第4讲义电磁场

1、1 第第4章章 恒定电流的磁场恒定电流的磁场 4.1节节 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 4.2节节 磁介质的磁化、磁场强度磁介质的磁化、磁场强度 4.3节节 边界条件边界条件 4.4节节 自感和互感自感和互感 2 4.1 真空中恒定磁场的基本方程真空中恒定磁场的基本方程 n磁通密度及其散度磁通密度及其散度 n磁通连续性原理磁通连续性原理 n磁矢位和磁偶极子磁矢位和磁偶极子 n磁场强度磁场强度 n安培环路定律安培环路定律 n矢量泊松方程矢量泊松方程 n本节要点本节要点 n当产生磁场的电流恒定时，它所产生的磁场当产生磁场的电流恒定时，它所产生的磁场 也不随时间变化也不随时间变化-恒定磁场恒

2、定磁场(magnetostatics) 3 1.磁通密度磁通密度(magnetic flux density) 21 2 11220 12 4 CC R R dIdIall F 12 rrR R R aR 21 2 110 2212 4 CC R R dI dI al lF 1 2 110 1 4 C R R dIal B n安培力定律安培力定律 C1 I1 C2 I2 dl2 r2 dl1 O r1 R 括号中的量值取决于电流回路括号中的量值取决于电流回路C1的电流分布及场的电流分布及场 点到源点的距离矢量，而与电流回路点到源点的距离矢量，而与电流回路C2无关无关 磁通密度磁通密度 4 2.

3、毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律(Biot-Savarts law) C R R Id 2 0 4 al rB n 三者互相垂直并遵循右手螺旋关系。三者互相垂直并遵循右手螺旋关系。 R alB和d, V R Vd R 2 0 4 arJ rB Sd R S R 2 0 4 arJ rB S n用不带撇的坐标表示场点，用带撇的坐标表示源点用不带撇的坐标表示场点，用带撇的坐标表示源点 n磁通密度的单位为磁通密度的单位为T( (特斯拉特斯拉tesla) )，或，或(韦伯韦伯/平方米平方米)，工程上，常因，工程上，常因 这个单位太大而选用高斯这个单位太大而选用高斯(Gaussion)，1高斯高斯(G)=

4、10-4特斯拉特斯拉(T) l Id r-rR r O S ),(zyx r P(x,y,z) 线电流元产生的磁通密度线电流元产生的磁通密度, ,也称为毕也称为毕 奥奥萨伐尔定律萨伐尔定律 5 例4-1 CC Rz R zdI R zId 3 0 2 0 44 a aa B z zzaaR cscRcot zz 21 00 coscos 4 sin 4 2 1 I d I aaB 2 0I aB n 一根沿一根沿z轴放置长度为轴放置长度为2l的直导线通过的直导线通过z方向的电流方向的电流I。求其在周围产。求其在周围产 生的磁通密度。生的磁通密度。 n解：解： n无限长载流直导线的磁通密度为无限

5、长载流直导线的磁通密度为 选择柱坐标系，源点坐标为选择柱坐标系，源点坐标为(0,0,z )，场点坐标为，场点坐标为P(, ,z) 根据毕奥根据毕奥萨伐尔定律，则萨伐尔定律，则 6 3.磁通密度的散度磁通密度的散度 2 1 RR R a AAA V Vd R rJ rB 4 0 0A 0 B n利用式利用式 n及矢量恒等式及矢量恒等式 n磁通密度磁通密度 n又根据恒等式又根据恒等式 可得可得 由恒定电流产生的场是由恒定电流产生的场是 无散场或连续的场无散场或连续的场 7 4.磁矢位磁矢位(magnetic vector potential) AB 0 A V Vd R rJ A 4 0 S Sd

6、 R rJ A S 4 0 C R dI l A 4 0 n由第由第1章已知，只有当一个矢量场的章已知，只有当一个矢量场的散度和旋度散度和旋度同时确同时确 定时，这个矢量场才唯一确定。定时，这个矢量场才唯一确定。 n库仑规范库仑规范(Coulombs gauge) n A称为磁矢位称为磁矢位 ，单位为，单位为Wb/m（韦伯（韦伯/米）米） n矢量矢量A的表达式为（选无穷远处为参考点）的表达式为（选无穷远处为参考点） 磁通密度的散度恒等于零磁通密度的散度恒等于零, ,它可以用矢量的旋度来表示它可以用矢量的旋度来表示 8 例4-2 电流圆环产生的磁场 C R dI l A 4 0 dIaIadId

