线性代数课件5.3向量空间的基和维

1、1、基和维的概念、基和维的概念2、再论线性代数方程组的解、再论线性代数方程组的解5.3 向量空间的基和维向量空间的基和维定义定义 设设v为向量空间为向量空间 如果如果r个向量个向量a1 a2 ar v 且满足且满足 (1) a1 a2 ar 线性无关线性无关 (2)v中任一向量都可由中任一向量都可由a1 a2 ar 线性表示线性表示 那么那么 向量组向量组a1 a2 ar 就称为向量空间就称为向量空间v的一个的一个基基 r 称为向称为向量空间量空间v的的维数维数 并称并称v为为 r 维向量空间维向量空间 注注 （1）只有零向量的向量空间没有基只有零向量的向量空间没有基 规定其维数为规定其维数为

2、0 （2）若把向量空间若把向量空间v看作向量组看作向量组 则向量空间则向量空间v的的基基就是就是向量组的向量组的最大无关组最大无关组 向量空间向量空间v的的维数维数就是就是向量组的秩向量组的秩 （3） 向量空间的基不唯一向量空间的基不唯一.5.3.1 基和维基和维定义定义 如果在向量空间如果在向量空间v中取定一个基中取定一个基a1 a2 ar 那那么么v中任一向量中任一向量 x 可可唯一唯一地表示为地表示为x 1a1 2a2 rar 数组数组 1 2 r 称为向量称为向量x在基在基a1 a2 ar中的中的坐标坐标 在向量空间在向量空间rn中以单位坐标向量组中以单位坐标向量组e1 e2 en为为

3、基基 则向量则向量x (x1 x2 xn)t可表示为可表示为x x1e1 x2e2 xnen 可见向量在基可见向量在基e1 e2 en中的坐标就是中的坐标就是该向量的分量该向量的分量 注注 线性空间线性空间v 的任意向量在不同的基下的坐标一般不同的任意向量在不同的基下的坐标一般不同, , 但一个向量在一组基下的坐标是唯一的但一个向量在一组基下的坐标是唯一的注注 求一向量在一组基下的坐标表示归结为讨论线性代数求一向量在一组基下的坐标表示归结为讨论线性代数方程组有无解的问题方程组有无解的问题. . 解解 例例 设设a a1 (2 2 1)t a2 (2 1 2)t a3 ( 1 2 2)t b b

4、1 (1 0 4)t b2 (4 3 2)t 验证验证a1 a2 a3是是r3的一的一个基个基 并求并求b1 b2在这个基中的坐标在这个基中的坐标 3123123 ,a a ara a aae要说明是的一个基，只要证线性无关， 即111 12123132121222323, bx ax ax abx ax ax a设则32312221121132121) , ,() ,(xxxxxxaaabb 记作 bax 记作 bax 31123(), , . a baea a araebxa b对矩阵施行初等行变换，若 能变为 ，则为的一个基，且当 变为 时， 变为 解解 ()22114212031224

5、 2a b2410033201013200113r3123,aea a ar因，故为的一个基，且,(,.,)121232433213213b baaa所以b1 b2在基a1 a2 a3中的坐标依次为 1 ,32 , 32和32 , 1 ,34 例例 设设a a1 (2 2 1)t a2 (2 1 2)t a3 ( 1 2 2)t b b1 (1 0 4)t b2 (4 3 2)t 验证验证a1 a2 a3是是r3的一的一个基个基 并求并求b1 b2在这个基中的坐标在这个基中的坐标 例例 在在r3中取定一个基中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基再取一个新基b1 b2 b3 设设a (a1

6、a2 a3) b (b1 b2 b3) 求用求用a1 a2 a3表示表示b1 b2 b3的表示式的表示式(基变换公式基变换公式) 并求向量在两个基中的并求向量在两个基中的坐标之间的关系式坐标之间的关系式(坐标变换公式坐标变换公式) 即基变换公式为即基变换公式为 (b1 b2 b3) (a1 a2 a3)a 1b 矩阵矩阵p a 1b称为从旧基到新基的称为从旧基到新基的过渡矩阵过渡矩阵 解解 由由(a1 a2 a3) (e1 e2 e3)a 得得 (e1 e2 e3) (a1 a2 a3)a 1 故故 (b1 b2 b3) (e1 e2 e3)b (a1 a2 a3)a 1b 基变换公式为基变换

7、公式为(b1 b2 b3) (a1 a2 a3)a 1b 设向量设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为在旧基和新基中的坐标分别为y1 y2 y3和和z1 z2 z3 这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式 则 321321321321) , ,() , ,(zzzyyybbbaaa 即于是 3211321yyyabzzz 321321321321) , ,() , ,(zzzyyybbbaaa 即321321zzzbyyya 例例 在在r3中取定一个基中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基再取一个新基b1 b2 b3 设设a (a1 a2 a3) b (b

