华南理工大学半导体物理第三章课件

1、半半 导导 体体 物物 理理第三章第三章 半导体中载流子的统计分布半导体中载流子的统计分布 华南理工大学电子与信息学院华南理工大学电子与信息学院 蔡蔡 敏敏 教授教授第三章 半导体中载流子的统计分布 3.1 3.1 费米分布与玻耳兹曼分布费米分布与玻耳兹曼分布 3.2 3.2 半导体载流子的统计半导体载流子的统计 3.3 3.3 本征半导体的载流子浓度本征半导体的载流子浓度 3.4 3.4 杂质半导体的载流子浓度杂质半导体的载流子浓度 3.5 3.5 杂质半导体的载流子浓度及费杂质半导体的载流子浓度及费米能级随温度的变化米能级随温度的变化 3.6 3.6 简并半导体的载流子浓度简并半导体的载流

2、子浓度 载流子：导带电子和价带空穴载流子：导带电子和价带空穴 导带电子的来源：导带电子的来源：本征激发本征激发中由价带跃迁中由价带跃迁到导带的电子；到导带的电子；施主电离施主电离，由施主杂质跃，由施主杂质跃迁到导带的电子。迁到导带的电子。 价带空穴的来源：价带空穴的来源：本征激发本征激发；受主杂质电受主杂质电离离，接受价带跃迁到受主杂质的电子后，接受价带跃迁到受主杂质的电子后，在价带留下的空穴。在价带留下的空穴。 载流子复合：载流子复合： 1、导带电子跃迁回到价带空位中，使电子、导带电子跃迁回到价带空位中，使电子、空穴同时消失；空穴同时消失； 2、导带电子跃迁回到施主杂质能级，使施、导带电子跃

3、迁回到施主杂质能级，使施主杂质退电离；主杂质退电离； 3、受主上的电子跃迁回到价带空位，使受、受主上的电子跃迁回到价带空位，使受主杂质退电离，相当于价带空穴跃迁到受主杂质退电离，相当于价带空穴跃迁到受主能级，使价带空位消失。主能级，使价带空位消失。 热平衡状态：热平衡状态：载流子产生等于载流子复合载流子产生等于载流子复合的状态。的状态。费米分布函数费米分布函数 服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计规律规律001( )1 e:)xp()(FFf Ef EEEk TTEEk:玻尔兹曼常数，绝对温度，:费是费米分布函数，它描述每个量子态被电子占据的几率米能级随能量

4、 的变化。0( )( ) ( )( )1exp()FNEG EG E f ENG ENEEk T费米能级的数值可以由下述条件确定：在整个能量范围内，状态被占据的数目等于实际存在的电子总数 。设与能量 相对应的有个量子态，则有或FFEE对于具体的电子体系，在一定温度下只要确定了，电子在能级中的分布情况也就完全确定了。所处于以是热平反应电子衡状态的在各个能级中分布电子系统有同意的情况的参数。费米能级。费米分布函数的性质费米分布函数的性质010( )1( )020( )1/ 2( )1/ 2( )1/ 23141- ( )1 exp()FFFFFFFFTkEEf EEEf ETEEf EEEf EE

5、Ef EEEf EEEk T、时，若则；、时，若则、随温度的升高，电子占据能量小于的量子态的几率下降；而占据能量大于的量子态的几率上升。、是量子态未被电子占据的几率，也就是被空穴占据的几率。玻耳兹曼分布函数玻耳兹曼分布函数00000( )exp(),11- ( )1 exp()1- ( )=exp(-)FBFFFFEEfEk TEEk TEEk Tf EEEk TEEf Ek T玻尔兹曼麦克斯韦分布费米统计与玻尔兹曼统计的主要区别在于：前者受到泡利不相容原理限制，而在的条件下，泡利不相容原理失去作用，因而两种统计的结果变成一样了。当量子态被空穴占据的几率变为第三章 半导体中载流子的统计分布 3

6、.1 3.1 费米分布与玻耳兹曼分布费米分布与玻耳兹曼分布 3.2 3.2 半导体载流子的统计半导体载流子的统计 3.3 3.3 本征半导体的载流子浓度本征半导体的载流子浓度 3.4 3.4 杂质半导体的载流子浓度杂质半导体的载流子浓度 3.5 3.5 杂质半导体的载流子浓度及费杂质半导体的载流子浓度及费米能级随温度的变化米能级随温度的变化 3.6 3.6 简并半导体的载流子浓度简并半导体的载流子浓度k空间量子态密度空间量子态密度()( )( )()()( )( )122,0, 1, 2,222,0, 1,ikxkik x LikxikLkkikLyxzxyzxyzxyzLaxux exLxx