7、 yx cossinaaal sinsin2 22 raarRrr sin 4 2 2 0 r Ia x aA n求如图所示的一个半径为求如图所示的一个半径为a的微小电流环的磁矢位和磁通密度。的微小电流环的磁矢位和磁通密度。 n解：解： 电流环在电流环在P点产生的磁矢位的表达式为点产生的磁矢位的表达式为 上式写成球坐标中的表达式，有上式写成球坐标中的表达式，有 选择球坐标。源点坐标为选择球坐标。源点坐标为 ，场点坐标为，场点坐标为)0 ,(aS) 2 ,( rP 9 例4-2（续） sin 4 2 2 0 r Ia aA 2 0 4 r rm ap A sincos2 4 3 0 aaAB r

8、 m r p Sa 2 n令小电流环的面积小电流环的面积 S的方向与电流的方向成右手螺旋关系的方向与电流的方向成右手螺旋关系 n小电流环的磁矢位可以表达为小电流环的磁矢位可以表达为 n小电流环的磁通密度为小电流环的磁通密度为 n小电流环也称为小电流环也称为磁偶极子磁偶极子 IS=pm 10 5.磁偶极子磁偶极子 带电流的圆环所产生的磁力线 在磁场的实验中已证实：一根微小的永久磁针周围的磁场在磁场的实验中已证实：一根微小的永久磁针周围的磁场 分布与微小电流环周围的磁场分布是相同的。分布与微小电流环周围的磁场分布是相同的。 n对偶：对偶： 磁偶极子及其磁场与电偶极子磁偶极子及其磁场与电偶极子 及其

9、电场之间存在对偶关系。及其电场之间存在对偶关系。 一种解释是永久磁针的两端分别存在一种解释是永久磁针的两端分别存在正磁荷和负磁荷正磁荷和负磁荷。 n这种虚构的磁荷这种虚构的磁荷+qm相隔距离相隔距离d便形成便形成 一个磁偶极子，其磁矩为一个磁偶极子，其磁矩为pm=qmd ， 也一定等效于电流回路的磁矩也一定等效于电流回路的磁矩pm=IS 11 6. 磁通连续性原理磁通连续性原理 S SB d S SB d 0d S SB n通过任意曲面通过任意曲面S上的磁通量（上的磁通量（magnetic flux）定义为）定义为 n若曲面若曲面S为闭合曲面，则穿过闭合曲面为闭合曲面，则穿过闭合曲面S的磁通量

10、为的磁通量为 n对上式应用散度定理，有对上式应用散度定理，有 穿过一个封闭面的磁通量等于离开这个封闭面的磁通穿过一个封闭面的磁通量等于离开这个封闭面的磁通 量，换句话说，量，换句话说， 磁通线永远是连续的，称为磁通连续磁通线永远是连续的，称为磁通连续 性原理。性原理。 12 C S 7.磁场强度与安培环路定律磁场强度与安培环路定律 0 B H HB 0 JH n自由空间中自由空间中磁场强度磁场强度H（magnetic intensity）： n安培环路定律安培环路定律(Amperes circuital law)： n应用斯托克斯定理，有应用斯托克斯定理，有 磁场强度沿任一闭合路径的线积分磁场

11、强度沿任一闭合路径的线积分 等于闭合路径所包围的净电流等于闭合路径所包围的净电流 由恒定电流产生的磁场是有旋场由恒定电流产生的磁场是有旋场 I C S SJlHdd J 13 8.恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 0d S SB I C lH d 0 B JH n积分形式积分形式 n微分形式微分形式 14 例3-3 载流长直导线的磁场 IHH C 2dd 2 0 lH aH 2 I aB 2 0I n一根沿一根沿z轴放置的无限长直导线通过方向的电流轴放置的无限长直导线通过方向的电流I。试用安培定律试用安培定律 求空间任一点的磁场强度与磁通密度。求空间任一点的磁场强度与磁通密度。 n解：解：

