(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第七章立体几何4第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积课件文

1、第七章立体几何第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积理教材教材回顾基础自测知识梳理1. 多面体与旋转体(1) 多面体是指由若干个平面多边形围成的几何体.(2) 旋转体是指一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体.2. 多面体的结构特征(1) 棱柱的上、下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和 下底面是全等的多边形.(2) 棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角 形.(3) 棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面 的两个多边形相似.3. 旋转体的结构特征(1) 圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到.(2) 圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在

2、直线旋转得到.111(3) 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下 底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥 得到.(4) 球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到.4. 几何体的面积和体积圆柱面积S 侧=Inrl体积V=Sh=nr2hrwAft： 圆锥圆台S侧=兀01+尸2“V=|（S上+S下+#s上s下=苏（十+卅+2）力面积体积直棱柱S侧=必V=Sh正棱锥c1S 侧=y/iV=lSh正棱台S 侧=壬（c+c%V=|(S上+S下+s上s下刃球S 球面=4jzR24 3匿o豳G9鋤tii1. 用半径为厂的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是解析：由题意可知卷成的

3、圆锥的母线长为r,设卷成的圆锥的底面半径为则2nrf=nrf所以尸=苏所以圆锥的高h =111其中正确命题的序号是2. 给出下列命题:用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台;若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直; 若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直 四棱柱; 存在每个面都是直角三角形的四面体; 棱台的侧棱延长后交于一点.解析：错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到 棱台；正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直 二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧 棱，又垂直于底面；正确，正方体AG中的三棱锥G-ABC, 四个面都是直角

4、三角形；正确，因为棱台是由棱锥截得的.因 此，正确命题的序号是.答案：3. 个六棱锥的体积为2厉，其底面是边长为2的正六边形, 侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，贝昭X6X皆X2?心=2逅解得h = lf底面正六边形的中心到其边的距离为书，故侧面等腰三角形底边上的高为何X=2,故该六棱锥的侧面积为|xi2X2=12.答案：12要点整台1. 必明辨的3个易错点(1) 注意几何体表面积与侧面积的区别.(2) 台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧 面(棱)延长后必交于一点.(3) 求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问

5、题易出2. 必会的3种方法求空间几何体体积的常用方法(1) 公式法：直接根据相关的体积公式计算.(2) 等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和 高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等.(3) 割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割 或补形，转化为可计算体积的几何体.1. （2018高考江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为解析：正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体 是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是迈，则该正八面体 的体积为 X （羽严X 2=亍答案：I2.（2017高考江苏卷）如图，在圆柱。1。2内有一个球O

6、,111该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱0102的体积为匕,球O的体积为v2f则芒的值是所以芒=32*解析：设球O的半径为厂，则圆柱的底面半径为厂、高为右,3一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积 为cm3.解析:9所以其外接球的半径心霁诵=畑）, 所以V球=扫/=扫3筋=4伍（曲）4.如图所示，已知三棱柱ABGA/1C1的所有棱长均为1,且AAi丄底面ABC,则三棱锥BrABC.的体积为解析：三棱锥BrABCi的体积等于三棱锥A-BjBCx的体积，三棱锥A-B.BC,的高为亨，底面积为务故其体积为考点1几何体概念辨析例1下列结论错误的序号是 各个面都是三角形的几何体

7、是三棱锥; 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥;111 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是 六棱锥;111 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.【解析】 错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；错误，如图2,若AABC不是直角三角形或等腰三角形，或ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥；错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾；正确图1图2【答案】本题属于概念类辨析问题，主要根

8、据有关概念判断，因而记住 概念并准确理解非常重要，并学会通过反例对概念进行辨析, 即要说明一个命题是错误的，设法举出反例否定即可.F面有四个命题: 各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥; 底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； 顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥 必是正棱锥.其中正确命题的个数是解析：命题不正确；正棱锥必须具备两个条件，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；命题缺少第一个条件；命题缺少第二个条件； 而命题可推出以上两个条件都具备.答案：1考点2 几何体的侧面积与表面积例2直棱柱ABGAiBiG的侧棱长为底面ABC为

9、直角三角形，ZACB=9Q , AiB丄爲C, AC=2BC9求此三棱柱的全面积.【解】 连结BCi，如图所示，因为ABGAiBiCi是直三棱柱，所以A1G丄GC,又AC丄BC,即 AiCi丄B1G，CCiQBiCi=Ci，CCiU平面B1BCC1，BGu平 面 BiBCCi，所以A1G丄平面BiBCCi，因为BjCIAjB,所以BiC丄BC19而BiBCCi是矩形,所以 B0CC1 是正方形，BC=BlB=a9 AC=2BC=2a, AB = 寸a?+ （2a）躬所以s 直棱柱全=5直棱柱侧 +2Swc= （a+2a+逅a）a+2a2=（5+躬）空间几何体表面积的求法(1)表面积是各个面的面