7、LuxL eux e exenkLnknLnnnkkkLLLn n n 假设晶体的边长为 ，晶格常数为 ，则电子的波函数为，根据周期性边界条件，处的波函数等于 处的波函数，即这就要求对于三维情况，有2,333k222(2 )(2 )kkk(2 )kxyzxyzxyzxyzVL L LLLLL L LVk ik jk kV我们可以把 空间分成许多小格子，每一个格子占据的体积为由于 空间的每一个可能取值都与一个状态矢量相联系，每一个状态矢量的端点就是一个倒格点，因此， 空间中每一个格子占据的体积，与一个格点相对应，即一个状态相对应。一个状态占据的 空间体积为而量子态密度（单位体积内的状rrrrrr

8、rr33(2 )2(2 )VV态数）为若考虑电子自旋应为:k空间状态分布半导体中的状态密度半导体中的状态密度2222000*222000*222*()()()( )2()()()1222()()()843yyxxzzcxyzyyxxzzxyzcccxGeSiSEkkkkkkkE kEmmmkkkkkkmmmEEEEEEm和 的导带属于多能谷情况，设导带有 个彼此对称的能谷（极值）。在每个极值点附近的函数关系，为一个椭球：所以一个等能面椭球的k空间体积为（:hhhhr11*223)yzcm mEE） （h13*223313*22313*2238)24(2 ) 38)8(2)38)836,xyzc

9、xyzcxyzcSim m mEEVZm m mEEVhhSm m mEEZVhSSS再乘以k空间状态密度，得等能面椭球内包含的量子态数，（） （） （考虑到晶体的对称性，导带底极值附近对应的椭球（即能谷）的数目不止一个，因此，k空间总共有的状态数目为：（） （式中 表示椭球的数目。rhhr4Ge* 1/21/23* 1/21/23*2/3*2 1/3*8)48)( )4;()(2( )4xyzcxyzcctxylzndnltncEEdESm m mEEdZVdEhSm m mEEdZgEVdEhmmmmmmmSm mmgEV要求能量区间的球壳中包含的状态数，应对上式求微分，即（） （状态密度

10、为（） （因为硅、锗等半导体导带等能面为旋转椭球，即有若令：则有：:32123)()cEEh 对于实际半导体材料对于实际半导体材料 设导带底的状态有设导带底的状态有s个，根据同样方法可求个，根据同样方法可求得得2222312( )()2ctlkkkE kEmmh3*2123(2)( )4()nccmgEVEEh 其中其中 mdn称为导带底电子状态密度有效质量。称为导带底电子状态密度有效质量。对于对于Si，导带底有六个对称状态，导带底有六个对称状态，s=6mdn=1.08m0对于对于Ge，s=4mdn=0.56m031223*)(tldnnmmsmm 同理可得价带顶附近的情况同理可得价带顶附近的

11、情况价带顶附近价带顶附近E(k)与与k关系关系价带顶附近状态密度价带顶附近状态密度2222*()( )2xyzvpkkkE kEmh3*2123(2)( )4()pvvmgEVEEh 其中其中对于对于Si，mdp=0.59m0对于对于Ge，mdp=0.37m0232323*)()(hplpdppmmmm导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度dEEgEfdNcB)()(3*21230(2)4exp()()nFcmEEdNVEEdEk ThVdNdn 3*2120303*2102300(2)4exp()()(2)4exp()cnFcExncFmEEnEEdEk Tm

12、k TEEx e dxk ThhTkEExcc0/ )(0212dxexx)()exp()2(203230*0ccFcnEfNTkEEhTkmn03*2030(2)2cFncEEk Tcm k TNhnN e称为导带的有效状态密度。则导带电子浓度为：0-3*200303*20300( )1( )(2)2exp()()(2)2()=exp()vEvpvFvvpvFvvvvg Epf EdEVm k TEEpN f Ehk Tm k TNhEEpN f ENk T价带空穴浓度令：则得：载流子浓度乘积载流子浓度乘积n0p0 热平衡状态下，对于一定的半导体材料，热平衡状态下，对于一定的半导体材料，浓度

