第三章 曲线与方程导教学案

1、41曲线与方程(一)课型：课题： 41曲线与方程(一)第_ 1 _课时三维目标知识与技能1.对于曲线和方程的概念要了解.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义过程与方法曲线的方程与方程的曲线的概念 学生阅读、思考情感、态度价值观从具体曲线的方程与方程的曲线定义到特性的抽象过程重 点 曲线的方程与方程 难 点曲线的方程与方程的两个特性 学习引导探究点一曲线与方程的概念思考1直线yx上任一点M到两坐标轴距离相等吗？答相等思考2到两坐标轴距离相等的点都在直线yx上，对吗？答不对思考3到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答yx.理由：在直角

2、坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0x0或y0x0，即(x0，y0)是方程yx的解；反之，如果(x0，y0)是方程yx或yx的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等小结一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线 思考引导思考4曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解，能否说f(x，y)0是曲线C的方程？答不能，还要验证以方程f(x，y)0的解为坐标的点是不是都在曲

3、线上如以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分和方程x2y24.例1证明圆心为M(3,4)，半径等于5的圆的方程是(x3)2(y4)225，并判断点O(0,0)，A(1,0)，B(1,2)是否在这个圆上证明首先，证明圆心为M(3,4)，半径等于5的圆的方程是(x3)2(y4)225.一方面，设P(x0，y0)是已知圆上任意一点，由于点P到圆心M的距离等于5，所以有5， 即(x03)2(y04)225.这说明圆上任一点的坐标(x0，y0)都是方程(x3)2(y4)225的一组解另一方面，设数对(x1，y1)是方程(x3)2(y4)225的任意一组解，那么就有(x13)2(y14)225. 两边开平

4、方取算术根，得5.这说明P(x1，y1)是以M(3,4)为圆心，半径等于5的圆上的一点所以(x3)2(y4)225是圆心为点M(3,4)，半径等于5的圆的方程将点O(0,0)的坐标代入方程(x3)2(y4)225，显然，左右两边的值相等，这说明数对(0,0)是方程的解，所以点O在这个圆上；因为(13)2(04)23225，这表明(1,0)不是方程(x3)2(y4)225的解，所以点A(1,0)不在这个圆上，它在圆外；同理，点B(1,2)也不在这个圆上，它在圆内 小结引导反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个

5、方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程探究点二由方程判断曲线表示的图形例2下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正(1)0；(2)x2y20；(3)|x|y0.解(1)中，曲线上的点不全是方程0的解，如点(1，1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；(2)中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但以方程x2y20的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；(3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”

6、，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线探究点三曲线与方程关系的应用例3已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值解(1)12(21)210，()2(31)2610，P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上(2)M在方程x2(y1)210表示的曲线上，2(m1)210.解得m2或m

7、. 小结引导反思与感悟(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题 拓展引导若曲线y2xy2xk0过点(a，a) (aR)，求k的取值范围解曲线y2xy2xk0过点(a，a)，a2a22ak0.k2a22a22. k，k的取值范围是.作业：课本 习题2-1 课后提炼1曲线C的方程为yx (1x5)，则下列四点中在曲线C上的是()A(0,0) B. C(1,5) D(4,4) 答案D2已知坐标满足方程f(x，y)0

8、的点都在曲线C上，那么()A曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)0B凡坐标不适合f(x，y)0的点都不在C上C不在C上的点的坐标必不适合f(x，y)0D不在C上的点的坐标有些适合f(x，y)0，有些不适合f(x，y)0答案C3下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是() 答案D4已知方程ya|x|和yxa(a0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是_答案a1 呈重点、现规律1曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上2点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程课型：课题： 41曲线与方程

9、 (二)第_ 2 _课时三维目标知识与技能1.了解求曲线方程的步骤.2.会求简单曲线的方程过程与方法曲线与方程求解过程学生阅读、思考情感、态度价值观重 点求曲线方程的难 点求解曲线方程的步骤 学习引导探究点一求曲线方程的一般步骤例1设A、B两点的坐标分别是(1，1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程解如图所示，设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M属于集合PM|MA|MB|由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为. 两边平方，并整理得x2y70.我们证明方程是线段AB的垂直平分线的方程(1)由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解；(2)设点M

