高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件 新人教B版选修2-1

1、1第二章 2.4 抛物线2.4.2抛物线的几何性质21.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.学习目标3题型探究问题导学内容索引当堂训练4问题导学5思考知识点一抛物线的范围观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？答案6抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.7思考(2)根据图形及抛物线方程 y22px(p0

2、)如何确定横坐标x的范围？所以抛物线x的范围为x0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.答案8梳理梳理抛物线y22px(p0)中，x ，y .抛物线y22px(p0)中，x ，y .抛物线x22py(p0)中，x ，y .抛物线x22py(p0)中，x ，y .0，)(，)(，0(，)(，)0，)(，)(，09知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F( ，0)F( ，0)F(0， )F(0， )准线

3、方程xxyy顶点坐标O(0,0)离心率e1通径长2p10知识点三直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组 解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数. 当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0时，直线与抛物线有 个公共点；若0).p6.抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3或x3.14引申探究引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.解答15由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)

4、，所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为4，16用待定系数法求抛物线方程的步骤反思与感悟17解答跟踪训练跟踪训练1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交于A，B两点，|AB|2 ，求抛物线方程.18由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2ax(a0).设抛物线与圆x2y24的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称，点A与B关于x轴对称，得x234，x1，所求抛物线方程是 y23x或y23x.19类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题例例2(1)过抛物线 y28x的焦点，倾斜角为45的

5、直线被抛物线截得的弦长为_.由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2，代入y28x得(x2)28x，即x212x40.所以x1x212，弦长为x1x2p12416.答案解析1620(2) 直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_.答案解析xy10或xy1021抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意，可设所求直线l的方程为yk(x1).得k2x2(2k24)xk20，所求直线l的方程为xy10或xy10.22(3)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|A

6、B|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_.抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为 ，又准线方程为x1，因此点M到抛物线准线的距离为 .答案解析23反思与感悟(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：24(2)已知AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.25(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂

7、直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.26跟踪训练跟踪训练2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；解答27若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，所以|AB|538.28(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离.解答设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1 x2x1x2px1x23，所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x ，所以M到准线的距离等于3 .29类型三抛物线综合问题命题角度命题角度1与抛物线有关的最

8、值问题与抛物线有关的最值问题例例3抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1,0)，求 的最小值.解答30抛物线 y24x的准线方程为x1，如图，过点P作PN垂直x1于点N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为yk(x1)，得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，31反思与感悟(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到

9、直线的垂线段最短”来解决.32 跟踪训练跟踪训练3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线 y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是答案解析由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线.由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离.故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即d 2.33命题角度命题角度2定值或定点问题定值或定点问题例例4抛物线y22px(p0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|

10、MF|，|BF|成等差数列.(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；证明34设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，即t(xx0p)yp0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0p,0).35(2)若|MF|4，|OQ|6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.解答由|MF|4，|OQ|6，得x0 4，x0p6，联立解得p4，x02.抛物线方程为y28x.36反思与感悟在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等

11、.37跟踪训练跟踪训练4在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点， 4，求证：直线l必过一定点.证明设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.又 x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又 4，b24b4，解得b2，故直线过定点(2,0).38当堂训练391.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为答案解析所以y28x，所以焦点F的坐标为(2,0)，12

12、345402.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为答案解析抛物线y22x的焦点为F( ，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离，因此所求距离之和的最小值为 .1234541123453.过抛物线 y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|_.答案解析8易知抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义易得|AB|8.42123454.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.答案解析243设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，易知过抛物线y22px(p0)的焦点F，得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.即(2p)24(p2)32.又p0，p2.12345445.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK| |AF|，则AFK的面积为_.123458答案解析