13、积只由温度决定，而与所含杂质无关。浓度积只由温度决定，而与所含杂质无关。00033*302200exp()2exp()4() ()exp()cvcvggcvnpEEn pN Nk TEEkN Nm mTk Thk T第三章 半导体中载流子的统计分布 3.1 3.1 费米分布与玻耳兹曼分布费米分布与玻耳兹曼分布 3.2 3.2 半导体载流子的统计半导体载流子的统计 3.3 3.3 本征半导体的载流子浓度本征半导体的载流子浓度 3.4 3.4 杂质半导体的载流子浓度杂质半导体的载流子浓度 3.5 3.5 杂质半导体的载流子浓度及费杂质半导体的载流子浓度及费米能级随温度的变化米能级随温度的变化 3.

14、6 3.6 简并半导体的载流子浓度简并半导体的载流子浓度本征载流子浓度本征载流子浓度n ni i: :对本征半导体而言，导带中每单位体积的对本征半导体而言，导带中每单位体积的电子数与价带每单位体积的空穴数相同电子数与价带每单位体积的空穴数相同, ,即浓度相同，称为本即浓度相同，称为本征载流子浓度，可表示为征载流子浓度，可表示为n=p=nn=p=ni i本征费米能级本征费米能级E Ei i：本征半导体的费米能级。：本征半导体的费米能级。 0000expexpCFFVCVEEEEnNpNk Tk T令：0ln()22CVVFiCEEk TNEEN则：则： 在室温下，第二项比禁带宽度小得多。因此，本

15、征半导体的在室温下，第二项比禁带宽度小得多。因此，本征半导体的本征半导体的本征费米能级本征半导体的本征费米能级E Ei i相当靠近禁带的中央。相当靠近禁带的中央。 本征载流子浓度本征载流子浓度所以：所以：即：即： 其中其中E Eg g=E=EC C-E-EV V。室温时，硅的。室温时，硅的n ni i为为9.659.6510109 9cmcm-3-3；砷化镓的；砷化镓的n ni i为为2.252.2510106 6cmcm3 3。上图给出了硅及砷化镓的。上图给出了硅及砷化镓的n ni i对于温度的变化情对于温度的变化情形。正如所预期的，禁带宽度越大，本征载流子浓度越小。形。正如所预期的，禁带宽

16、度越大，本征载流子浓度越小。 20expgiCVEnN Nk T0exp()2giCVEnN Nk T最终：最终： 6107108109101010111012101310141015101610171018101910本征载流子浓度ni/cm-3 1000/T KSiGaAs939.65 10 cm632.25 10 cm1000 50020010027 050该式对非本征半导体同样成该式对非本征半导体同样成立，称为立，称为质量作用定律质量作用定律。 200in pn第三章 半导体中载流子的统计分布 3.1 3.1 费米分布与玻耳兹曼分布费米分布与玻耳兹曼分布 3.2 3.2 半导体载流子的

17、统计半导体载流子的统计 3.3 3.3 本征半导体的载流子浓度本征半导体的载流子浓度 3.4 3.4 杂质半导体的载流子浓度杂质半导体的载流子浓度 3.5 3.5 杂质半导体的载流子浓度及费杂质半导体的载流子浓度及费米能级随温度的变化米能级随温度的变化 3.6 3.6 简并半导体的载流子浓度简并半导体的载流子浓度杂质半导体的载流子浓度杂质半导体的载流子浓度 杂质能级上的电子和空穴杂质能级上的电子和空穴 实际的半导体总是含有一定量的杂质。当杂质只是实际的半导体总是含有一定量的杂质。当杂质只是部分电离的情况下，在一些杂质能级上就有电子占部分电离的情况下，在一些杂质能级上就有电子占据着。例如在未电离

18、的施主杂质和已电离的受主杂据着。例如在未电离的施主杂质和已电离的受主杂质的杂质能级上都被电子所占据。质的杂质能级上都被电子所占据。 杂质能级与能带中的能级是有区别的杂质能级与能带中的能级是有区别的 能带中的能级可容纳自旋方向相反的两个电子；杂能带中的能级可容纳自旋方向相反的两个电子；杂质能级不允许同时被自旋相反的两个电子占据，它质能级不允许同时被自旋相反的两个电子占据，它只能被一个有任一方向自旋的电子占据或不接受电只能被一个有任一方向自旋的电子占据或不接受电子。子。0A0001()11exp()21()11exp()2,()11exp()21()12 exp()DDFFADDDDDDFDDDD

