专题13 指数（讲）（原卷版）

1、2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）专题13指数（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1n次方根定义一般地,如果xna,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且nN*个数n是奇数a0x0x仅有一个值,记为a0x0n是偶数a0x有两个值,且互为相反数,记为a0x不存在归纳总结(1)任何实数均有奇次方根,仅有非负数才有偶次方根,负数没有偶次方根(2)0(n1,且nN*)2根式(1)定义：式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.(2)性质：(n1,且nN*)()na.3分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a(a0,m,nN*,且n1)负分数

2、指数幂规定：a(a0,m,nN*,且n1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂不存在4.有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0,r,sQ)(2)(ar)sars(a0,r,sQ)(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ)知识点拨(1)分数指数幂的运算的其他性质arasars(a0,r,sQ)；()r(a0,b0,rQ)(2)指数幂的几个常见结论当a0时,ab0；当a0时,a01；而当a0时,a0无意义；若aras(a0且a1),则rs；乘法公式仍适用于分数指数幂,如：(ab)(ab)(a)2(b)2ab(a0,b0)1=_2的值为_3计算：化简的结果是_4=_.5

3、已知,则_典型题型与解题方法重要考点一：n次方根的概念【典型例题】化简()4_.【题型强化】计算_【收官验收】根式 _【名师点睛】(1)任意实数的奇次方根只有一个,正数的偶次方根有两个且互为相反数(2)()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶性决定重要考点二：利用根式的性质化简或求值【典型例题】若x3,则 _【题型强化】_.【收官验收】若,则 _【名师点睛】1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值2对与()n的进一步认识(1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时,()n对任意aR都有意义,且(

4、)na,当n为大于1的偶数时,()n只有当a0时才有意义,且()na(a0)(2)对的理解：对任意aR都有意义,且当n为奇数时,a；当n为偶数时,|a|.(3)对于根式的运算还要注意变式,整体代换,以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用,做到化繁为简,必要时进行讨论重要考点三：带有限制条件的根式运算【典型例题】若,则_.【题型强化】化简：_.【收官验收】化简(1a)_.【名师点睛】有限制条件的根式化简的步骤重要考点四：注意与的区别【典型例题】化简下列各式（1）（2）（x1）【题型强化】计算下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）【收官验收】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（

5、4）.重要考点五：配方法与平方法的应用【典型例题】化简：_.【题型强化】化简：_.【收官验收】_.【名师点睛】对形如的复合根式,在有些情况下是可能得到化简的,但并非所有的这种类型都能化简,只要掌握其中较简单的基本类型即可将复合根式先化为(a0,b0)的形式若有x1x2a,x1x2b,其中x10,x20,x1x2,则复合根式可写为,也即若方程x2axb0有两个正的有理根,则复合根式可化简重要考点六：根式与分数指数幂的互化【典型例题】已知,则_.【题型强化】用分数指数幂表示_.【收官验收】_ .【名师点睛】把根式化成分数指数幂的形式时,不要轻易对进行约分,否则,有时会改变a的取值范围而导致出错,如

6、,aR,化成分数指数幂应为a,aR,而a,则有a0,所以化简时,必须先确定a的取值范围重要考点七：利用分数指数幂的运算性质化简求值【典型例题】已知,求的值.【题型强化】化简求值(式子中的字母都为正数)：（1）；（2）【收官验收】 【名师点睛】1.幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数2分数指数幂及根式化简结果的具体要求利用分数指数幂进行根式计算时,结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式,不强求统一用什么形式,但结果不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数重要考点八：指数幂运算中的条件求值【典型例题】若,求下列各

7、式的值:（1）；（2）；（3）；（4）【题型强化】（1）已知,化简.（2）设,求的值.【收官验收】（1）化简；（2）已知,求的值.【名师点睛】(1)条件求值是代数式求值中的常见题型,一般要结合已知条件先化简再求值,另外要特别注意条件的应用,如条件中的隐含条件,整体代入等,可以简化解题过程本题若通过aa3解出a的值代入求值,则非常复杂(2)解决此类问题的一般步骤是重要考点九：因忽略幂底数的范围而导致错误【典型例题】化简：_.【题型强化】的值是_.【收官验收】_.【名师点睛】在利用指数幂的运算性质时,要关注条件中有无隐含条件,在出现根式时要注意是否是偶次方根,被开方数是否符合要求重要考点十：数学运算能力【典型例题】已知a,b分别为x212x90的两根,且ab,求的值.【题型强化】计算下列各式：（1）.（2）.（3）.【收官验收】（1）计算：；（2）已知,求的值【名师点睛】数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程主要包括：理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等 数学运算是数学活动的基本形式,也是演绎推理的一种形式,是得到数学结果的重要手段数学运算是计算机解决问题的基础 在数学运算核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展数学运算能力；能有