8、1 b2 b3) 求用求用a1 a2 a3表示表示b1 b2 b3的表示式的表示式(基变换公式基变换公式) 并求向量在两个基中的并求向量在两个基中的坐标之间的关系式坐标之间的关系式(坐标变换公式坐标变换公式) 定理定理设设b1、bs 及及 f1、ft 是向量空间的是向量空间的任两任两组基，则必有组基，则必有 s=t.定义定义 向量空间向量空间v 的任一基向量的个数的任一基向量的个数, , 称为称为空间空间v 的的维维（dimension）, 记这个数为记这个数为 dimv证证 利用等价向量组利用等价向量组 根据向量空间基的定义可知两组基等价的，根据向量空间基的定义可知两组基等价的， 从而其秩相

9、等：从而其秩相等：12rr21,rs rt从而从而 st由于由于rn有一组明显的自然基，有一组明显的自然基， 100,010,00121neee故有故有 dim rn = n , 即即rn是是n维向量空间维向量空间. .若若s是是rn的任一子空间，则的任一子空间，则 dimdimnsr注注维可以低于维可以低于n，但它的任一向量却是，但它的任一向量却是n维向量维向量, , 亦即亦即空间维数空间维数与与向量维数向量维数是不同的概念是不同的概念. . 例例 考虑练习考虑练习2 2中给出的向量空间中给出的向量空间112(,)vspan a a其中其中 tt121 1 0 01 0 1 1,aa试求试求

10、 dimv1解解11 122, |vx xaa12r、由于由于其中其中故知故知v1中任一向量中任一向量x皆可依皆可依 a1, a2 线性表出线性表出. . 又因矩阵又因矩阵 之秩为之秩为2， 1211100101aa 故故a1,a2线性无关，线性无关，故故 a1,a2是是v1的基的基，从而从而 dimv1=2. 但是但是 a1,a2 以及以及v1中的任一向量中的任一向量x皆为皆为4维向量维向量. .5.3.2 再论线性代数方程组的解再论线性代数方程组的解5.3.2.1 齐次方程组齐次方程组m n齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组axo的解集的解集 n(a) 是向量空间，现在进一步指出：它的通

11、解中是向量空间，现在进一步指出：它的通解中元素的一般式中所含有任意常数的个数元素的一般式中所含有任意常数的个数 n- r(a) 就是就是 n(a)dim()()n anr a的维数的维数 dimn(a), 即即dim( )dim( )n ar an基础解系就是基础解系就是n(a)的一组基，它们线性无关，并生成的一组基，它们线性无关，并生成n(a). 齐次方程组的通解式（或基础解系）齐次方程组的通解式（或基础解系）不惟一确定不惟一确定， 但通解式中独立任意常数的但通解式中独立任意常数的个数是确定的个数是确定的，每一任意，每一任意常数对应一个常数对应一个基向量基向量，而基向，而基向量个数量个数一定

12、是一定是n- r(a)个个. 例例 试解齐次线性代数方程组试解齐次线性代数方程组 06330220432543214214321xxxxxxxxxxx解解 对系数矩阵施行初等行变换对系数矩阵施行初等行变换523421023136a5 2340 16 180 000故故 r(a)=2, 又又n=4, 方程组有非零解且带有方程组有非零解且带有n-r(a)=2常数常数.523421023136a1234234523406180 xxxxxxx取等价方程组取等价方程组523401618000012342345234618xxxxxxx 121234386181001xxccxx3142,xcxc令令，

13、则方程组的则方程组的通解通解为为 1212cc基础解系的构成及特点基础解系的构成及特点(1)(1)每一个向量都是齐次方程组的解每一个向量都是齐次方程组的解; ;(2)(2)基础解系中共有基础解系中共有 n-r(a) 个向量个向量；(3)(3)这组向量这组向量线性无关线性无关. .12( )(,)n aspan 2(di()( )mnarna根据通解的表达，该齐次方程组的解集可记为根据通解的表达，该齐次方程组的解集可记为因为因为 线性无关，即为线性无关，即为 n(a) 的一组的一组基基，于是，于是12，而通解中的两个任意常数即为而通解中的两个任意常数即为解向量对这一组基的坐标解向量对这一组基的坐

14、标.121234386181001xxccxx1212cc基础解系的构成及特点基础解系的构成及特点(1)(1)每一个向量都是齐次方程组的解每一个向量都是齐次方程组的解; ;(2)(2)基础解系中共有基础解系中共有 n-r(a) 个向量个向量；(3)(3)这组向量这组向量线性无关线性无关. .523421023136a1234234523406180 xxxxxxx523401618000034123423452618xxxxxxx 121234100134 311 2xxxx1212 1122,xx令令，则方程组的则方程组的通解通解为为 现在的基础解系是现在的基础解系是 12，不同基础解系代表

