第四章-弯曲内力

1、一一、弯曲的工程、弯曲的工程实例实例1.1.火车车厢轮轴火车车厢轮轴 4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 2. 2. 吊车横梁吊车横梁 杆件承受垂直于其轴线方向的外力（即横向力）,或在其轴线平面内作用有外力偶时, 杆的轴线变为曲线.以轴线变弯为主要特征的变形称为弯弯 曲曲。以弯曲变形为主的杆件称为以弯曲变形为主的杆件称为梁梁。二、二、1 1、弯曲的概念、弯曲的概念AxB纵向对称面纵向对称面FqMeFAyFByyyyy对称轴对称轴2、对称对称弯曲的概念弯曲的概念对称弯曲的力学对称弯曲的力学模型模型x杆轴纵向对称面纵向对称面F1F2FAF

2、B构件几何构件几何特征：特征： 构件为具有纵对称面的等截面直杆构件为具有纵对称面的等截面直杆yz形心形心受力受力特征：特征： 横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内杆的纵向对称面内变形变形特征：特征： 横截面发生相对翻转，横截面发生相对翻转，杆件杆件轴线变形后轴线变形后为纵向对称面为纵向对称面内的内的平面曲线平面曲线三三、 梁的计算简图梁的计算简图 梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常用梁的轴线来代替梁。2. 荷载荷载简化简化 作用于梁上的荷载（包

3、括支座约束力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布荷载。均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载分布荷载Me集中力偶集中力作用在梁上的荷载形式固定铰支座2个约束力，1个自由度。可动铰支座 1个约束力，2个自由度。3. 支座简化支座简化FAxFAyMA固定端 3个约束，0个自由度。4、梁、梁按支承方法的分类按支承方法的分类悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁跨跨：梁在两支座之间的部分称为跨。其长度则称为梁在两支座之间的部分称为跨。其长度则称为跨长跨长。5、静定梁与超静定梁、静定梁与超静定梁静定梁静定梁 支座支座约束约束力力可以由静力平衡方程求解的梁可以由静力平衡方程求解的梁超静定梁超静定梁 支座约

4、束力支座约束力仅由静力平衡方程不能求解的梁仅由静力平衡方程不能求解的梁墙梁楼板qlASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFCBA0:0MMFlxF axMF xFlalFAFlaFB 4-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一、梁梁的剪力和的剪力和弯矩弯矩剪力剪力弯矩弯矩剪力：剪力：平行于横截面的内力平行于横截面的内力符号规定符号规定：使微段左使微段左上右下错动的剪力为上右下错动的剪力为正正,反之反之为为负负.或或剪力对分离体内一点取矩剪力对分离体内一点取矩,顺时针为正顺时针为正,逆时针为负逆

5、时针为负.MMMMFSFSFSFS 弯矩弯矩：截面上的内力偶矩截面上的内力偶矩符号规定符号规定：弯矩使微段凸向下变形，即下侧纤维受拉，弯矩使微段凸向下变形，即下侧纤维受拉，上侧纤维受压时为正，反之为负。上侧纤维受压时为正，反之为负。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负 建议建议：用截面法求内力时，用截面法求内力时，FS和和M均按正值方均按正值方向向假设假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上，这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。对于弯矩正负号也作同样判断

6、。 求剪力、弯矩的最基本方法为求剪力、弯矩的最基本方法为截面法截面法。截面法。截面法求内力的步骤为：切、取、代、求内力的步骤为：切、取、代、平平。求下图所求下图所示悬臂梁示悬臂梁1-1截面截面的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。解解：用截面法用截面法 112mq=4kN/m3mF=5kNABq=4kN/mF=5kN1sF1M02, 01 FqFFsykN1354221 FqFs0212, 01 FqMMC2121 FqMmkN1825124 FAy0,0yAysFFFF0,CM 例例:求求n-n截面内力截面内力， 设支反力已求出设支反力已求出。yFMeqOxnnaxAB解解:由由截面法截面法xFaFA