10、1的坐标(x1，y1)是方程的解，即x12y170，x172y1.点M1到A，B的距离分别是|M1A|；|M1B|.所以|M1A|M1B|，即点M在线段AB的垂直平分线上由(1)(2)可知，方程是线段AB的垂直平分线的方程思考1你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一般步骤吗？答求曲线的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 思考引导思考2求曲线

11、方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解答坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的繁杂程度小结建立坐标系的基本原则(1)让尽量多的点落在坐标轴上(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等例2已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程解如图所

12、示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M(x，y)是曲线上任意一点，作MBx轴，垂足为B，那么点M属于集合PM|MF|MB|2由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为y2，将式移项后两边平方，得x2(y2)2(y2)2， 化简得yx2.因为曲线在x轴的上方，所以y0.虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是yx2 (x0)反思与感悟(1)求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程也不同(2)求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上的点应注意剔除 小结引导探究点

13、二求曲线方程的常用方法思考求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？答(1)直接法建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式(2)定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程(3)代入法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方程，由此可求得动点坐标(x，y)满足的关系(4)参数法：如果问题中所求动

14、点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立x、y分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数)消去，即可得到x、y的关系式 拓展引导例3已知圆C：x2(y3)29，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程解方法一(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以OQC90.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即x2y2x2(y3)29，所以x22 (x0)方法二(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以OQC90，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为 x22(x0)方法三(代入

15、法) 设P(x1，y1)，Q(x，y)， 由题意，得即又因为x(y13)29，所以4x2429，即x22(x0)反思与感悟解答本题可以用三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件作业：课本 习题2-1 课后提炼1已知等腰三角形ABC底边两端点是A(，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是( B)A一条直线 B一条直线去掉一点 C一个点 D两个点2平面内有两定点A，B，且|AB|4，动点P满足|4，则点P的轨迹是(C)A线段 B半圆 C圆 D直线3已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,

16、2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是(D)A2xy10 B2xy50 C2xy10 D2xy504设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则动点P的轨迹方程是_(x1)2y22 呈重点、现规律1坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同2一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x，y)等3方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)0化成x，y的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方

17、程则不必说明4“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状课型：课题： 44圆锥曲线的共同特征第_ 3 _课时三维目标知识与技能1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系. 2.掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法. 3.加强数形结合思想方法的训练与应用. 过程与方法对圆锥曲线的共同特征学生用类比方法归纳情感、态度价值观通过例子，归纳出圆锥曲线的共同特征掌握圆锥曲线的共同特征，感受圆锥曲线在解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想和变化统一观点重 点圆锥曲线的共同特征难 点掌握圆锥曲线的共同特征 学习引导探究点一圆锥曲线的共同

18、特征例1(1)若动点P到定点F(4,0)的距离与到直线x4的距离相等，则P点的轨迹是(A)A抛物线 B线段 C直线 D射线(2)已知曲线上的点M(x，y)到定点F(2,0)和它到定直线l：x8距离的比是常数，求曲线方程，并说明特征答由求轨迹方程方法可得曲线方程为1.这是椭圆的标准方程，因此椭圆上的点到定点的距离与到定直线的距离之比也是常数(3)已知曲线上的点M(x，y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l：x的距离的比是常数，求曲线方程，并说明特征答由求轨迹方程方法可得曲线方程为1.这是双曲线的标准方程因此双曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数思考三种圆锥曲线有什么共同特征？答圆

19、锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当0e1时，圆锥曲线是双曲线；当e1时，圆锥曲线是抛物线跟踪训练1(1)点M(x，y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l：x的距离的比是常数，则点M的轨迹方程为_答案1解析由题设及圆锥曲线的共同特征，知M点的轨迹是椭圆，且右焦点F(3,0)，e，因为c3且F(3,0)，所以椭圆的中心在原点，焦点在x轴上故方程为1 (ab0)由a5，c3，得b4，故所求点M的轨迹方程为1.(2)点M与F(0，2)的距离比它到直线l：y30的距离小1，则点M的轨迹方程是_答案x28y 思考引导探究点二圆锥曲线共同特征的应用思考圆锥曲线的共同特征体现