15、解空间的不同不同基础解系代表解空间的不同的基，但每一组基础解系包含的的基，但每一组基础解系包含的解向量的个数是确定的，解向量的个数是确定的，5.3.2.2 非齐次方程组非齐次方程组用向量空间理论解释相容性定理用向量空间理论解释相容性定理. .本章定理本章定理1 1说明了方程组说明了方程组 ax=b 即即相容性的重要条件是相容性的重要条件是 b r(a) . 1 122nnx ax ax ab故方程组无解故方程组无解. . ( )br a( )( )r ar a事实上，若事实上，若( )( )r ar a，则必则必( )( )r ar a，必是必是b不能依不能依a1，a2， ，an线性表出，即线

16、性表出，即 ( )br a说明向量组说明向量组a1， a2 ， ，an线性无关，故必为线性无关，故必为r(a)的一组基，的一组基，( )br a( )( )r ar an若若()()r ar arn说明生成说明生成 r(a)的的n个向量个向量a1， a2 ， ，an线性相关，而最大线性相关，而最大因向量因向量b b对一组基的坐标是惟一确定的，所以此时方程组有对一组基的坐标是惟一确定的，所以此时方程组有惟一解惟一解. . ( )br a( )( )r ar a当当( )( )r ar a时时，则则b必可依必可依a的列向量组线表出，即的列向量组线表出，即进一步，若进一步，若线性无关组含线性无关组含

17、 r 个向量个向量. 假定最大线性无关组是假定最大线性无关组是an-r+1， ，an ，为为 r(a)的一组基的一组基. t1，t2，tn-r ，向量向量 b + t1a1 + + tn-ran-r 对这组基必有惟一确定的坐标，对这组基必有惟一确定的坐标，设为设为 1*、 2* 、 n-r* ，就有，就有亦必在亦必在r(a)中，所以对中，所以对 n r 个任意常数值个任意常数值因因b, a1, an-r均在均在 r(a)中，故它们的线性组合中，故它们的线性组合b+t1a1+ + tn-ran-r= 1*an-r+1+ + n-r*an 从此式可看出从此式可看出，-t1 -tn-r 1* n-r

18、*t是是ax=b的解，的解， 由于由于t1、 t2、 tn-r可取任意值，故可取任意值，故 ax=b 的通解中含有的通解中含有 n-r 个任意常数个任意常数. 其次其次，用向量空间的概念同样直观地解释，用向量空间的概念同样直观地解释ax=b 通解的结构式通解的结构式gphxxx先给出先给出m n相容非齐次方程组相容非齐次方程组0()axb解的性质及其与对应齐次方程组的解的关系解的性质及其与对应齐次方程组的解的关系. .定理定理 设设m n相容非齐次方程组相容非齐次方程组ax=b的的解集为解集为s, , 对应齐次对应齐次方程组的解空间为方程组的解空间为n(a)， 若已知若已知 ,21sxx、则则

19、 1()a kxkb(k0, k为常数为常数）(3) 对任意的对任意的 xhn(a), ,必必 x1+ xh s.证明证明证明证明bbbaxaxxxa2)(2121kbaxkkxa)()(110)(2121bbaxaxxxabbaxaxxxahh0)(11(1)(1)(2)(2)(3)(3)故故故故sxxh1证毕证毕证毕证毕122()a xxb(1)120()a xx即即12( )xxn a(2)非齐次方程组的解非齐次方程组的解集不是向量空间集不是向量空间结论结论(2)、(3)则说明了当已知其某个则说明了当已知其某个解解 xp时，时，方程组的通解方程组的通解 xp(即即s中元素的通解中元素的通

20、解)本质上本质上必能也必能也只能通过只能通过 n(a)的通解的通解 xh表出，为表出，为随着取随着取xp的不同及在的不同及在n(a)中取不同的基，中取不同的基， xg的具体形式的具体形式gphxxx还是可以多样的，但其组成还是可以多样的，但其组成( (结构结构) )是惟一确定是惟一确定. . 下面从另外一个角度说明，当生成向量线性相关时，生下面从另外一个角度说明，当生成向量线性相关时，生成向量空间中任一向量按生成向量的线性表出必有无限多种成向量空间中任一向量按生成向量的线性表出必有无限多种不同的形式不同的形式. .例例 对练习对练习2 2中的中的 v2=span(b1, b2, b3), 可以可以但但b1、b2、 b3是线性相关的，即有不全为零的数是线性相关的，即有不全为零的数 1、 2 、 3使成立使成立0332211bbb,111321bbbv验证验证v=6