19、DDDFfEEEk TfEEEk TNNnNfEEEk TNnNnNfEEEk T电子占据施主杂质能级的几率不能用费米分布函数，而表示为：空穴占据受主能级的几率是若已知半导体中的施主杂质浓度则这是没有电离的施主浓度。电离施主浓度为：00,( )11exp()21( )12exp()AAAAAFAAAAAAAFANNpN fEEEk TNpNpNfEEEk T若已知半导体中的受主杂质浓度则这是没有电离的受主浓度。电离受主浓度为：n型半导体的载流子浓度型半导体的载流子浓度00000000()();0()1( )DDAADADAADDADDApNnnNppnnpNNppNnnNpNfEnN1、n型半

20、导体的电中性条件均匀掺杂的半导体，热平衡状态下保持电中性，半导体处处的正负电荷密度两者应该相等。一般的电中性条件为：对于n型半导体：受主全部电离：00000002n10,=( )11+exp()211exp(211exp()exp(22FDDD0A0DADDD0DADFDFCDDFDCEpNN fn +Nn = NNN fENn = NNEEk TEEnk TEEEENnNk Tk T、 型半导体处于不同温度区的载流子浓度及（）低温电离的温度区在低温区中，本征激发可忽略不计，此时，电中性方程为上式两端同时乘）并设：）020021/200000()()0()()4()2,exp()exp()22

21、DADDADADADDADACDDADADCCAAnnn NNNNNNNNNNNNnk TNNEENNNNEnNNNk TNk T=整理得关于 的二次方程这就是有效施主杂质未完全电离情况下，计算载流子浓度的普遍公式。讨论：温度极低，因为很小，有有0000000exp()exp()exp()2=ln2ln20,CFCCFCDDAACFCDDAADAFDAFDEEnNk TEEEENNk TNk TEEEENNk TNk TNNEEk TNTEEQ有两端取对数可得：有当时即费米能级与施主能级重合1/21/2001/20000()()exp()22exp()()exp()221()ln222DAAD

22、CCDDDCFDCCDCDFCDCNNNN NEEnN Nk TEEN NEENk Tk Tk TNEEEN?当温度极低，而且（或），可得由0000002exp()ln0lnDACFCDAFCCDAADFCnNNEEnNk TNNEEk TNNNNnNNEEk T?、强电离或饱和电离的温度区随着温度升高，有效施主杂质产生电离越来越多，而未电离的则越来越少，当有效施主杂质几乎全部电离，半导体处于强电离或饱和电离温度区。然而，此时的本证激发仍可忽略不计。电中性条件变为：将代入得：在(或)的情况下：电中性方程为费米能级变为DCN000000200220022 1/203()()0()()42DAiD

23、AADADiDAiDADAiNNnnNNpnNpNnNpNn pnnNNnnNNNNnn、过渡温度区温度继续升高，本征激发迅速增加。如果与 的数值可相比拟，本征激发不可忽略，则电中性方程变为由解得：000022 1/222 1/2021/20221/202()()42()()4ln2041 (1)2ln(1)24CFCiFiEEEEk Tk TCiEEk TDADAiiDADAiFiiDAAiDDDDFiiinN eneNNNNnneNNNNnEEk TnNNNnNnNNNEEk Tnn?由两端取对数，整理得在（或）的特殊情况下：00000004()exp()exp()1()+ln22iDAC

24、FFVCVVFiCVCnNNnpEEEEnNpNk Tk Tk TNEEEEN?、高温本征激发区温度再升高，本征激发更为强烈，使半导体本征载流子浓度远多于杂质电离的载流子浓度，即，此时的电中性条件为:将和代入，并两端取对数得：000001exp()2ln22lnADAVAAVDADFADADADFVVNNEpNEEENk TNNEEk TNpNNNNEEk TN、极低温度的弱电离区、饱和电离区P P型半导体的载流子浓度型半导体的载流子浓度22 1/2022 1/200003()()42()()4ln241()+ln22ADADiADADiFiiCFiCVVNNNNnnNNNNnEEk Tnpn

