高考必做解答题――概率统计题

1、高考必做解答题概率统计题 随机事件的概率、古典概型和几何概型 （）必做1 某人居住在城镇的a处，准备开车到单位上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车时间的概率如图1（例如acd算两个路段：路段ac发生堵车事件的概率为，路段cd发生堵车事件的概率为）请你为其选择一条由a至b的线路，使途中发生堵车的概率最小 图1 精妙解法 由a至b的线路有三种选择：acdb，acfb，aefb 按线路acdb来走，发生堵车的可能包括：三个路段中恰有一个发生堵车，或恰有两个发生堵车，或三个均发生堵车，其反面为三个路段均不发生堵车事件 故途中发生堵车的概率为：11

2、11=. 同理，按线路acfb来走，途中发生堵车的概率为：1111=；按线路aefb来走，途中发生堵车的概率为：1111= 由于，故选择acfb的线路，途中发生堵车的概率最小 （）必做2 某市有a、b两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动 经上级研究决定：向甲地派出3名a校教师和2名b校教师，向乙地派出3名a校教师和3名b校教师 由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区 （1）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率； （2）求互换后a校教师派往甲地区人数不少于3名的概率 精妙解法 （1）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件e，

3、有以下两种情况： 互换的是a校的教师，记此事件为e1，则p（e1）=； 互换的是b校的教师，记此事件为e2，则p（e2）= 则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为p（e）=p（e1）+p（e2）=+= （2）令“甲地区a校教师人数不少于3名”为事件f，包括两个事件：“甲地区a校教师人数有3名”设为事件f1；“甲地区a校教师人数有4名”设为事件f2，且事件f1，f2互斥 则p（f1）=+=；p（f2）= 甲地区a校教师人数不少于3名的概率为p（f）=p（f1）+p（f2）=+= （）必做3 已知函数f（x）=x3（a1）x2+b2x，其中a，b为实常数， （1）若任取a0，1，2，3，4

4、，b0，1，2，3，求函数f（x）在r上是增函数的概率； （2）若任取a0，4，b0，3，求函数f（x）在r上是增函数的概率 破解思路 函数在r上单调递增，说明其导数值不小于零是条件 第1问中（a，b）取值个数有限，是古典概型；第2问中（a，b）的取值个数无限，是几何概型，把（a，b）看做坐标平面上的点，就构造出了基本事件所在的面，只要算出随机事件在这个面内占有的面积即可 精妙解法 f （x）=x22（a1）x+b2 若函数f（x）在r上是增函数，则f （x）0在r上恒成立，所以对f （x）=x22（a1）x+b2，恒有=4（a1）24b20，即a1b （1）设“f（x）在r上是增函数”为事件

5、a，其对应区域为（a，b）a1b 因为a1，2，3，4，b1，2，3，所以（a，b）的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），共计12种 那么满足“f （x）0恒成立的要求”的（a，b）的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（4，3），共计9种， 所以其概率为p= （2）设“f（x）在r上是增函数”为事件b，对应区域为（a，b）a1b，全部试验结果构成的区域=（a，b）0a4，0b3，如图2： 图2 所以s阴

6、影=341133 又s=34，所以p（b）= 金刊提醒 求解古典概型由三步完成：第一步求解试验所有基本事件数n；第二步求解随机事件a包含的基本事件数m，该步同学们要认真审题，理顺已知条件以及隐含条件，对复杂问题应采取分类讨论的策略，各个击破，但要不重不漏；第三步运用古典概型计算公式p（）. 同时，牢记互斥事件的加法法则“若事件a与b互斥，则p（）=p（）（）”，对立事件的减法法则“p（）（）”，以及独立事件的乘法法则“若事件a与b相互独立，则p（）（a）p（b）”. 离散型随机变量的分布列、期望与方差 （）必做4 某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅

7、有一个是正确的） 评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分 某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜 对于这8道选择题，试求： （1）该考生得分为40分的概率； （2）该考生所得分数的分布列及数学期望e 精妙解法 （1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以得40分的概率为p= （2）依题意，该考生得分的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做

8、对了四道题，其余各题都做错，故所求概率为p（=20）=；同样可求得得分为25分的概率为p（=25）=c+=；得分为30分的概率为p（=30）=；得分为35分的概率为p（=35）=；得分为40分的概率为p（=40）= 于是的分布列为： 故e=20+25+30+35+40=，该考生所得分数的数学期望为 （）必做5 某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用a、b、c三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下 假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据， （1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率； （2）考虑到旱情和水土流失，如果甲