7、yyxFsMCsAyFFFAyMF xF xa0AyMF xF xa如图所示的简支梁，试求如图所示的简支梁，试求1 11 1及及C左右左右截面上截面上的内力。的内力。解：解：1.1.求求支座约束力支座约束力03, 0)(0, 0lFlFFMFFFFBABAy得得FFFFBA31,322.2.求截面求截面1 11 1上的内力上的内力S20,0,3yASDDAFFFFFF20,0,3DDADAMMF aMFaFa右左右左CCCCMMFF,SS同理同理, ,对于对于C C左左截面：截面：FllFMFFFCAC9233232S左左对于对于C C右右截面：截面：3SFFFFAC右FllFMAC923右在

8、集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；而弯矩保持不变。中力的大小；而弯矩保持不变。负号表示假设方向与实际方向相反。负号表示假设方向与实际方向相反。scF左cM左AF3lscF右cM右AF3lFv向上向上的外力引起的外力引起正正剪力，向下的外力引起负剪力；剪力，向下的外力引起负剪力；截开后取截开后取左左边边为为研究研究对象对象：v向上向上的外力引起的外力引起正正弯矩，向下的外力引起负弯矩；弯矩，向下的外力引起负弯矩；v顺顺时针力偶时针力偶引起引起正正弯矩，弯矩，逆时针力偶引起逆时针力偶引起负弯矩。负弯矩。 q向上的外力引

9、起负剪力，向上的外力引起负剪力，向下向下的外力引起正剪力；的外力引起正剪力；截开后取截开后取右右边边为为研究研究对象对象：q向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；q顺时针力偶引起顺时针力偶引起负弯矩，负弯矩，逆逆时针力偶引起时针力偶引起正正弯矩。弯矩。根据符号规定根据符号规定, ,可以得到下述两个规律可以得到下述两个规律: :1 1、横截面上的剪力在数值上等于截面、横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧左侧（或右侧）梁段上横向力的代数和。在左侧梁段上向上（或右侧梁梁段上横向力的代数和。在左侧梁段上向上（或右侧梁段上向下）的外力引起正剪力，反

10、之，引起负剪力。段上向下）的外力引起正剪力，反之，引起负剪力。简记为简记为：左上右下为正。：左上右下为正。2 2、横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧（、横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧（或右侧或右侧）梁段上所有外力（包括外力偶）对该截面形心的矩的代梁段上所有外力（包括外力偶）对该截面形心的矩的代数和。无论左侧或右侧，向上的外力均引起正弯矩，向数和。无论左侧或右侧，向上的外力均引起正弯矩，向下的外力均引起负弯矩。下的外力均引起负弯矩。左侧顺时针力偶引起正弯矩左侧顺时针力偶引起正弯矩，右侧逆时针力偶引起正弯矩。右侧逆时针力偶引起正弯矩。简记简记为：为：左顺右逆为左顺右逆为正正。利用上述结论求剪力

11、、弯矩的方法称为利用上述结论求剪力、弯矩的方法称为一步写出法一步写出法求下图所求下图所示悬臂梁示悬臂梁1-1截面截面的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。解解：用一步写出法用一步写出法 112mq=4kN/m3mF=5kNABkN1354221 FqFs2121 FqMmkN1825124 k kN Ny y29030 BBAFqFFFF求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-1与与2-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNAB解：解： 1、求、求支座约束力支座约束力3064.53015kN2BAAMFFqF )0(的的正正误误或或校校核核求

12、求也也可可由由BBAFFM FAFB2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力15kN29kNABFFkN78151 FFFAsmkN265 . 082155 . 021 FFMA或或kN72912331 BsFqFmkN265 . 21234295 . 2341 qFMB3、计算、计算2-2截面截面的内力的内力15kN29kNABFFkN115 . 1128155 . 12 qFFFAs75. 05 . 135 . 42 qFFMA或或kN1129125 . 15 . 12 BsFqF75. 05 . 15 . 12 qFMBmkN3075. 05 . 112385 . 415 mkN3075

13、. 05 . 1125 . 129 求图示外伸梁中的求图示外伸梁中的1 11 1、2 22 2、3 33 3、4 44 4和和5 55 5各截面上的内力各截面上的内力m3m3m2kN61212AmkN2 q343455CBmkN6 13kN5kN解：解： 1、求支反力、求支反力y0626263605kN0626013kN(0)ABBABABAAMFFFFFFMFF 也可由求或校核的正误AFBFm3m3m2kN61212AmkN2 q343455CBmkN6 2、计算计算各各截面截面的内力的内力S116kN 6 212kN mFM S2267kN 6 212kN mAFFM 13kN5kNAFB