25、k TNEEEEN、过渡温度区、本征激发区综上所述，杂质半导体中载流子浓度随温度变化的规律，从低温到高温可分为四个区域：杂质弱电离区杂质饱和电离区过渡温区本征激发区非简并非简并(nondegenerate)(nondegenerate)半导体半导体：电子或空穴的浓度分别远低于导：电子或空穴的浓度分别远低于导带或价带中有效态密度，即费米能级带或价带中有效态密度，即费米能级E EF F至少比至少比E EV V高高3kT3kT，或比，或比E EC C低低3kT3kT的半导体。的半导体。通常对硅及砷化镓中的浅层受主通常对硅及砷化镓中的浅层受主而言，室温下即有足够的热能，而言，室温下即有足够的热能，供给

26、将所有施主杂质电离所需的供给将所有施主杂质电离所需的能量能量E ED D，因此可在导带中提供与，因此可在导带中提供与所有施主杂质等量的电子数，即所有施主杂质等量的电子数，即可移动的电子及不可移动的施主可移动的电子及不可移动的施主离子二者浓度相同。这种情形称离子二者浓度相同。这种情形称为完全电离，如图。在完全电离为完全电离，如图。在完全电离的情形下，电子浓度为的情形下，电子浓度为 DNn CEVEiE施主离子DE可见，施主浓度越高，能量差可见，施主浓度越高，能量差(E(EC C-E-EV V) )越小，即费米能级往导带底部移近。同越小，即费米能级往导带底部移近。同样地，受主浓度越高，费米能级往价

27、带顶端移近。样地，受主浓度越高，费米能级往价带顶端移近。expCFCDEEnNnNkT由和expFVVAEEpNpNkT由和同样，对如图所示的浅层受主能级，假使完同样，对如图所示的浅层受主能级，假使完全电离，则空穴浓度为全电离，则空穴浓度为p=Np=NA A CEVEiE受主离子AEAVVFNNkTEElnDCFCNNkTEEln以本征载流子浓度以本征载流子浓度n ni i及本征费米能级及本征费米能级E Ei i来表示电子及空穴浓度是很来表示电子及空穴浓度是很有用的，因为有用的，因为E Ei i常被用作讨论非本征半导体时的参考能级。常被用作讨论非本征半导体时的参考能级。kTEEkTEENnkT

28、EENniFiCCFCCexpexpexp由kTEEnniFiexpln22expexp2CVViCCiCVCCViEENkTENEEEENN NnkTkTQkTEEnpFiiexp同理：下图显示如何求得载流子浓度的步骤（注意下图显示如何求得载流子浓度的步骤（注意npnpn ni i2 2），其步），其步骤与求本征半导体时类似。但在此例中费米能级较接近导带骤与求本征半导体时类似。但在此例中费米能级较接近导带底部，且电子浓度（即上半部阴影区域）比空穴浓度（下半底部，且电子浓度（即上半部阴影区域）比空穴浓度（下半部阴影区域）高出许多。部阴影区域）高出许多。 FECEVE N(E) F(E) n(E

29、)和p(E)EnECEVEDEE导带价带0 0.5 1.0p2inpnDE(a) 能带图 (b) 态密度 (c) 费米分布函数 (d) 载流子浓度 例例 一硅晶掺入每立方厘米一硅晶掺入每立方厘米10101616个砷原子，求室温下个砷原子，求室温下(300K)(300K)的载流子浓的载流子浓度与费米能级。度与费米能级。 解 在300K时，假设杂质原子完全电离，可得到33316292103 . 9101065. 9cmcmNnpDi得：31610cmNnD室温时，硅的ni为9.65109cm-319162.86 10ln()0.0259ln()2.0510CCFDNEEkTeVeVN从本征费米能级

30、算起的费米能级为从导带底端算起的费米能级为eVeVnNkTnnkTEEiDiiF358. 01065. 910ln0259. 0lnln916CEVEDE0.205eV1.12eV0.054eV0.358eVFEiE2inpn因为多数载流子浓度与少数载流子浓度多数载流子浓度与少数载流子浓度2000000pppin pnnppn在一定的温度下，n型半导体是导带中的电子占多数，型半导体是价带中的空穴占多数。由，可以知道在非本征激发温度区，n型半导体必有型半导体必有n型半导体中，电子为多数载流子（多子）空穴为少数载流子（少子）型半导体中，空穴为多数载流子（多子）电子为少数载流子（少子）若施主与受主两

