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文档简介

1、 在解析几何中有关二次曲线和二次曲面在解析几何中有关二次曲线和二次曲面方程的标准化研究中，以及对科学技术和经方程的标准化研究中，以及对科学技术和经济管理领域中的许多数学模型研究中，经常济管理领域中的许多数学模型研究中，经常需要把需要把 n个变量的二次齐次多项式通过可逆个变量的二次齐次多项式通过可逆的线性变换，化为平方和的形式，这正是本的线性变换，化为平方和的形式，这正是本章要研究的二次型问题。本章中将建立二次章要研究的二次型问题。本章中将建立二次型与对称矩阵的对应关系，讨论二次型的标型与对称矩阵的对应关系，讨论二次型的标准化和分类准化和分类. .第第二二节节 二次型的标准形与规范形二次型的标准

2、形与规范形一一、二次型的标准形与标准化方法、二次型的标准形与标准化方法二、二次型的规范形与惯性定理二、二次型的规范形与惯性定理 二次型理论研究和应用的一个主要内容二次型理论研究和应用的一个主要内容就是探讨是否存在可逆的线性变换，通过该就是探讨是否存在可逆的线性变换，通过该变换将二次型化为简化的标准形和规范形变换将二次型化为简化的标准形和规范形. .2 二次型的标准形与规范形一、二次型的标准形与标准化方法1.1.用正交变换法化二次型为标准型用正交变换法化二次型为标准型 解解 二次型化的矩阵为二次型化的矩阵为222214241A2.2.用配方法化二次型为标准型用配方法化二次型为标准型(1)二次型中

3、含有平方项二次型中含有平方项令令 112322333 3 yxxxyxxyx即即 1123223332 3 xyyyxyyxy112233112013,001xyxyxy11201310001C 作可逆变换作可逆变换xCy即即 (2)(2)二次型中不含有平方项二次型中不含有平方项解解 作变换作变换11221233, xyyxyyxy112233110110001xyxyxy即即 二次型化为二次型化为12121231232()()2()6()fyyyyyyyyyy221132232428yy yyy y2221323232()228yyyyy y222132332()2(2)6yyyyy再令再令

4、 11322333 2 zyyzyyzy112233101012001zyzyzy即即 则原二次型化为标准形则原二次型化为标准形 222123226zzz所作变换为所作变换为 112233110110001xyxyxy123113111001zzz 问题：一个二次型可以用不同的可逆线性问题：一个二次型可以用不同的可逆线性变换化成不同的标准形，虽然二次型的标准形变换化成不同的标准形，虽然二次型的标准形并不唯一，但是，同一个二次型在化为标准形并不唯一，但是，同一个二次型在化为标准形后，标准形中所含正、负平方项的个数却是相后，标准形中所含正、负平方项的个数却是相同的，下面给出二次型的规范形概念同的，下面给出二次型的规范形概念. .

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