14、Fm3m3m2kN61212AmkN2 q343455CBmkN6 S336 132 31kN 36 5 13 32 30kN m2FM 13kN5kNAFBFm3m3m2kN61212AmkN2 q343455CBmkN6 44352 31kN 33335 32 36kN m22SBBFFqMFq S555kN 0kN mBFFM 13kN5kNAFBFm3m3m2kN61212AmkN2 q343455CBmkN6 一长为2m的均质木料，欲锯下0.6m长的一段。为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处才能

15、使木料锯口处的弯矩为零。ACDBqma6 . 0 xml20DMxxqFA21222alqalFMAC0024 . 14 . 12122qxxqmx462. 0二、剪力二、剪力方程和弯矩方程方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图)()(SSxMMxFF剪力方程剪力方程：剪力、弯矩图：剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程的函数图形的函数图形。横轴横轴与与轴线平行，表示轴线平行，表示截面的截面的位置；纵轴表示位置；纵轴表示内力（剪力、弯矩）的内力（剪力、弯矩）的大小大小。剪力随剪力随横截面变化横截面变化的函数表达式的函数表达式弯矩弯矩方程方程：弯矩随弯矩随横截面变化横截面变化的函数表达

16、式的函数表达式注意：注意：土建中土建中弯矩图画弯矩图画在受在受拉一侧（即正值画拉一侧（即正值画在在x轴轴下下方方，负值画在，负值画在x轴轴上方）上方）。作图示悬臂梁作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。S( )(0)( )(0)F xFxlM xFxxl 剪力、弯矩方程：xFSFFlMFlMFFmaxmaxS|FlAB解：解：BAl解：解：1 1求求约束力约束力FAy FBy ql/2求弯矩的极值求弯矩的极值xCx 2022qlqxM xxxl d( )d2sM xqlqxF xxFSxMx2/ql2/ql28ql简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载作用。试作用。试写出剪力和弯矩方写

17、出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。程，并画出剪力图和弯矩图。4.22332ql2332ql由对称性由对称性2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程228lxqlM极值令令=0故故 02SqlFxqxxl2lx 得：得：试画出如图示简支梁试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求支反求支反力力0,0yAFM得得lFaFlFbFBA,4.3FAFB由由BlFAabC2.2.列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程AC段段: :S11( ), 0AFbF xFxal1111( ), 0AFbM xFxxxalBC段段: :S22()0BFaF xFxbl 2222(

18、)0BFaM xF xxxblx2x1FS图图FalFblM图图FablFAFBBlFAabC 在集中力在集中力作用处剪力图有突变作用处剪力图有突变，突变值，突变值等于等于集中力的大小集中力的大小；从左往右；从左往右画画，突变的方向、大小，突变的方向、大小与力相同。弯矩图出现尖角，尖角的方向与集中与力相同。弯矩图出现尖角，尖角的方向与集中力的箭头方向一致。力的箭头方向一致。结论：结论：FABCMxFsx试画出如图示简支梁试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求支反求支反力力0,0ABeMF lM4.4FAFB0,0yABFFFeBMFleABMFFlBlAa

19、bMeC2.2.列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程AC段段: :S11( ), 0eAMF xFxal1111( ), 0eAMM xFxxxalBC段段: :S22()0eBMF xFxbl2222()0eBMM xF xxlxb x2x1FS图图eM bleMlM图图eM alFBBlAabMeFAC 在集中力偶作在集中力偶作用处用处剪力图无变化。弯矩图有剪力图无变化。弯矩图有突变，突变值突变，突变值等于等于集中力偶的力偶矩；从左往右集中力偶的力偶矩；从左往右画，画，顺时针顺时针的集中力偶引起正突变，的集中力偶引起正突变，逆时针逆时针的集的集中力偶引起负突变，即顺下逆上。中力偶引起负突变，即