31、者同时存在，则由较高浓度的杂质决定半导体的传导类型。费米能级需自行调整以保持电中性，即总负电荷（包括电子和离子化受主）必须等于总正电荷（包括空穴和离子化施主）。在完全电离的情况下，可以得到在完全电离的情况下，可以得到 可得到可得到n n型半导体中平衡电子和空穴的浓度。型半导体中平衡电子和空穴的浓度。 其中下标符合其中下标符合n n表示表示n n型半导体。因为电子是支配载型半导体。因为电子是支配载流子，所以称为多数载流子（流子，所以称为多数载流子（majority carriermajority carrier）。）。在在n n型半导体中的空穴称为少数载流子（型半导体中的空穴称为少数载流子（mi

32、nority minority carriercarrier）。）。 ADnNpN2innp 考虑到221N42nDAinNNnDA（-N ）2innnpn同样，我们可以得到在同样，我们可以得到在p p型半导体中的空穴浓度（多数载流型半导体中的空穴浓度（多数载流子）和电子浓度（少数载流子），下标子）和电子浓度（少数载流子），下标p p表示表示p p型半导体型半导体 。 一般而言，净杂质浓度一般而言，净杂质浓度|N|ND DN NA A| |的大小比本征载流子浓度的大小比本征载流子浓度n ni i大，大，因此以上的关系式可以简化成因此以上的关系式可以简化成 221N42pADipNNnAD（-N

33、 ）2ippnnpADADnNNNNn,DADApNNNNp,第三章 半导体中载流子的统计分布 3.1 3.1 费米分布与玻耳兹曼分布费米分布与玻耳兹曼分布 3.2 3.2 半导体载流子的统计半导体载流子的统计 3.3 3.3 本征半导体的载流子浓度本征半导体的载流子浓度 3.4 3.4 杂质半导体的载流子浓度杂质半导体的载流子浓度 3.5 3.5 杂质半导体的载流子浓度及费杂质半导体的载流子浓度及费米能级随温度的变化米能级随温度的变化 3.6 3.6 简并半导体的载流子浓度简并半导体的载流子浓度 杂质半导体载流子浓度与温度的关系杂质半导体载流子浓度与温度的关系 在低温时，晶体中的热能不在低温

34、时，晶体中的热能不足以电离所有存在的施主杂质。足以电离所有存在的施主杂质。有些电子被冻结在施主能级中，有些电子被冻结在施主能级中，因此电子浓度小于施主浓度。当因此电子浓度小于施主浓度。当温度上升时，完全电离的情形即温度上升时，完全电离的情形即可达到可达到( (即即n nn nN ND D) )。当温度继续。当温度继续上升时，电子浓度基本上在一段上升时，电子浓度基本上在一段长的温度范围内维持定值，此为长的温度范围内维持定值，此为非本征区。然而，当温度进一步非本征区。然而，当温度进一步上升，达到某一值，此时本征载上升，达到某一值，此时本征载流子浓度可与施主浓度相比，超流子浓度可与施主浓度相比，超过

35、此温度后，半导体便为本征的。过此温度后，半导体便为本征的。半导体变成本征时的温度由杂质半导体变成本征时的温度由杂质浓度及禁带宽度值决定。浓度及禁带宽度值决定。 100200300400500600153 10210/T Kin非本征区电子浓度n/cm-3 iDnN本征区15310DNcm2001003001002000Si0021/20201+ln2222ln3ln(1)2414()+ln222CDDFCDFCCDDFiiiVCVFiCVCEEk TNENNEEk TNNNEEk Tnnk TNEEEEEEN只掺一种施主杂质的半导体，费米能级表达式为：、弱电离区、饱和电离区、过渡区、本征激发区

36、 杂质半导体费米能级与温度及杂质浓度的关系杂质半导体费米能级与温度及杂质浓度的关系由可以算出在已知受主或施主浓度下的费可以算出在已知受主或施主浓度下的费米能级对温度的函数图。下图为对硅及米能级对温度的函数图。下图为对硅及砷化镓计算所绘制的曲线，其中已将随砷化镓计算所绘制的曲线，其中已将随温度改变的禁带宽度变化列入考虑。注温度改变的禁带宽度变化列入考虑。注意到当温度上升时，费米能级接近本征意到当温度上升时，费米能级接近本征能级，亦即半导体变成本征化能级，亦即半导体变成本征化。 221N42pADipNNnAD（-N ）2ippnnp221N42nDAinNNnDA（-N ）2innnpnexp()2giCVEnN NkT和Si01002003004005006000.80.60.40.20.20.40.60.8CEVEiE/T K1210121014101410161016101810AN1810ANEFEi/eV 01002003004005006000.80.60.40.20.20.40.60.8CEVEiE/T K12101210141014101610