高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式教师专用文苏教版

1、4。5 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(）cos cos sin sin ,（c()）cos()cos cos sin sin ，(c()）sin()sin cos cos sin ，（s()）sin（)sin cos cos sin ,（s（)tan（），（t（）)tan（）.(t（)）2。二倍角公式sin 22sin cos ，（s2）cos 2cos2sin22cos2112sin2,（c2）tan 2。（t2）【知识拓展】1。降幂公式：cos2，sin2。2.升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin

2、2。3。辅助角公式：asin xbcos xsin(x）,其中sin ，cos 。【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“或“)(1）存在实数，使等式sin()sin sin 成立.（）（2)在锐角abc中，sin asin b和cos acos b大小不确定.（）（3）若45，则tan tan 1tan tan 。()(4)对任意角都有1sin (sin cos )2.（)(5)y3sin x4cos x的最大值是7.()(6)在非直角三角形中，tan atan btan ctan atan btan c.（）1.tan 20tan 40tan 20tan 40 .答案解析tan 6

3、0tan(2040）,tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40）tan 20tan 40，原式tan 20tan 40tan 20tan 40.2.(2016四川)cos2sin2 。答案解析由题意可知，cos2sin2cos(二倍角公式）。3。(2016全国丙卷改编)若tan ，则cos 2 .答案解析tan ，则cos 2cos2sin2.4.(2015江苏)已知tan 2,tan（），则tan 的值为 .答案3解析tan tan()3。5.（2016全国甲卷改编）函数f(x）cos 2x6cos的最大值为 .答案5解析由f(x)cos 2x6cos12sin2x6

4、sin x22，所以当sin x1时函数的最大值为5.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用例1（2016盐城模拟）已知为锐角,cos().(1）求tan(）的值；（2）求sin（2）的值.解（1）因为（0，)，所以（，），所以sin(） ,所以tan()2。(2）因为sin（2）sin 2（）2sin()cos()，cos（2）cos 2()2cos2（)1，所以sin（2)sin（2）sin(2）cos cos(2)sin 。思维升华（1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.（2）使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值。（1）(2

5、016全国丙卷改编）若tan ,则cos22sin 2 。(2)计算:的值为 .答案（1）(2)解析（1)tan ，则cos22sin 2。（2)。题型二和差公式的综合应用命题点1角的变换例2（1）设、都是锐角，且cos ,sin(）,则cos 。(2）(2016镇江期末）由sin 36cos 54，可求得cos 2 016的值为 .答案（1)(2）解析(1）依题意得sin ，cos（)。又,均为锐角，所以0，所以cos().于是cos cos()cos()cos sin()sin 。(2)由sin 36cos 54，得sin 362sin 18cos 18cos（3618）cos 36cos

6、 18sin 36sin 18(12sin218）cos 182sin218cos 18cos 184sin218cos 18，即4sin2182sin 1810，解得sin 18，cos 2 016cos(6360144)cos 144cos 362sin2181.命题点2三角函数式的变形例3（1)(2016无锡调研)若tan ，tan（)，则tan(2) 。答案解析方法一因为tan ，所以tan 2。又tan（),故tan 1.所以tan(2)。方法二tan(2)tan(2)tan（)。（2)求值：sin 10（tan 5）.解原式sin 10（)sin 10sin 102cos 10。引

7、申探究化简： (0).解0，2sin ，又1sin cos 2sin cos 2sin22sin （sin cos ）原式cos 。思维升华(1）解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.当“已知角”有两个时，“所求角一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角变成“已知角”。(2）常见的配角技巧:2()()，(），()()等。(1)（2016泰州模拟)若sin(），则cos（2） 。(2)（2016南京模拟）化简(tan )sin 22cos2 。（3)计算：sin 50(1tan

8、 10） 。答案(1)(2)cos 2（3）1解析(1）sin()，cos(),cos(2）cos 2（)21。（2）原式sin 22cos212cos2cos 2。（3)sin 50(1tan 10)sin 50（1）sin 50sin 501.8。利用联系的观点进行角的变换典例(1）设为锐角，若cos（），则sin（2）的值为 。（2)若tan 2tan，则 。思想方法指导三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件。常见的变角技巧有（)()；（);()；154530等.解析（1）为锐角且cos(）0，（，），sin（).sin（2）sin2（）si

9、n 2()cos cos 2（）sin sin()cos()2cos2（）12(）21。（2）3。答案（1)(2）31。（2016苏州暑假测试)已知(0，)，cos ，则tan（） 。答案解析由(0，），cos ，得tan ,则tan（)。2.（2016盐城三模)若角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线yx上，则tan 的值为 .答案解析若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线yx上,则tan（），又tan（)，所以tan 。3.(2015重庆改编）若tan ，tan(）,则tan .答案解析tan tan(）.4。(2016江苏启东中学阶段检测）若、均为锐

10、角，且cos ，cos(),则cos 。答案解析由于、都是锐角，所以(0，），又cos ,cos(),所以sin ，sin（)，所以cos cos(）cos(）cos sin(）sin .5.的值是 .答案解析原式。6。若0,0，cos（）,cos(），则cos（) 。答案解析由已知得（,),（,），所以sin(),sin（），所以cos（）cos（)(）cos(）cos(）sin()sin()。7.化简 。答案解析原式tan（902).8.(2016江苏无锡普通高中期末）已知sin(45)且090，则cos 2的值为 .答案解析因为sin（45)且00）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称,

11、则m的最小值是 .答案解析ycos xsin x2sin(x)，所以此函数的图象向左平移m（m0)个单位长度后得到y2sin（xm)的图象，由题意得mk（kz),m0，mk（kz且k0），m的最小值是。11.已知(,），sin .（1）求sin()的值；(2）求cos（2）的值.解(1)因为（，）,sin ，所以cos 。故sin（)sin cos cos sin （).(2)由（1）知sin 22sin cos 2(），cos 212sin212()2，所以cos（2）cos cos 2sin sin 2(）（).12。已知（0，)，tan ,求tan 2和sin（2）的值。解tan ，ta

12、n 2，且，即cos 2sin ,又sin2cos21，5sin21，而(0，）,sin ，cos 。sin 22sin cos 2，cos 2cos2sin2，sin（2)sin 2cos cos 2sin 。13。已知cos(）cos()，（,).（1）求sin 2的值;（2)求tan 的值.解(1)cos（）cos（）cos（）sin()sin(2),即sin（2)。（,)，2（，)，cos（2)，sin 2sin（2)sin(2）cos cos（2）sin 。(2）(,），2(，），又由（1）知sin 2，cos 2。tan 22。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本

13、文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. if there are omissions, pl