专题17 函数与导数专题训练（文）（解析版）

1、专题17 函数与导数专题训练一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,第1-10题只有一项符合题目要求,第11-12题有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）1已知函数,则( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】,故选D。2已知函数,则( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】由题意可知是定义在上的单调递增函数,又,故选C。3函数的大致图像是( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】由题意知的定义域为,则且,函数既不是奇函数,也不是偶函数,排除B、D,又当时,排除选项C,故选A。4若函数的定义域为,

2、则实数的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】等价于恒成立,若,则,不可取,若,则需,解得,的范围为,故选D。5若函数为定义在上的奇函数,且满足,当时,则 ( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】,且为奇函数,周期, 、, , ,故选D。6已知曲线,则曲线在点处的切线方程是( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】,又,故曲线在点处的切线方程为,即,故选A。7设曲线()上任意一点处切线斜率为,则函数的部分图像可以为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】()上任一点处切线率为, ,该函数为奇函数,且当时,故选D。8已知函数满足：,则函数

3、的最大值与最小值的和为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】,则关于点中心对称,设,为奇函数,则关于点中心对称,关于点中心对称,则也关于点中心对称,最大值与最小值的和为,选A。9已知函数与函数()的图像上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】由题意得,在上有解,即在上有解,即函数与函数的图像在上有交点,函数的图像是由函数的图像左右平移得到的,且当的图像经过点时,函数与函数的图像有界交点,此时代入点,有,得,故选B。10若函数()在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值之和为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】

4、由题意可得,当时,()在上单调递增,函数()在内没有零点；当时,令,得,易得为函数的极大值,函数()在内有且只有一个零点,则、分别为函数的极大值点和极小值点,又、,在上的最小值与最大值分别为、,在上的最小值与最大值之和为,故选D。11设函数的零点为、,表示不超过的最大整数,有下述四个结论：函数在上单调递增；函数与有相同零点；函数有且仅有一个零点,且；函数有且仅有两个零点,且。其中所有正确结论的编号是( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】,当时,函数在上单调递增,故正确,显然不是零点,令,则在上,与有相同零点,故正确,在上,在上单调递增,在上也单词递增,而、,存在,使,又、,存在的

5、,使,在上只有两个零点、,也即在上只有两个零点到、,且,故错误、正确,故选C。12已知函数()在区间上只有一个零点,则实数的取值范围是( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】由题意可知,在区间上只有一个根,等同于在区间上只有一个根,等同于与的图像有唯一一个大众点,由得,则得,当时,则在上单调递减,当时,则在上单调递减,在区间内,当时取极小值也是最小值,当,又,且,作的图像如图,又,则满足条件的的取值范围是,选A。二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分。把参考答案填在题中横线上）13已知函数(),若有最小值,则的最大值为 。【参考答案】【解析】开口向下,对称轴,在上单调递增,

6、最小值为,最大值为。14已知定义在上的函数满足：,且函数是偶函数,当时,则 。【参考答案】【解析】由函数是偶函数知函数的图象关于直线对称,即有,又,即函数的周期,。15若函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是 。【参考答案】【解析】, 当时,当时,综上。16已知函数()有两个极值点、(),则的最大值为 。【参考答案】【解析】的定义域为,设,由题意可知在内有两个不等的实数根、(),需满足,解得,又、,当且仅当时,等号成立,故的最大值为。三、解答题（本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知函数,曲线在点()处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数)

7、,若在上存在极值,求实数的取值范围。【解析】的定义域为, 2分,令,则, 4分则时,时, 6分在上单调递增,在上单调递减,在处有极大值, 8分且,。 10分18（12分）已知函数(是常数)。(1)若当时,恒有成立,求实数的取值范围；(2)若存在时,使得成立,求实数的取值范围；(3)若方程在上有唯一实数解,求实数的取值范围。【解析】(1)令,则,当时, 2分的对称轴为,时的最大值为,则实数的取值范围是； 4分(2)若存在时,恒有成立,则存在时,使得成立, 6分于是只需时的最小值为,即,则实数的取值范围是； 8分(3)若方程在上有唯一实数解,则在上有唯一实数解,故在上不可能有两个相等的实数解, 1

8、0分令,故只需,解得,实数的取值范围是。 12分19（12分）已知。(1)求函数在区间上的值域；(2)当时,恒成立,求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为, 1分令得,则在区间上单调递减,令得,则在区间上单调递增, 3分而,则,故在区间上的值域为； 4分(2),即,即,令(),则只需证明, 5分则,对于时,恒成立,在上单调递减, 6分当时,在上单调递减,则,满足, 8分当时,则,则存在使得,当时,在上单调递增,当时,在上单调递增减,又,不满足, 11分 综上可得,故实数的取值范围为。 12分20（12分）已知函数,。(1)若函数的图象在处的切线与轴平行,求的值；(2)若,恒成立,求的取值范

9、围。【解析】(1)由题意可知的定义域为, 1分在处的切线与轴平行,即在切线斜率为,即,； 3分(2),令,则, 4分在内单调递增, 5分当,即时,在内单调递增,要想,只需要,解得,从而, 7分当,即时,由在内单调递增知,存在唯一使得,有,令,解得,令,解得,从而在处取最小值,又,从而应有,即,解得,由可得,有, 11分综上所述,。 12分21（12分）已知函数,的图像在点处的切线方程为。(1)求在上的最值。(2)若的解集为,且在内有且只有两个整数,求实数的取值范围。【解析】(1)由题意知,的定义域为, 1分则,则的图像在点处的切线方程为,即,又已知的图像在点处的切线方程为, 3分则,解得,则,由得或, 5分、随的变化情况如下表所示：因而函数在上的最大值为,最小值为； 6分(2)由(1)知,当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增, 8分易知,且当时,当时, 10分则函数的大致图像如图所示：在内有且只有两个整数,结合图像可知实数的取值范围为。 12分22（12分）已知函数(且)。(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点、(),且,证明：。【解析】(1)的定义域为, 1分 当时,