12、由对称性，该电流产生的磁力线必然是同心圆，对任意半径由对称性，该电流产生的磁力线必然是同心圆，对任意半径 空间任一点的磁场强度为空间任一点的磁场强度为 磁通密度为磁通密度为 n用安培定律算得的结果与例用安培定律算得的结果与例3-1相同，但却简便得多。相同，但却简便得多。 15 小结小结 由恒定电流产生的磁场是由恒定电流产生的磁场是无散场无散场（连续的场）（连续的场） 求解磁通密度的三种方法求解磁通密度的三种方法 1) 用矢量积分式直接求磁通密度用矢量积分式直接求磁通密度 2) 先求磁矢位再求磁通密度先求磁矢位再求磁通密度 3) 安培定律求磁场强度安培定律求磁场强度 16 9.矢量泊松方程矢量泊

13、松方程 JA 0 AAA 2 JA 0 2 0 2 A n必须指出必须指出：这里的：这里的 后面是矢量，所以称为矢量拉普拉后面是矢量，所以称为矢量拉普拉 斯算子，同标量拉普拉斯方程中的算子（斯算子，同标量拉普拉斯方程中的算子（ 后面是标量后面是标量 称为标量算子）完全不同。称为标量算子）完全不同。 2 2 n根据矢量恒等式：根据矢量恒等式： n同时考虑到库仑规范，同时考虑到库仑规范，有有 n对于无源区域对于无源区域 矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程(vectorial Laplace equation) 矢量泊松方程矢量泊松方程(vectorial Possion equation) 17 直

14、角坐标系中的直角坐标系中的矢量泊松方程矢量泊松方程 zzyyxx AAAaaaA xxxxxxxx AAAAaaaa 2222 zz yy xx JA JA JA 0 2 0 2 0 2 n在直角坐标系中在直角坐标系中 n 由于由于 n矢量泊松方程矢量泊松方程可分解为三个分量可分解为三个分量(标量标量)的泊松方程的泊松方程 n三个分量方程和静电场的电位泊松方程形式相同，因三个分量方程和静电场的电位泊松方程形式相同，因 此它们的求解方法也相同。此它们的求解方法也相同。 18 4.2 磁介质的磁化、磁场强度磁介质的磁化、磁场强度 n物质的分类物质的分类 n磁化强度磁化强度 n磁化介质的磁矢位磁化介

15、质的磁矢位 n束缚电流密度束缚电流密度 n媒质的本构方程媒质的本构方程 n本节要点本节要点 19 1.物质的分类物质的分类 n抗磁体抗磁体(diamagnetic) 感受轻微推斥力的物质。感受轻微推斥力的物质。 n顺磁体顺磁体(paramagnet) 受到轻微力量拉向中心的物质。受到轻微力量拉向中心的物质。 n铁磁体铁磁体(ferromagnetic) 被磁力吸进去的物质。被磁力吸进去的物质。 铁磁物质所受磁力可能是顺磁物质所受磁力的铁磁物质所受磁力可能是顺磁物质所受磁力的5000倍倍。 如铁、磁铁矿等如铁、磁铁矿等 像金属铝、铜等像金属铝、铜等 由于顺磁物质与抗磁物质所受的力很弱，因此将它们

16、归在一起，由于顺磁物质与抗磁物质所受的力很弱，因此将它们归在一起， 统称为非磁性物质，且非磁性物质的磁导率与自由空间的相同。统称为非磁性物质，且非磁性物质的磁导率与自由空间的相同。 所有的有机化合物和大部分无机化合物是抗磁体所有的有机化合物和大部分无机化合物是抗磁体 20 2. 磁性物质的磁化磁性物质的磁化 Sp am I 其磁偶极矩的表达式为其磁偶极矩的表达式为 n在在没有外加磁场时没有外加磁场时，就一般媒质而言，就一般媒质而言， 由于各分子磁矩的取向随机而相互抵消，由于各分子磁矩的取向随机而相互抵消， 对外不呈磁性。对外不呈磁性。 在外施磁场作用下，各分子磁矩沿磁场方向排列，媒质内部磁偶极