20、顺下逆上。结论：结论：试写出图示简支梁的剪力、弯矩方程，并作试写出图示简支梁的剪力、弯矩方程，并作剪力、弯矩图剪力、弯矩图。解：解：1.1.求支反求支反力力0AM14BFqaBqAaaC2qa0,0yABFFFqa23202BFaqaaqa34AFqa34qa14qaFAFB2.2.列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程AC段段: :S113( ), 04AF xFqaxa11113( ), 04AM xFxqaxxaBC段段: :S2221()4BF xqxFqxqa22222()2BxM xF xqaqxx2x1FS图图4qaM图图234qaFBBqAaaC2qaFA34qa14qa20 xa2

21、2222042qaqxqaxxa34qa23332qa2qa4a 2224ddqxqaxxM ,42ax 23233qaM 极值极值令令0则则求弯矩的极值求弯矩的极值试写出图示试写出图示悬臂梁悬臂梁的剪力、弯矩方程，并作剪力、的剪力、弯矩方程，并作剪力、弯矩图弯矩图。AB3kN/m4m3kN2mC解：列解：列剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程BC段段: :AC段段: :FS图图( (kNkN) ) M图图( (kNmkNm) )x1x2AB3kN/m4m3kN2mC m)20(311 xxFs m)20(3111 xxxM m)62(323222 xxxFs m)62(223322222 xxxxM

22、 391m667.5 233dd222 xxxM, 32 xmkN5 . 7 极值极值M令令0则则求弯矩的极值求弯矩的极值试写出图示试写出图示悬臂梁悬臂梁的剪力、弯矩方程，并作剪力、的剪力、弯矩方程，并作剪力、弯矩图弯矩图。解解：1 1、求、求支反支反力力AB3kN/m4m3kN2mC0433, 0 AyFFkN9 AF024363, 0 AAMMmkN63638 AMFAMA=9kN=6kNm2 2、列、列剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程BC段段: :AC段段: :FS图图( (kNkN) ) M图图( (kNmkNm) )x1x2AB3kN/m4m3kN2mC m)20(311 xxFs m)

23、20(3111 xxxM m)40(39222 xxxFs m)40(623922222 xxxxM 393m667.5 22239ddxxxM , 32 xmkN5 . 7 极值极值M令令0则则求弯矩的极值求弯矩的极值FAMA=9kN=6kNmBAlFAy FBy ql/2xCx由对称性由对称性三、弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系及其应用三、弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系及其应用 引例引例 qxqlxFs 2 222qxxqlxM qxxFs dd xFqxqlxxMs 2dd qxxM 22dd得得负号表示负号表示q的方向向下的方向向下F xqq q为为 +q为为 -0yF dd0sss

24、Fxq xxFxFx d dsFxq xx 0OM dddd02sxM xFxxq xxM xM x d d sM xFxx 22dd d dsM xFxq xxxdxOq(x)M(x)Fs(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)证明：证明：v集中力集中力作作用处用处, ,剪力图发生突变，突变值剪力图发生突变，突变值等于集中力的等于集中力的大小；大小；弯矩图出现尖角，尖角的方向与集中力箭头方向一致。弯矩图出现尖角，尖角的方向与集中力箭头方向一致。v在在梁的梁的某一段上若某一段上若无荷载作用无荷载作用，剪力图为一水平线，弯矩，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。特殊地，若图为一斜直线。

25、特殊地，若剪力为零剪力为零，则弯矩图为一水平线。，则弯矩图为一水平线。v在梁的某在梁的某一段上一段上作用均布荷载作用均布荷载，剪力图为一斜直线，剪力图为一斜直线，弯矩弯矩图图为一抛物线为一抛物线。v集中集中力偶作用处，剪力图力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图发生无变化，弯矩图发生突变，突变值突变，突变值为该集中力偶为该集中力偶的力偶矩。的力偶矩。1 1、规律、规律vFS=0处弯矩处弯矩M取得极值取得极值。qsFMqsFMv在简支梁的铰支端和悬臂梁的自由端在简支梁的铰支端和悬臂梁的自由端，若无集中力偶作用若无集中力偶作用，则弯矩为零则弯矩为零。一段梁上的一段梁上的外力情况外力情况剪力图的特征剪力图