20、了一种什么数学思想？答转化思想，曲线上的点到定直线的距离和到焦点的距离可以相互转化例2试在抛物线y24x上求一点A，使A到点B(，2)与到焦点的距离之和最小解由已知易得点B在抛物线内，1，准线方程x1，过B作CB准线l于C，直线BC交抛物线于A，则|AB|AC|为满足题设的最小值因为CBx轴，B点坐标为(，2)，所以A点坐标为(x,2)又因点A在抛物线上，所以A(1,2)即为所求A点，此时最小值为|BC|1. 小结引导反思与感悟在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到定直线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法 拓展引导 (1)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是

21、4，则点P到该抛物线焦点的距离是(B)A4 B6 C8 D12 (2)椭圆1上一点P到一个焦点F1(3,0)的距离等于3，则它到直线x的距离为_答案5作业：习题2-1 课后练习1已知动点P的坐标(x，y)满足，则动点P的轨迹是_椭圆2已知椭圆1上一点P到右焦点F2的距离为b (b1)，求P到直线x的距离解由1，得a2b，cb，e.由椭圆定义|PF1|PF2|2a4b，得|PF1|4b|PF2|4bb3b.又e，d1为P到直线x的距离，d12b，即P到直线x的距离为2b.3设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，

22、求|PB|PF|的最小值解(1)如图，抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x1.点P到准线x1的距离等于点P到点F(1,0)的距离问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然P是AF与抛物线的交点，最小值为|AF|.(2)同理，|PF|与点P到准线的距离相等，如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1.|P1Q|P1F|，|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.|PB|PF|的最小值为4. 小结引导呈重点、现规律1三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数2利用圆锥曲线的共同特征可实现曲线上的点到焦点的距离

23、与到课型：课题： 43直线与圆锥曲线的位置关系第_ 4 _课时三维目标知识与技能1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系.2.掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法.3.加强数形结合思想方法的训练与应用过程与方法学生阅读、思考情感、态度价值观了解直线与圆锥曲线的三种位置关系，经历从具体情境中抽象出的位置关系过程、重 点直线与圆锥曲线的三种位置关系及判断也是重点 学习引导探究点一直线与圆锥曲线的交点的求法思考1怎样求直线与圆锥曲线的交点？答可以通过解直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组解得交点思考2怎样判定直线与圆锥曲线的交点个数？答通过直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的情况来进行判定若方程

24、组消元后得到一个一元二次方程，根据判别式来讨论若方程消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点值得注意的是，直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必相切例1已知直线y(a1)x1与y2ax恰有一个公共点，求实数a的值解联立方程，得当a0时，此方程组恰有一组解为当a0时，得y2y10.若0，即a1，则方程为y10，得若0，即a1，由0，得10，解得a.这时直线与曲线相切，只有一个公共点综上，当a0，1，时， 直线与y2ax只有一个公共点反思与感悟直线与抛物线的位置关系，通过对直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来讨论对于直线与抛物线只有一个公共点的情况，应特别注意平行于抛物线对称轴的直线与

25、抛物线只有一个公共点，但它不是切线，不能用0求解，此时应分类讨论，千万不要漏掉斜率不存在和k0的情况 思考引导探究点二圆锥曲线弦长问题思考1直线和圆锥曲线相交，怎样求弦长？答(1)斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|x1x2|.(2)抛物线中的弦过焦点时，求弦长可以不用弦长公式，而利用|AB|x1x2p.当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)思考2解决圆锥曲线弦长问题，是否一定要求出交点坐标答一般对交点坐标采用“设而不求”，利用根与系数的关系和根的判别式解决问题如：|x1x2| .例2已知直线l：yk(x1)与抛物线y2x交于A、B两点，O为坐标原点(1)若OAB的面积为，求k的值；(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点(1)解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得，化简整理得k2x2(2k21)xk20，由题意知k0，由根与系数的关系得，x1x2，x1x21.由弦长公式，得|AB|x1x2|，由点到直线距离公式d，SOAB|AB|d，解得k.(2)证明kOA，kOB，kOAkOB.y21x1，y