排列组合常见题型及解题策略

1、排列组合常见题型及解题策略一. 可重复的排列求幕法： 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例11( 1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方 法(2) 有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果(3) 将3封不同的信投入 4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：(1) 34 ( 2) 43(3) 43【例21把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】

2、：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有 76种不同方案【例31 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有()A、83 B、38 C、A D、C83【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有83种不同的 结果。所以选A二. 相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列【例11 A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果 代B必须相邻且B在A

3、的右边，那么不同的排法种数有【解析1 ：把 代B视为一人，且 B固定在A的右边，则本题相当于 4人的全排列，A： 24种【例21 (2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位女 生中有且只有两位女生相邻， 则不同排法的种数是 ( )A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析1 :间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，c3a；a4a；=432种，其中男生甲站两端的有 A2c2A2AfA2 = 144，符合条件的排法故共有 288三. 相离问题插空法 ：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把

4、规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端【例11七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为 A种，再用甲乙去插6个空位有 A种，不同的排法种数52是 A；Af23600 种【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有 6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）1 1 1【解析】：人7人8人9=504【例3】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为=3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙

5、必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有=20种不同排法。【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加 3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变， 则该晚会的节目单的编排总数为 种.【解析】：a9a10a11=990【例6.马路上有编号为1, 2, 3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条

6、件的关灯方案有多少种【解析:把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C；种方法，所以满足条件的关灯方案有 10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决【例73个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种【解析:解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A3, O * O*O*O,在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有 A4种，所以每人左右两边都空位的排法有A4A3=24.解法2:先拿出5个椅子排成一排，在 5个椅子中间出现4个空，* O*O* O* O*再让3个人每人

7、 带一把椅子去插空，于是有 A3=24种.【例8停车场划出一排12个停车位置，今有 8辆车需要停放要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种【解析:先排好8辆车有A；种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有c9种方法，所以共有 c9a8种方法.注：题中*表示元素，o表示空.四 元素分析法（位置分析法） ：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素； 再排其它的元素。【例 1】 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，

8、其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （）A. 36 种 B. 12 种C. 18种 D. 48 种【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。A 23A33 36方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法 36 种，选 A.【例 2】 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种【解析】：老师在中间三个位置上选一个有 a1种，4名同学在其余4个位置上有a4种方法；所以共有 A31A44 72种。 .【例 3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种【解析】 法一： A

9、15A66 3600 法二： A62 A55 3600 法三： A77 A66 A66 3600 五多排问题单排法： 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【例 1】（1） 6 个不同的元素排成前后两排，每排 3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36 种 B 、120 种 C 、720 种 D 、1440 种（2）把 15 人分成前后三排，每排 5人，不同的排法种数为55555 3155553（A） A15A10（ B） A15 A10 A5 A3 （C） A15 （D） A15A10A5 A3（ 3 ）8个不同的元素排成前后两排，每排 4个元素，其中某 2个元素要排在前排，某

10、1 个元素排 在后排，有多少种不同排法【解析】 （： 1）前后两排可看成一排的两段， 因此本题可看成 6个不同的元素排成一排， 共 A66 720种，选 C.（2）答案： C（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A2种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有 A.种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故有凡代A 5760种排法.五定序问题缩倍法（等几率法） ：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法【例1 . A, B,C,D,E五人并排站成一排，如果 B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么 不同的排法种数是（）【解析:B在A的右边与B在A的左

11、边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数1的一半，即A 60种2【例2书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有 6本书的顺序，有多少种不同插法1【解析:法一：Ag法二：A AA6【例3将A、BC、D、E、F这6个字母排成一排，若AB、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A B C允许不相邻），有多少种不同的排法【解析:法一：A；法二：A3六标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成【例1 将数字1, 2, 3, 4填入标号为1, 2, 3, 4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格 的标号与所填数字

12、均不相同的填法有（）A 6种 B 、9种 C、11种 D、23种【解析:先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X 3X 1=9种填法，选B.【例2编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）A 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60种【解析答案：B【例3：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种【

13、解析:设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、do第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取 b，则乙的取法可分两类：（1）乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2）乙取c或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有3 （1 2） 9种分配方式。故选（B）【例4：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有（）（A） 60 种（B） 44 种（C） 36 种（D） 24 种【解析答案：B六不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的书按下列

14、分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1本，一个人2本，一个人3本;（3）分成每组都是2本的三个组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人 2本；（5）分给5人每人至少1本。【解析】(1)c6dcl(2)c6c5c33aI(3)(5)2 11111c5c5c4c3c2c1【例2】将4名大学生分配到 3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）【解析】：第一步将4名大学生按，2, 1, 1分成三组，其分法有；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有说明：分配的元素多于对象且每

15、一对象都有元素分配时常用先分组再分配【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A） 150种（B）180 种（C）200 种（D）280 种【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有=60种，若1,1,3，则有=90种，所以共有150种，选A【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）A. 70B. 140C. 280D. 840【解析】：（A ）【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）（A）3 0种（B）9 0种（C）1