26、的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截最大弯矩所在截面的可能位置面的可能位置q0向下的均布荷载向下的均布荷载无荷载无荷载集中力集中力FC集中力偶集中力偶MeC下凸的二次抛下凸的二次抛物线物线在在FS=0的截面的截面一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突变处有突变F在在C处有尖角处有尖角或或在剪力突变的在剪力突变的截面截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变Me在紧靠在紧靠C的某一的某一侧截面侧截面向右下倾斜的直线向右下倾斜的直线 水平直线水平直线 2、各种、各种荷载下剪力图与弯矩图荷载下剪力图与弯矩图的特征的特征3 3、边界条件和突变条件边界条件和突变条件 （1 1）边界条件）边

27、界条件 a 梁端只有集中力时梁端只有集中力时Fs图图的端点值的端点值=此此集中力集中力值值 b 梁端只有集中力偶时梁端只有集中力偶时M图的端点值图的端点值=此此集中力偶集中力偶值值M图的端点值图的端点值=0Fs图图的端点值的端点值=0Fs图图的端点值的端点值=此此集中力集中力值值 c 梁端既有集中力梁端既有集中力 又又有集中力偶时有集中力偶时M图的端点值图的端点值=此此集中力偶集中力偶值值3、作剪力、弯矩图的简易方法、作剪力、弯矩图的简易方法（1）求支座约束力求支座约束力（必须校核）；（必须校核）；（2）分段分段：根据外力情况将梁分段，分段点为：集：根据外力情况将梁分段，分段点为：集中力作用处

28、、集中力偶作用处、分布力的起点和终中力作用处、集中力偶作用处、分布力的起点和终点、支座；根据各段荷载情况确定剪力、弯矩图的点、支座；根据各段荷载情况确定剪力、弯矩图的形状；形状；（3）定点定点：用一步写出法求出各控制截面的内力值；：用一步写出法求出各控制截面的内力值；（4）联线联线。5425. 23AB段作用有向下均布荷载，段作用有向下均布荷载，Fs图为斜图为斜直线直线M图为向下凸的二图为向下凸的二次抛物线次抛物线sBF3kN 左A3 42 4 24kN mM 右作图示梁的剪力、作图示梁的剪力、弯矩图。弯矩图。sAF32 45kN 右B0MAC5AB-BC5=BC=1.5mBC3BC3C1.5

29、3 1.52 1.522.25kN mM 4m3kN2kN mABC1.5mFS图图M图图（kN）（kNm）FFaaFaFaABCFs-BC段：无荷载-水平直线M-BC段：Fs=0，故M图为水平线AB段：无荷载-水平直线AB段：无荷载-斜直线BC0sFsABFFBCMFaBMFaA0MFaFa右取自由端一侧：作图示梁的剪力、弯矩图。作图示梁的剪力、弯矩图。FS图图M图图试作剪力、弯矩图试作剪力、弯矩图。解：解：1.1.求支反求支反力力0BM8kNDF 0,4 2200yABFFF 44 2 1 20 20DF 20kN8kNDq=4kN/mA2m2mC2mF=20kNBFD0DM20kNBF

30、44 2 520 20BF 校核：校核：FB2.2.作作剪力、弯矩图剪力、弯矩图0SAF82012kNSBCF 0DMSBF左=-4 2=-8kN8kNSCDF 4 2 18kN mBM 0AM外力将梁分为三段外力将梁分为三段8 216kN mCM FS图图M图图8816812（kN）（kNm）20kN8kNDq=4kN/mA2m2mC2mF=20kNBFBFD试作剪力、弯矩图试作剪力、弯矩图。解：解：1.1.求支反求支反力力0AM18kNCF 0,6 40yACFFF 6 126 4 40CF 6kN18kNFC0CM6kNAF 6 126 4 20AF 校核：校核：q=6kN/mA4mC2

31、mMe=12kNmBFA2.2.作作剪力、弯矩图剪力、弯矩图6kNSABF18kNSCF 左6kNSBF6 2=12kN mBM左0AM外力将梁外力将梁分为分为两两段段18 36 3 1.527kN mM 极值FS图图M图图2427186（kN）（kNm）12=3m6 2+12=24kN mBM右18 4-6 4 2 =24kN mBM 右4618aa6180,3maa3ma 或或或或a0CMFC6kN18kNq=6kN/mA4mC2mMe=12kNmBFAqa22qa0sBF0BM2222CaqaMqaqa左作图示梁的剪力、弯矩图。作图示梁的剪力、弯矩图。a2qaqaABCqa22qa22q