10、积之和，求多面体的表面积，只需将它ID们沿着棱剪开展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多 面体的表面积.求旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程 及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底 面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积, 再通过求和或作差，求出几何体的表面积.動跟踪训练已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm和30 cm,且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解：如图所示，三棱台ABC-AiB中，O、

11、Oi分别为两底面 中心，D、Di分别为和BG的中点，则DDi为棱台的斜高.ACC由题意知 A0i=2O, AB=30, 则OD=5Q,。辺尸号空由S侧=5上+S下，得X(20+30)X3DD!=X(202+302),解得DD、=巾,在直角梯形OXODD1中O1O=寸血一（OD-O1D1）2=4低 所以棱台的高为4力cm.考点3 几何体的体积例3 (1)(2019-江苏省重点中学领航高考冲刺卷(一)如图，己知在三棱柱 ABC-AiBjCi 中，BC=&, AB=AC=AA1=BC1 =2, ZAAG=60 ,则该三棱柱的体积为（2）（2019-南通市、泰州市高三第一次调研测试）如图，铜质六角螺帽

12、毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六 棱柱的底面边长、高都为4 cm,圆柱的底面积为9书cm?.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为cm.（不计损耗）【解析】（1）法一：连结ACx，取ACi的中点D 连结DC,由题意可得AAiQC是边长为2的菱形，且ZAA1C1=60 , 则 CD丄4G，ACt=2f CD=.又 AB=BCi=2,则 丄AClf BD=Q，又 BC=yfi,则 BD丄CD因为 CDQAC=D,则 丄1 1平面 ACCi，则 VC-abC1 = VB -CACi = ACACi BD=)xQxF =b贝！I该三棱柱的体积”=

13、3Vcwci=3法二：过点B, Bi分别作AC和AG的平行线BE, BE“过 点C, Ci分别作AB和A1B1的平行线CE, C1E1，连结EEi， 将三棱柱补成平行六面体，同法一证明得BD丄平面ACClf则 该三棱柱的体积 V= 2AAiCrC-BBiEiE 2* 菱形ACC141 BD = jX2X书=3(2)该螺帽的体积等于正六棱柱的体积减去圆柱的体积，也等于 正三棱柱的体积，设正三棱柱的底面边长为a cm,则6X寻X 42X49/3X4=pa2X6,所以 a=210.【答案】(1)3 (2)2顶求空间几何体体积的方法策略(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可 直接利

14、用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的 体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.（2019连云港模拟）如图，AABC中，AB=8,BC=10, AC=69 DB丄平面ABC, HAE/FC/BD, BD=3,FC=4, AE=59则此几何体的体积为EM梯形MNEF DN=；X；X(1+2)X6X8=24,解析：法一：如图，lcm=an=bd9连结dm，MN, DN9用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和_个四棱锥.所以V几何体三棱柱+V 四棱锥.由题知三棱柱ABGNDM的体积为=1x8X6X3=72.四棱锥DM

15、NEF的体积为则几何体的体积为“=匕+匕=72+24=96法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AAf=BBf=CCf=89 所以 V 几何体=空“三棱柱=2aabc * AA =X24X8=96.答案：96讲方法转化思想解决折叠与展开问题典测 如图，在直棱柱A中，底面是边长为3的等边三角形，AAf =4,点M为AA啲中点，点P是BC上一点, 且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为回，设这 条最短路线与CC的交点为N,求：素养提升助学培优Ncf(1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长.(2) PC与NC的长；(3) 三棱锥C-MNP的体积.【解】(1)该三棱柱的侧面展开图为边长

16、分别为4和9的矩形, 故对角线长为+92=97.(2)将该三棱柱的侧面沿棱展开，如图，B P CA (B)设 PC=x,则 MP2=M42+(AC+x)2.因为 MP=佰，MA=2f AC=3f 所以 x=2,即 PC=2. 又NC/AM,故晋=篇，即=学所以3=壬时茫n = dN3A=d-3A狗岖3?Mfflipj jv + MJd 三丑感悟提高解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，形象一点说就是将空间几何体的“面”展开后铺 在一个平面上，即将空间最值问题转化为平面上的最值问题.将 几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，一般旋转体要 沿一条母线剪开，多面体则要根据问题的具体情况：可以将这 个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开.总之，不 管是旋转体或多面体的展开，原则是把不在一个平面上的问题ID转化到一个平面上，这就要求遇到该类问题时要有空间图形或 平面图形的转化意识，明确从哪条侧棱剪开，正确地画岀侧面 展开图.如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC=&(1) 求证：平面ABEF丄平面BCDE；(2) 求五面体ABCDEF的体积.解：设原正六边形中，ACQBE=Of DFQBE=Orf由正六边 形的几何性质可