9、地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只需小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望e 精妙解法 （1）记“甲、乙、丙三地都恰好为中雨”为事件m，根据人工降雨模拟试验的统计数据，得到用a，b，c三种降雨方式为中雨的概率分别是， 因为甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，所以甲、乙、丙三地都恰好为中雨的概率p（m）= （2）设甲、乙、丙三地降雨量达到理想状态的概率分别是p1，p2，p3，则p1=，p2=，p3=+= 的可能取值为0，1，2，3，p（=0）=，p（=1）=+=，p（=2）=+=，p（=3）=，

10、 所以e=0+1+2+3= 极速突击 解决此类题目的思路是“正确求解随机变量的取值列出的分布列计算期望e=xipi” 金刊提醒 求离散型随机变量的数学期望和方差，必须先求出其分布列，然后套用公式ex=xipi和dx=（xie）2pi. 抽样方法与总体分布的估计 （）必做6 某校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图3是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为321 （1）请完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在

11、笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官a面试，求第4组至少有一名学生被考官a面试的概率 精妙解法 （1）由题意知第1、2组的频数分别为：1000.015=5，1000.075=35 故第3、4、5组的频数之和为：100535=60，从而可得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1，其频率分布直方图如图4 （2）由第3、4、5组共60人，用分层抽样抽取6人 故第3、4、5组中应抽取的学生人数依次为：第3组：6=

12、3人；第4组：6=2人；第5组：6=1人 （3）由（2）知共有6人（记为a1，a2，a3，b1，b2，c）被抽出，其中第4组有2人（记为b1，b2） 有题意可知：抽取两人作为一组共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（a3，b1），（a3，b2），（a3，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）共15种等可能的情况，而满足题意的情况有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）共9种，因此

13、所求事件的概率为= （）必做7 某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图5 图5 （1）求获得参赛资格的人数； （2）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩； （3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望 精妙解法 （1）由频率分布直方图得，获得参赛资

14、格的人数为500（0.0050+0.0043+0.0032）20=125人 （2）设500名学生的平均成绩为，则=（0.0065+0.0140+0.0170+0.0050+0.0043+0.0032）20=78.48分. （3）设学生甲每道题答对的概率为p（a），则（1p（a）2=，所以p（a）= 学生甲答题个数x的可能值为3，4，5，则p（x=3）=+=，p（x=4）=c+c=，p（x=5）=c= 所以x服从分布列 （）=3+4+5= 金刊提醒 近几年高考试卷往往有机地将统计与概率综合考查，首先以统计图表呈现数据，考查对茎叶图、频率分布表和频率分布直方图的认识，然后通过分层抽样，并对抽样的数

15、据进行分析，考查各类分布列. 回归分析与独立性检验 （）必做8 数学课程改革试验中，某数学教师分别用a、b两种不同的教学方式实验甲、乙两个高一新班（均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样） 现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末市统考成绩，得茎叶图（如图6）： 甲班 乙班 2 9 0 1 5 6 8 6 6 3 2 1 8 0 1 2 5 6 6 8 9 8 3 2 2 1 7 3 6 8 9 8 7 7 6 6 5 7 9 9 9 9 8 8 5 图6 （1）依茎叶图判断哪个班级的平均分高； （2）学校规定：成绩不低于85分为优秀，请填写下面22列联表，并判断能

16、否以97.5%的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”； （3）现从乙班数学成绩不低于85分的同学中随机抽取2人，成绩不低于90分的同学奖100元，否则奖50元，记x为这2人所得的奖金和，求x的分布列和数学期望 参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d 参考数据： 精妙解法 （1）甲班数学成绩集中于6090分之间，而乙班数学成绩集中于80100分之间，所以乙班的平均分高 （2） k2=5.5845.024因此有97.5%的把握认为“成绩优秀与教学方式有关” （3）依题意知x=100，150，200，p（x=100）=，p（x=150）=，p（x=200）=，所以x的分布列为 e（x）=100+150+200=150 （）必做9 产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有对应的数据关系，如表8所示. 表8 （1）画出表中数据的散点图； （2）求出y对x的回归直线方程； （3）若广告费为9万元，则