32、aFS图图M图图sCFqasACFqa22322AaqaMqaqa 右222CaqaMqa 右22qa练习练习 1、列列FS、M方程，并作方程，并作该梁的该梁的FS、M图。图。BAa4aqaqC 2、用简易法、用简易法作梁作梁的的FS、M图。图。BA2m6m12 kN6kN/ mq C2mD6kN m解：解：AB段段: :CB段段: :FS图图 M图图 )0(11axqaxFs )0(111axqaxxM )40(47222axqaqxxFs )40(214722222axqxqaxxM BAa4aqaqCx1x2qaFB413 qaFC47 qaqa49qa47a4724932qa2qa 1

33、、列列图示梁的图示梁的FS、M方方程，并作程，并作FS、M图。图。列剪力、弯矩方程列剪力、弯矩方程FS图图M图图13（kN）（kNm） 2、用简易法、用简易法作梁作梁的的FS、M图。图。BA12 kN6kN/ mq CD6kN m2m6m2m23122420.1=241/12661313kN35kN若在若在x= =a和和x= =b处两横截面间无集中力作用，则处两横截面间无集中力作用，则四、弯矩、剪力和荷载集度间的四、弯矩、剪力和荷载集度间的积积分关系分关系 xqxxFs dd xFxxMs dd得得 babasxxqxFd)(d basAsBxxqFFd其中等号右边积分的几何意义是上述两横截面

34、间分布荷载图的面其中等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。积。 即：即：若若A、B两两截面间无集中力作用截面间无集中力作用, ,则则B截面截面上上的剪力等于的剪力等于A截截面面上上的剪力加上的剪力加上两截面之间分布荷载图的两截面之间分布荷载图的面积。面积。注意注意：1 1、B B截面在截面在A A截面的右侧。截面的右侧。2 2、q向下向下，荷载图面积，荷载图面积为负；为负；q向上向上，荷载图面积，荷载图面积为正。为正。 xFxxMs dd同理，若在同理，若在x= =a和和x= =b处两横截面间无集中力偶作用，则处两横截面间无集中力偶作用，则 basABxxFMMd其中等号右边

35、积分的几何意义是上述两横截面间其中等号右边积分的几何意义是上述两横截面间剪力剪力图的面积。图的面积。注意注意：1 1、B截面在截面在A截面的右侧。截面的右侧。2 2、剪力、剪力为正，面积为正；剪力为负，面积为负。为正，面积为正；剪力为负，面积为负。 即：即：若若A、B两两截面间无截面间无集中力偶作用集中力偶作用, ,则则B截面截面上上的弯矩等于的弯矩等于A截面截面上上的弯矩加上的弯矩加上两截面两截面之间剪力图之间剪力图的的面积。面积。18FS图图M图图24276（kN）（kNm）12=3maFC6kN18kNq=6kN/mA4mC2mMe=12kNmBDFA例：例：kN1824646 左左sB

36、scFFmkN121206 2 2左左ABMMmkN273246 1 12 21 1右右BDMM0272718 3 32 21 1DCMM例例 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FS、M图。图。解：解： 1、求支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAFF2、判断各段、判断各段FS、M图形状：图形状：CA和和DB段：段：q=0，FS图为水图为水平线，平线，M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：q0， FS 图为向下斜图为向下斜直线，直线， M图图为下凸为下凸抛物线。抛物线。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3、先确定各分段点（即控制、先确定各分

37、段点（即控制截面）的截面）的FS 、M值，用相应值，用相应形状的线条连接。形状的线条连接。FS+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.413_+FAFB2.2kN8 . 3422 . 4 sDFmkN41. 11 . 22 . 4213 EM11.413.8 1.92.2kN m2DM 左左44.51.55.55 . 87 （光滑）（kN）FS图图（kNm）M图图m2m1mkN4 mkN2kN6m1ABCD5.5kN4.5kN+_+ FSxqaqa qa2/2qa2/2例例: 作图示梁的作图示梁的FsM图图xMqa2/2 qa2/2qqa22qaaaa讨论：带有中间铰的组

