列伽为等差数列，Sn为数列為的前n项和，已知S7 = 7,515 = 75 z 7；为数列冷的前/7项和,求Tn.解析设等差数列禺的首项为G ,公差为，则5,=门G + 1/7（/7 - V）d:Si = 7 , Si5 = 75 z；日1 + 3c/= 1 ,日 1 + 7c/= 5 ,；7曰1 + 21二7 ,G= - 2 zd- 1.1 1/尹2+尹1)加Sn+1151 + 1057= 75 ,SI1:二厂二数列Cd是首项为-2，公差为的等差数19歹0 .7；二才Z72肓77.211 已知数列的首项曰1 =亍，证明:数列是等比数列;求数列偌的前项和Sn解析(l)v+i = r，十11 為+11111-111