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文档简介

1、2021/3/101梅涅劳斯（梅涅劳斯（Menelaus）定理）定理2021/3/102课题引入课题引入 几何主要研究平面几何图形和空间几何几何主要研究平面几何图形和空间几何图形的度量性质及位置关系。图形的度量性质及位置关系。2021/3/103研究问题，研究问题，先简单后复杂先简单后复杂，对于，对于三点，我们研究三点，我们研究平面图形中边数平面图形中边数最少的封闭图形三角形中三点共最少的封闭图形三角形中三点共线的问题线的问题. . 对于给定的三点或四点对于给定的三点或四点,更多的点更多的点的位置关系是什么情况呢？的位置关系是什么情况呢？2021/3/104梅涅劳斯梅涅劳斯（ Menelaus

2、 ）定理定理共线的充要条件是延长线上的点，则它们或其三边分别为设ABCA,BC,ABCZY,X,1ZBAZYACYXCBXBACXYZ说明：本节出现的比值都是指有向线段的比说明：本节出现的比值都是指有向线段的比1ZBZAYAYCXCXB或或2021/3/105证明：（必要性）证明：（必要性） DAB/于交作过点XYZCDCBACXYZDXCBXYACYZBAZYACYXCBX从而从而ZBAZZADZZDBZ1ZDBZZADZ2021/3/106（充分性） 设直线设直线XY与与AB相交于点相交于点Z，由上述定，由上述定理有：理有：ZBACXYZ1BZZAYACYXCBX1ZBAZYACYXCBX

3、又已知又已知BZZAZBAZ重合和 ZZ2021/3/107说明： 在证明的过程中，假设了点在证明的过程中，假设了点Z的存在的存在，若若Z不存在不存在,则则XYAB，BACXY我们称我们称XY交交AB于于AB上的无穷远点上的无穷远点Z，并且约定，并且约定1BZZA这样，命题依然成立这样，命题依然成立2021/3/108 定理的结构分析。定理的结构分析。1ZBZAYAYCXCXB1ZBAZYACYXCBXBACXYZ或或2021/3/109 利用梅涅劳定理证明时，利用梅涅劳定理证明时， 必须先找一个三角形，必须先找一个三角形， 使得使得X X、Y Y、Z Z刚好在我们刚好在我们 要找的三角形三边

4、所在要找的三角形三边所在 的直线上的直线上. .2021/3/1010BACXYZACXABXSSXCBXXACAXACBAXAXABsin21sin212021/3/10111sinsinsinsinsinsinZCBACZYBACBYXACBAX梅涅劳斯定理（角元形式）梅涅劳斯定理（角元形式）BACXYZ 定理的变形。定理的变形。2021/3/1012定理的推广研究定理的推广研究 思考思考1：对于任意的凸四边形，凸五边：对于任意的凸四边形，凸五边形呢？形呢？1A2A3A4A1B2B3B4B?1444433332222111ABBAABBAABBAABBA2021/3/1013思思考考2：,321EACEDCBDFBAFABCABCABCFED且上，边的分别在三角形设321

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