38、合梁讨论：带有中间铰的组合梁具有中间铰的组合梁由具有中间铰的组合梁由两部分组成：两部分组成：主梁（母梁）主梁（母梁）可独立存在可独立存在辅梁（子梁）辅梁（子梁）不能独立存在不能独立存在中间铰的特点：中间铰的特点：只传只传力力,不不传递力偶传递力偶求解方法求解方法拆！拆！从中间铰处拆开，设出相互作用力，先根据从中间铰处拆开，设出相互作用力，先根据子梁上的平衡求出反力，再以大小相等、方子梁上的平衡求出反力，再以大小相等、方向相反的力加到母梁上，两向相反的力加到母梁上，两 个梁就成为独个梁就成为独立的梁，如同前面的问题立的梁，如同前面的问题讨论：带有中间铰的组合梁讨论：带有中间铰的组合梁具有中间铰的

39、组合梁由具有中间铰的组合梁由两部分组成：两部分组成：主梁（母梁）主梁（母梁）可独立存在可独立存在辅梁（子梁）辅梁（子梁）不能独立存在不能独立存在中间铰的特点：中间铰的特点：只传只传力力,不不传递力偶传递力偶求解方法求解方法拆！拆！从中间铰处拆开，设出相互作用力，先根据从中间铰处拆开，设出相互作用力，先根据子梁上的平衡求出反力，再以大小相等、方子梁上的平衡求出反力，再以大小相等、方向相反的力加到母梁上，两向相反的力加到母梁上，两 个梁就成为独个梁就成为独立的梁，如同前面的问题立的梁，如同前面的问题aaqaABCD223qaM aADaqaBC223qaM FBFBFAMAFDqaFD41 qaF

40、FBA47 247qaMA aaqaABCD223qaM FAMAFDqaFD41 qaFA47 247qaMA qa47qa41247qa241qa2321qa245qaFS图图M图图aaqaABCD223qaM 对对组合梁组合梁，求支座约束力时，可先取辅梁研究，求支座约束力时，可先取辅梁研究，再取主梁或整体研究。约束力求出后，剪力、弯矩图再取主梁或整体研究。约束力求出后，剪力、弯矩图的作法与单个梁类似。中间铰作图时不用管，的作法与单个梁类似。中间铰作图时不用管，在中间在中间铰处也不用分段，铰处也不用分段，最后可利用中间铰处弯矩为零校核。最后可利用中间铰处弯矩为零校核。aaqaABCD223

41、qaM aADaqaBC223qaM FBFBFAMAFDqaFD41qaFFBA47247qaMAqa47qa47qa41247qa241qa2321qa245qaFS图图M图图1 母梁上的母梁上的荷荷载不能传到子梁上，载不能传到子梁上， FFaa2aFMFa注意FQF/2F/2F/2F而子梁上的而子梁上的荷荷载必须传到载必须传到母梁母梁 Fa/2FaMFSF/2 F/2Faa2a2。若中间铰左若中间铰左、上上、右侧作用有集中力，右侧作用有集中力，放在哪边来求解都可放在哪边来求解都可FQFMFa(a )图图F作用于中间铰上作用于中间铰上(b)图将图将F置于子梁上置于子梁上(C)图将图将F置于

42、母梁上置于母梁上FABCaa(a)FFF(b)(C)F可见结果是一样可见结果是一样MeaaMeMeMeFQMaMeaMeaMeaMe五、用五、用叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图叠加原理：叠加原理：由几个由几个荷荷载共同作用所引起的某载共同作用所引起的某一物理量（内力，应力，应变或变形等），一物理量（内力，应力，应变或变形等），等于每一个等于每一个荷荷载（主动力）单独作用时所引载（主动力）单独作用时所引起的该物理量的叠加（代数和）。起的该物理量的叠加（代数和）。应用条件：应用条件：所求物理量（内力，应力，应变所求物理量（内力，应力，应变或变形等）必须是或变形等）必须是荷荷载载 的线性齐次式。的线性齐

43、次式。 当当为为小变形时，即线弹性结构下，小变形时，即线弹性结构下，内力、内力、应力应力、应变，均与荷载为线性关系，即满足应变，均与荷载为线性关系，即满足叠加原理。叠加原理。 应用叠加法可简化计算，但要求对简单应用叠加法可简化计算，但要求对简单荷载作用下的物理量较熟。荷载作用下的物理量较熟。 先分别画出每一先分别画出每一荷荷载单独作用下梁的载单独作用下梁的弯矩图，然后将同一截面相应的各纵坐标弯矩图，然后将同一截面相应的各纵坐标代数叠加，即得到梁在所有荷载共同作用代数叠加，即得到梁在所有荷载共同作用下下的弯矩图。的弯矩图。方法：方法：注意：注意： 直线直线与直线叠加为直线，直线与曲与直线叠加为直