16、8 0种（D） 2 7 0种【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将 3组分到3个班，共有 种不同的分配方案，选 B.【例6】某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（）种 A . 16B. 36 c . 42 D . 60【解析】：按条件项目可分配为与的结构， 故选 D;【例7】（1） 5本不同的书，全部分给 4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种 B 、240种 c 、120种 D 、96种 【解析】：答案：

17、B .4人，则不同的分配方案10人中选出4人承担这三（2） 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口有多少种【解析答案：铁紳【例8】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从项任务，不同的选法种数是（)A 、 1260 B 、 2025 C 、 2520 D 、 5040【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有CCst； 2520种，选C.【例9.某高校从某系的10名优秀毕业生中选 4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同

18、派遣方案【解析:因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： 若甲乙都不参加，则有派遣方案A84种； 若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A方法，所以共有3A3 ； 若乙参加而甲不参加同理也有3A83种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再 安排其余8人到另 两个城市有a2种，共有7A2方法所以共有不同 的派遣方法总数为A4 3A? 3A83 7A4088 种【例10四个不同球放入编号为 1, 2, 3, 4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种【解析:先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C：种，再排：在四个盒中每次排3个有A3种

19、，故共有C4A3 144种.【例1 ：把20个相同的球全放入编号分别为 少于其编号数，则有多少种不同的放法【解析:向1, 2, 3号三个盒子中分别放入七相同元素的分配问题隔板法:1, 2, 3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不0, 1, 2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C162 120种。【例2 10个三好学生名额分到 7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案【解析:10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成 7堆，每堆至少 一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有

20、 不同的分配方案为C；84种.变式1:7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子， 问每个盒子都不空的放法有 种变式2:马路上有编号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【例3:将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入 4各不同的盒子中的 3个中， 使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种【解析:1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白

21、球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的 3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、种方法。3、由分步计数原理可得 =720 种八多面手问题（ 分类法 - 选定标准）【例 1】： 有 11 名外语翻译人员，其中 5 名是英语译员， 4 名是日语译员，另外两名是英、日 语均精通，从中找出 8 人，使他们可以组成翻译小组，其中 4 人翻译英语，另 4 人翻译日语，这两 个小组能同时工作，问这样的 8 人名单可以开出几张C54CC53C12CC54C21CC52CC54CC53C12C11C变式：. 有 11名外语翻译人员 ,其中有 5名会英语 ,4 名会日语 ,另外两名英 ,日语都精通 ,从中

22、选出8 人 , 组成两个翻译小组 , 其中 4 人翻译英语 , 另 4 人翻译日语 , 问共有多少不同的选派方式 答案 ： 185九走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）【例 1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16 级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法【解析】 ：插空法解题：考虑走 3 级台阶的次数：1）有 0次走 3级台阶（即全走 2级），那么有 1 种走法；2）有 1次走三级台阶。 （不可能完成任务） ；3）有两次走 3级台阶，则有 5 次走 2级台阶：（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中

23、,有 C16 6 种5 个两级台阶形成的空中，有（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到2C6 15 种走法。4）有 3 次（不可能）5）有 4 次走 3级台阶，则有 2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到 3 级台阶形12成得空中，同（ 3）考虑挨着和不挨着两种情况有种C51 C52 15 走法；6）有 5 次（不可能）故总共有： 1+6+15+15=37 种。变式：欲登上第 10 级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级， 则不同的走法共有 （ ） （A） 34 种（B） 55 种（C） 89 种（D） 144 种 答案： （C）十排数问题（注意数字“ 0”）【例

24、 1】（ 1）由数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有() A、 210种B 、300种 C 、464 种 D 、600种解析】：按题意，个位数字只可能是0, 1 , 2, 3, 4共5种情况，分别有 A个,1 1 31 1 31 1 31 3A4A3A3, A3A3A3, A2 A3A3, A3 A3 个，合并总计 300 个,选 B .(2)从1, 2, 3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种【 解析 】 ：将 I 1,2,3 L ,100 分成四 个不 相交 的 子 集, 能被 4 整除的

25、数集A 4,8,12,L 100 ；能被 4除余 1 的数集 B 1,5,9,L 97 ,能被 4除余 2的数集 C 2,6,L ,98 ,能被 4除余 3的数集D 3,7,11,L 99，易见这四个集合中每一个有 25个元素；从 A中任取两个数符合要；从 B,D 中各取一个数也符合要求；从 C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 c；5 c25c25 C；5种.十一染色问题： 涂色问题的常用方法有： (1)可根据共用了多少种颜色分类讨论 ;( 2)根据相对区域是否同色分类讨论 ;( 3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。【例 1 】 将一个四棱锥 S ABcD 的每个顶点染上一种颜色, 并使同一条棱的两端点异色, 如果 只有 5 种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是 .【解析一】 满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1) 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种涂A、12B、C、D四点，此时只能 A与C、B与D分别同色，故有 C5A4 60种方法。(2) 若恰用四种颜色染色， 可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任2选两种染A与B,由于A、B颜色可以交换，故有 A种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染1211D或C