17、在外施磁场作用下，各分子磁矩沿磁场方向排列，媒质内部磁偶极 子的有序排列，相当于沿媒质表面流动的这些电流称为束缚电流子的有序排列，相当于沿媒质表面流动的这些电流称为束缚电流 (bound current)它在媒质内部产生一个附加场。它在媒质内部产生一个附加场。 分子中的电子以恒速围绕原子核作圆周运动形成分子分子中的电子以恒速围绕原子核作圆周运动形成分子 电流，它相当于一个微小电流环可以等效为磁偶极子电流，它相当于一个微小电流环可以等效为磁偶极子 21 3.磁化的物理过程磁化的物理过程 (a) (b) (c) (a) 磁偶极子随机排列的磁性物质磁偶极子随机排列的磁性物质 (b) 外场使磁偶极子有

18、序排列外场使磁偶极子有序排列 (c) (b)中排列好的电流环等效于沿物质表面的电流中排列好的电流环等效于沿物质表面的电流 22 4. 磁化强度磁化强度 n设在体积设在体积 内有内有n个原子，个原子，pmi是第是第i个原子的磁矩，于是个原子的磁矩，于是 单位体积的磁矩定义为单位体积的磁矩定义为 V V n i i V 1 0 lim m p M n设在磁化介质中取一个体积元设在磁化介质中取一个体积元 ，其磁矩为，其磁矩为 ， 由它所产生的磁矢位为由它所产生的磁矢位为 V d V dM V R d 4 d 2 0 R aM A V R d 4 2 0 V R aM A n体积体积V内的磁化磁矩所产

19、生的磁矢位为内的磁化磁矩所产生的磁矢位为 如果如果M，表明该物体是已经磁化的，表明该物体是已经磁化的 23 5. 束缚电流密度束缚电流密度 2 1 RR R a S R V R S d 4 d 4 00Sb V b JJ A MJ b nMJ Sb 利用恒等式利用恒等式 n磁矢位可重写为磁矢位可重写为 n束缚体电流密度束缚体电流密度 n束缚面电流密度束缚面电流密度 RRR M MM 11 和 24 6.本构方程本构方程(constitutive equations) MHJJ B b 0 MHB 0 HM m HHHB rm 00 1 r 0 n对于线性、均匀、各向同性的媒质，对于线性、均匀、

20、各向同性的媒质， 有有 m n比例常数比例常数 称为称为磁化率磁化率(magnetic susceptibility) n本构方程本构方程 n媒质的磁导率媒质的磁导率(permeability) 在计算磁化后总的合成磁场时，可以把媒在计算磁化后总的合成磁场时，可以把媒 质所占空间视为真空，由束缚电流和自由质所占空间视为真空，由束缚电流和自由 电流在真空中产生的磁场进行叠加电流在真空中产生的磁场进行叠加 25 讨论 对于顺磁物质，m数量级为10-3的正数； 对于抗磁物质，m数量级为10-610-9的负数； 对于上述两种物质的r都接近于1。一般工程中常把 这些物质的磁性质看作与真空相同。 铁磁物质

21、的B与H不成线性关系，且B与H的函数关系 随铁磁物质的结构而异，但仍满足 B=H，只是其中的不再是常数。 Br Hm -Hm Bm -Bm Br为剩余磁通为剩余磁通 硬磁材料硬磁材料-永久磁铁（直流电机）永久磁铁（直流电机） 软磁材料软磁材料-交流电交流电 磁滞回线磁滞回线-每周磁滞损耗每周磁滞损耗 26 4.3 边界条件边界条件 n磁通密度的边界条件磁通密度的边界条件 n磁场强度的边界条件磁场强度的边界条件 n两种媒质分界面上磁场的方向两种媒质分界面上磁场的方向 n本节要点本节要点 27 1. 边界条件表达式边界条件表达式 SStt nn JHHnJHH BBnBB 2121 2121 0 或 或 2 1 2 1 tan tan 两种磁介质的分界面 n在两种不同媒质的分界面上，有在两种不同媒质的分界面上，有 n如果分界面上的如果分界面上的面电流密度为零面电流密度为零，则，则 28 2. 两种特殊情况两种特殊情况 磁介质磁介质2 磁介质磁介质1 铁磁体铁