44、线，直线与曲线叠加为曲线。线叠加为曲线。ACBL/2L/2F=qLqbbACBL/2L/2F=qL832ql442qlFl 82qlABLqq=+Fqa2qa2qa2/2qa2/2qaaaF=qaFaFaMMeMMqqa2/2MMeqa2Mqa2/2qa2Fa/2MF2aaMe=qa2qMe=FaaaaF叠加法作弯矩图lABqFlABFAlBqFqLF+qLFL1/2qL21/2qL2+FL=ACBFlm41F2l2lCABF2l2lACFlm41l+Fl41-Fl41+-Fl81Fl41kN6mkN2m2m2m2kN6ACDBmkN2m2m2m2+6-4+44-结构对称，结构对称，荷载反对称

45、，荷载反对称，则则F FS S图图对称对称( (大小大小相等，正负相同相等，正负相同) )，MM图图反对称（大反对称（大小相等，正负相小相等，正负相反）。反）。ABaqq2qa2qaa2qa2qa2qa2a2a82qa82qaFS图图M图图结构对称，荷载对称，则结构对称，荷载对称，则F FS S图反对称，图反对称，MM图对称图对称ABFaaaa2F2FFF2F2F2F2F2Fa2FaFS图图M图图工程中某些结构的轴线是由几段直线组成的工程中某些结构的轴线是由几段直线组成的折线，这种结构的每两组成部分用刚节点联折线，这种结构的每两组成部分用刚节点联接。接。刚节点刚节点-刚性接头处，相连杆件间的夹

46、角在刚性接头处，相连杆件间的夹角在受力时不变化，刚节点不仅能传力，而且还受力时不变化，刚节点不仅能传力，而且还能传递力矩。能传递力矩。刚架刚架-杆系在联接处用刚节点联接起来的结杆系在联接处用刚节点联接起来的结构。构。平面刚架平面刚架-刚架的各杆系位于同一平面内。刚架的各杆系位于同一平面内。 4-3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图横梁横梁立柱立柱 在在平面荷载作用下，组成刚架平面荷载作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。力和弯矩三个内力分量。轴力图和剪力图轴力图和剪力图：画在轴线的任一侧（通常正值画：画在轴线的任一侧（通常

47、正值画在刚架外在刚架外侧侧），），标明标明正负正负。弯矩图弯矩图：画在受：画在受拉拉的一侧，不标明正负。的一侧，不标明正负。 轴力仍以拉为正，压为负。剪轴力仍以拉为正，压为负。剪力仍对分离体内一点取矩，顺时针力仍对分离体内一点取矩，顺时针为正，逆时针为负。设想人站在刚为正，逆时针为负。设想人站在刚架内部环顾刚架各杆，则剪力、弯架内部环顾刚架各杆，则剪力、弯矩的符号规定和计算方法与梁相同。矩的符号规定和计算方法与梁相同。 计算截面内力的基本方法仍为截面法，一步写计算截面内力的基本方法仍为截面法，一步写出法仍适用。出法仍适用。 4-3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图刚架刚架：由两根或

48、两根以上的杆件组成的并在连由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。接处采用刚性连接的结构。横梁横梁立柱立柱当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。即角度（一般为直角）保持不变。在平面荷载作用下，组成刚架的杆在平面荷载作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。弯矩三个内力分量。轴力图和剪力图轴力图和剪力图：画在轴线的任一侧（通常正值画在外侧），：画在轴线的任一侧（通常正值画在外侧）， 标明正负标明正负。弯矩图弯矩图：画在受：画在受拉拉的一侧，不标明正负。的一侧，不标明正负。平面刚架的内力的计算和内力图的作法与直平面刚架的内力的计算和内力图的作法与直梁是一样的，不同点在于对刚架的各段杆要梁是一样的，不同点在于对刚架的各段杆要分别选取坐标（可